淺析逆向思維在高中數學中的應用

吳香娥

摘 要：逆向思維是一種在數學教學及學習過程中體現出來的創新能力，是在數學教學過程中關于創造性思維十分重要的組成部分。在解數學題時，有些題目如果從正面入手很難找到思路，不妨變換角度，運用逆向思維尋找解題突破口。逆向思維也是數學高考思維能力考查的一個要點，從幾個方面淺談逆向思維在解題中的體現。

關鍵詞：逆向思維；集合；命題

對于數學這門學科而言，數學思維是非常重要的一種能力。當學生遇到數學問題時，就會以相應的數學思維方式進行解決。而數學思維也根據其思維的方式分為正向思維與逆向思維，通常來說，學生都以一種正向思維的模式解決問題，而在教育事業不斷發展的今天，運用逆向思維解決問題，在高中數學課堂中也有了其全新的價值。

任何事物都有正反兩個方面，也有許多問題正面入手困難重重，若改由反面入手卻常常能出奇制勝。逆向思維在許多情況下能夠幫助我們克服正常思維中出現的困難，拓展思路，開拓認識的新領域。正難則反易，數學問題的解決也是這樣。下面從幾個方面談談我對正難則反思想的體會。

一、逆向思維在集合中為補集思想

當題目直接求解較繁、較復雜甚至不能求解時，通過先求得問題的反面進而求其補集，以達到解決問題之目的。

例1.三個方程x2+4px-4p+3=0，x2+（p-1）x+p2=0，x2+2px-2p=0中至少有一個方程有實根，試求p的范圍。

分析：本題從正面入手應分類求解，繁不堪言，若從反面“三個方程均無實數根”思考，在實數范圍內除去反面求得的解即為m的取值范圍。

解：若三個方程都沒有實根，則

16p2-4（-4p+3）<0（p-1）2-4p2<04p2+8p<0解得-■

∴三個方程至少有一個方程有實根，p的取值范圍是p≤-■或p≥-1。

二、逆向思維在命題中為逆否命題

邏輯學認為原命題與它的逆否命題是等價的，也就是原命題真，則它的逆否命題也真。

在一些命題的真假性或條件與結論的充分必要性的判斷中，正面判斷比較難或者不容易理解，那么不妨跳出思維框架，轉化為考慮逆否命題的真假性或者利用逆否命題判斷充分必要性。

例2.（xy-2）2+（y-2）2≠0的充要條件是 。

分析：從正面入手，xy-2與y-2中至少有一個不等于0，這對很多學生而言都有一定的難度，但若從反面來看，（xy-2）2+（y-2）2=0的充要條件是：xy=2且y=2，能得到x=1且y=2。那么利用逆否命題就能得到（xy-2）2+（y-2）2≠0的充要條件是x≠1或y≠2。

從逆否命題來處理確有茅塞頓開、恍然大悟的感覺。

三、逆向思維在證明中為反證法

反證法是一種間接對問題證明的方法，其解題思路就是：當問題的反面被否定之后，那么其正面就一定是正確的。具體來講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛盾，則假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。

例3.已知：一個整數的平方能被2整除。求證：這個數是偶數。

證明：設整數a的平方能被2整除，假設a不是偶數。

則a是奇數，不妨設a=2k+1（k是整數）

∴a2=（2k+1）2=4k2+4k+1=4k（k+1）+1

∴a2是奇數，與已知矛盾。

∴假設不成立，所以a是偶數。

四、逆向思維在排列組合、概率中為間接法

有些排列組合問題，根據題目的結構特征，需要變換觀察的視角，改變思考的路徑，采用“倒過來想”“正難則反”的逆向思維策略，以此來達到順暢解題的目的。

例4.大街上有編號為1，2，3，4…10，11，12的十二盞燈，若關掉其中三盞燈，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關掉兩端的路燈，那么不同的關燈方式有（ ）種。

分析：本題若從正面探究，較為復雜，若調整解題角度，變為9個亮燈中間8個空隙中插入3個關掉的燈，易得關燈方式為：C38=56種。

例5.袋中有12個不同的紅球和18個不同的白球，規定取出一個紅球得2分，取出一個白球得3分，如果從袋中取出若干個球得70分。試求這類取法的不同種數。

分析：若從正面考慮：取出若干個紅球或白球使其積分之和為70分，太復雜。于是從反面入手，假設將球全部取出的總分數是2×12+3×18=78分，比70分多8分，而8分的產生只有兩種情況：一是剩下4個紅球，二是剩下1個紅球和2個白球。根據取法等于剩法的原理，故這類取法應為C412+C112C218=2331種。

在此類問題中如果善于運用正難則反的思想，可以使問題的解決事半功倍，而且減少了計算環節，也能減少由計算帶來的不必要的錯誤。

通過以上分析，我們可以看出，逆向思維在高中數學解題中起著重要作用。對有些數學問題如果從正面入手求解繁瑣、難度較大，不妨實行“正難則反”策略，轉化為考慮問題的相反方面，往往能絕處逢生、開拓解題思路、簡化運算過程。通過對逆向思維進行恰當應用，能夠使很多以正常思維方式難以解決的問題變得簡單。同時，逆向思維作為正向思維的補充，需要在教學中使學生品嘗到應用正難則反思想的甜頭，就會進一步激發他們學習數學的興趣，以達到拓展思維，增強解題技能，培養思維的靈活性和創造性之目的。

參考文獻：

陶鵬.高中數學教學中逆向思維的培養[J].數學學習與研究，2010（23）.

？誗編輯 李建軍