形如an+1=Can+D·λn+An+B（A，B，C，D，λ為常數且C≠0，1，λ≠0，1）的數列通項公式的求法

楊文慶 徐曉燕

近年高考中常出現形如an+1=can+d·λn（c，d，λ為常數且c≠0，1，λ≠0，1）、an+1=can+dn+λ（c，d，λ為常數且c≠0，1）的數列的通項問題，高考參考答案直接給出了變形構造的結果，卻沒有給出變形構造的方法及過程，看了仍不知其所以然， 筆者就此問題進行探究，進一步推廣得到形如：

an+1=Can+D·λn+An+B（A，B，C，D，λ為常數且C≠0，1，λ≠0，1）這一類數列的通項的求法，總結如下，以饗讀者。

1.形如an+1=can+d（c，d為常數且c≠0，1）的數列的通項公式的求法

設（an+1+A）=c（an+A），求得常數A=■，構成一個等比數列{an+A}，問題得解。此類問題在平時教學和高考中比較常見，筆者就不再舉例說明。

2.形如an+1=can+d·λn（c，d，λ為常數且c≠0，1，λ≠0，1，c≠λ）數列的通項公式的求法

解一：在等式兩邊同除以λn+1得■=■■+■，令bn=■得bn+1=■bn+■，轉化為形如an+1=can+d（c，d為常數且c≠0，1）的數列求解。

解二：設an+1+Aλn+1=c（an+Aλn）求得常數A=■，構成一個等比數列{an+Aλn}，問題得解。

例（2012年高考廣東卷理科19）設數列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數列。

（1）求a1的值；

（2）求數列{an}的通項（1）公式.

解一：2Sn=an+1-2n+1+1，2Sn+1=an+2-2n+2+1相減得：an+2=3an+1+2n+1，

由（1）知a1=1，a2=5，得an+1=3an+2n對n∈N*均成立

an+1=3an+2n，在等式兩邊同除以2n+1得■=■·■+■，

令bn=■得bn+1=■bn+■，設（bn+1+A）=■（bn+A），求得常數A=1，（bn+1+1）=■（bn+1），則數列{bn+1}是首項為■，且公比為■的等比數列，bn+1=（■）n，■+1=（■）n，an=3n-2n。

解二：2Sn=an+1-2n+1+1，2Sn+1=an+2-2n+2+1，相減得：an+2=3an+1+2n+1，

由（1）知a1=1，a2=5，得an+1=3an+2n對？坌n∈N*均成立.

an+1=3an+2n，設an+1+A·2n+1=3（an+A·2n），求得常數A=1，則數列{an+2n}是首項為3，且公比為3的等比數列，an+2n=3n，an=3n-2n。

3.形如an+1=can+d·λn（c、d、λ為常數且c≠0，1，λ≠0，1，c=λ）數列的通項公式的求法

解一：在等式兩邊同除以λn+1得■=■+■，，構成一個等差數列{■}，問題得解。

解二：由an+1=can+d·cn得，an+1-d（n+1）cn=c（an-dncn-1），構成一個等比數列{an-dncn-1}，問題得解。

例2（2009全國卷Ⅱ理科19題）設數列{an}的前n項和為Sn， 已知a1=1，Sn+1=4an+2

（1）設bn=an+1-2an，證明數列{bn}是等比數列；

（2）求數列{an}的通項公式。

解一：由（1）可得bn=an+1-2an=3·2n-1，∴■=■=■

∴數列{■}是首項為■，公差為■的等差數列.

∴■=■+■（n-1）=■n-■，an=（3n-1）·2n-2

解二：由（1）可得bn=an+1-2an=3·2n-1，an+1=2an+3·2n-1

an+1-3（n+1）·2n-1=2（an-3n·2n-2），數列{an-3n·2n-2}是首項為-■，公比為2的等比數列，由此求得an=（3n-1）·2n-2

4.形如an+1=can+dn+λ（c、d、λ為常數且c≠0，1）的數列的通項公式的求法

設an+1+[A（n+1+B）]=c[an+（An+B）]，求得常數A=■，B=■構成一個等比數列{an+（An+B）}，問題得解。

例3（2007天津文科20題）在數列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*.

（1）證明數列{an-n}是等比數列；

（2）求數列{an}的前n項和Sn；

分析：由（1）可知an-n=4n-1，于是數列{an}的通項公式為an=4n-1+n.從而求得數列{an}的前n項和Sn，Sn=■+■.

若沒有（1）的鋪墊可按上述方法得到通項an，設an+1+[A（n+1+B）]=4[an+（An+B）]，求得常數A=-1，B=0，則an+1-（n+1）=4（an-n），又a1-1=1，所以數列{an-n}是首項為1，且公比為4的等比數列.an-n=4n-1+n，于是數列{an}的通項公式為an=4n-1+n.從而求得數列{an}的前n項和Sn，Sn=■+■。

5.形如an+1=Can+D·λn+An+B（A，B，C，D，λ為常數且C≠0，1，λ≠0，1，C≠λ）的數列通項公式的求法

綜合2、4兩種類型，

設an+1+D1λn+1+[A1（n+1）+B1]=C（an+D1λn+A1n+B1），求得常數D1=■，A1=■，B1=■，構成一個等比數列{an+D1λn+A1n+B1}，問題得解。

6.形如an+1=Can+D·λn+An+B（A，B，C，D，λ為常數且C≠0，1，λ≠0，1，C≠λ）的數列通項公式的求法

對an+1=Can+D·Cn+An+B，綜合3、4兩種類型

設an+1-D（n+1）Cn+[A1（n+1）+B1]=C（an-DnCn-1+A1n+B1）

求得常數A1=■，B1=■，構成一個等比數列{an+DnCn-1+A1n+B1}，問題得解。

說明：上述求法的本質是均由遞推公式變形，通過換元，構造出一個新的等差或等比數列，從而轉化為基本數列——等差、等比數列的問題來解決。

編輯 董慧紅