從零向量性質的質疑到探究

聶庭勇

一、問題背景

平面向量是教材改革的新增內容之一，并在高中數學學習中突顯了它的重要地位。近年來，關于向量共線的考查，成為向量概念應用的一個深入。關于向量的概念，只有兩個要素，一是大小，二是方向。但在向量這一章，有一個很關鍵的元素——零向量，值得注意。筆者在教學實踐中，發現對于一些有關零向量的命題，學生總是把握不準，心存疑惑，甚至提出質疑。例如，思考下面兩個問題：

問題一：設b是a的相反向量，則下列說法錯誤的是（ ）

A.a與b的長度必相等

B.a∥b

C.a與b一定不相等

D.a是b的相反向量

答案選C（當a=b=0時）。

問題二：已知下列命題：

①若a=b，b=c，則a=c；

②若a∥b，b∥c，則a∥c；

③若a=b，則a∥b；

④若a∥b，則a與b的方向相同或相反

其中正確命題的序號是①③。

分析：利用平行向量的定義判定時，還需注意零向量與任意向量平行這一特殊情形。

對于①，當a=b≠0時，由相等向量定義知，a與b同向，同理，b與c同向，從而a與c同向，又它們的模相等，所以a=c；當a=b=0時，由b=c推出c=0，所以a=c，故恒有a=c。

對于②，當b=0時，a與c是非零向量，且a與c方向不是相同或相反時，條件成立，但結論不成立。

對于③，由①的結論知其成立。

對于④，a∥b，若a=0時，與b是平行向量，但零向量方向任意，命題不成立。

通過教學的效果來看，部分學生聽完講解后，還是沒有真正理解解決問題的關鍵，總感覺對于零向量這個特殊向量的辨析有些牽強，有的同學甚至提出質疑，“零向量的方向是任意的，可以隨意指定它的方向，想它是什么方向它就應該是什么方向。”所以，為了徹底消除顧慮，我與他們在課余做了一次探究。

二、探究過程

“ 一、教材分析

細胞的全能性是本節課教學的難點，由高度分化的細胞能否繼續進行分化引出細胞的全能性，在細胞全能性教學中，盡量以圖片實物等感官教學為主，以使學生易于理解。

二、教學目標

（1）說明細胞的分化；

（2）舉例說明細胞的全能性。

三、教學設計

1.創設情境，設疑導入

幻燈片展示“胎兒發育的過程圖”，設計問題：你是由什么細胞發育而來的？成年后你身體內大約有多少個細胞？你知道你身體內的細胞有多少種嗎？讓學生通過觀察圖片，學生思考得出“人是從受精卵發育而來，成年后大致有40萬億～60萬億個細胞，這是通過細胞的分裂形成的，這些細胞分為200多種。”從而引出課題“細胞的分化”。

2.通過資料分析，引導學生展開討論，總結細胞分化的定義等

指導學生觀察PPT上展示的幾種人體細胞，提出問題：①已經分化的人體細胞最初來源于哪個細胞？②它們存在哪些方面的不同？③它們還能再變回受精卵嗎？通過課題引入的問題分析以及圖片，學生能夠明確這些已經分化的體細胞都是受精卵的后代，它們在形態和生理功能方面存在差異，從而引導學生總結出“細胞分化”的定義。

3.分析細胞分裂與分化的關系，認清兩者之間的聯系與區別

引導學生分析PPT展示的圖片，思考：（1）①過程表示什么過程？引起了怎樣的變化？各細胞中的遺傳物質改變了嗎？（2）②過程表示什么過程？引起了怎樣的變化？各細胞中的遺傳物質改變了嗎？

4.利用自制教具，引導學生探究細胞分化的機理

引導學生思考“細胞分化是由細胞中的什么物質決定的？”，引發學生提出假說：假說①：細胞的分化是由遺傳物質（DNA）決定的；假說②：細胞的分化是由蛋白質決定的。教師將學生的爭論擱置，展示資料，思考：通過資料你獲得了哪些信息？得出了哪些結論？為什么各細胞中的基因相同，而蛋白質種類不同呢？

5.看圖說話，親眼觀察組培樣品，體會細胞全能性的應用

展示蘭花的圖片以及大理蘭花價格“跳水”的相關資料，激發學生的興趣，引出斯圖爾德的“植物組織培養實驗”。指導學生閱讀課本119頁有關內容，請學生能根據圖片復述出實驗的大致過程。思考：斯圖爾德切去的胡蘿卜的韌皮部的組織是已經分化的細胞嗎？實驗的結果怎樣？這體現了植物細胞怎樣的特性呢？通過這兩個活動，植物細胞全能性的概念已經呼之欲出了。

在教學中，結合組織培養實物標本的展示及時對學生進行德育指導，引起學生的探究興趣，有利于本節的教學。

？誗編輯 董慧紅教材在講述平行向量的定義時，明確指出：零向量的方向是任意的，它與任意向量平行。”對于這一規定性定義的解讀，我們認為：零向量的方向具有不確定性，它與非零向量共線是由它的特殊性決定的，不能指定它與已知非零向量同向或反向，那樣的話，就人為地給零向量施加了限定性條件，違背了規定性定義的本源。

以舉例中的一個命題為例：

向量a與b共線，則a與b的方向相同或相反。判斷該命題的真假。

甲生：真命題。若a≠0，b≠0，顯然成立；若a=0，b≠0，零向量方向任意，可以指定它與b同向或反向。

乙生：假命題。零向量的方向是任意的，我們可以隨意去理解它的方向，所以與b不一定是同向或反向。

看到自己的學生能夠大膽質疑，說明他們已經研究到了問題的本質，但是針對這樣的特殊問題，如何準確抓住性質的本源，引導學生跳出泥淖呢？

師：仍然要立足于教材，“我們規定，零向量與任意向量平行”，這是由它的方向任意這一特殊性而定的，不能根據解題需要而指定它的方向，如果一味強調個人指定的話，甚至可以指定說，零向量與已知非零向量垂直，連共線也不成立了，這不就等于違反教材所給的定義了嗎？

所以，不能指定零向量的方向與誰相同或者相反。只能維持原判“零向量的方向是任意的，它與任意向量共線”，誰也不能指定它的方向。

同學們豁然開朗，然后我給出了一道高考題，讓學生去考證所思。

例：給出下列命題：

①向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反。

②在△ABC中，必有■+■+■=■。

③四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是■=■。

④如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a+b的方向必與a，b之一的方向相同。

其中成立的是：

A.①② B.③④ C.①④ D.②③

分析：①中，當a=0時命題不成立。④中當a+b=0時命題不成立，故正確答案選D。

三、歸納與反思

從一個有爭議的命題的質疑開始，師生經歷了分析查證、合作探索、形成認知的整個過程，讓學生由被動聽取轉變為自主探究，發展了他們的深入理解、遷移推廣的能力，更能激發學生的聯想思維、興趣和好奇心，這樣的素材在學習和作業中處處存在，老師善于提問，學生勤于質疑，這樣的教與學的方式才符合了新課程改革的基本要求和理念，也是本文的一個出發點。

編輯 董慧紅