淺談參數方程在解決數學問題時的優越性

梁小江

摘 要：隨著我國教育改革不斷的推進，學生學習的效率也逐漸提高；尤其是數學習題中的解題技巧，更是隨著知識的延展，變得更加簡潔和優化；像數學中的參數方程，對比傳統的方程解題更加簡單和明確，對此參數方程也受到了師生廣泛的關注和應用；對此就參數方程在解決數學問題時的優越性，結合參數方程的意義和實例進行分析，并提出相關的見解，希望對于國家教育發展有促進的意義。

關鍵詞：參數方程；數學；解決問題；優越性

因為參數方程與普通方程具有一定的互換關系，所以學生理解參數方程的內容時，并不是很難接受；但是在實際應用過程中，往往會受到數學思維等多方面的影響，使其參數方程不能很好地建立和應用；對此學生應不斷注重解題思維的培養，首先要從最基礎的轉化、分析、歸納以及建立等基礎的思維鍛煉抓起，然后再逐漸意識到參數方程解題的益處和價值，從而更好地意識到參數方程對于解題的優越性。

一、參數方程解決距離長度問題的優越性

很多學生對于求距離長度的問題，會有一定的難度，很多學生會利用距離公式或是使其轉化為直線間距的方式進行求解，但是都沒有利用橢圓參數方程，在此說明參數方程在解決距離長度問題時的優越性。

例如，“在橢圓■+■=1，求出橢圓上的點M到直線x+2y-10=0的距離最小值d”；通過題意設點M坐標為（4cosα，3sinα），此時確定該題中的唯一參數為α，并且α∈[0，2π），此時得知d=■，整理得■2■cos（α-α0）-10，并且當α=α0時d為最小值，所以此時可得出4cosα與3sinα的值，再將值帶入直線方程中，就可以求出d的值為■；對此通過參數的確定并進而簡化，從而更好地解決距離長度的數學習題。

二、參數方程解決周長面積問題的優越性

例如，“求證圓的內接矩形中，正方形的面積最大”此時列出寬為2Rsinx，與長為2Rcosx的參數方程，可以確定出面積與長寬之間的關系，對此面積S=4R2sinxcosx整理得2R2sin2x，此時當2x為90°時，則x=45°，S是最大值；當用另一種方式，即設圓的半徑為r，內接矩形對角線的夾角為A，此時矩形的面積為S=2r2sinA所以只有當sinA為1時，矩形面積最大，所以只有A為90°時，才能滿足條件，并驗證正方形面積最大；這兩種都準確，但是第二種方法更加需要數學思維和邏輯，給學生增加難度，對此利用參數方程不僅可以減少時間，也能輕松地解決周長面積等題型。

三、參數方程解決點軌跡方程的優越性

參數方程是解決軌跡方程的關鍵途徑，其主要的原則，在于參數的準確選擇和引進；同時參數的選擇，還要堅持一定的原則，即動點的變化隨著參數的改變而改變；對此參數在題目中，能夠準確地反映出質點的變化規律，并且與題中給出的變量有一定的聯系；所以證明出此方程是參數的軌跡方程，就可以得知參數方程對于點軌跡方程的優越性。

例如，一架飛機在距地面500 m高處以100 m/s的速度沿水平作直線飛行，為了保證物資準確地落在地面上，飛行員應當如何投放，如圖所示：

利用普通方程很難用滿足于實數對于（x，y）之間的對應關系，以及不能明確物資的運動規律；對此利用參數方程來解決，首先建立x=100 t與y=500-1/2 gt2的參數方程，其中t為參數；可以知道某一時刻物資所在的位置，而且可以進一步知道物資飛行的時間，即當y=0時，t=500/ 2g，又由于m點的坐標x，y由t決定，所以可知當t在連續運動時，x，y也在連續變化，對此明確出物資的運動規律；并且此題明顯利用參數方程，比較簡單且明確參數與給出量之間的關系；對此說明參數方程對于點軌跡方程有一定的優越性。

綜上所述，通過對參數方程在解決數學問題時的優越性的分析，發現參數方程與普通方程存在某種必然的聯系，可以相互進行轉換，但是參數方程比普通方程更加簡易和明了，因為參數方程和普通方程都是由于參數與變量x，y有指定的函數關系，對此比較容易列出函數關系式。而參數方程轉化為普通方程時，只要將方程中的參數去掉就可以了，同時題中提到的變數范圍還是固定不變的。

參考文獻：

于文華.數學問題解決中模式識別的影響因素研究[D].南京師范大學，2012.

編輯 喬建梅