均質半圓球在剛性平面做微振動的運動分析

朱章根，李少勇

（1.韶關學院　物理與機電工程學院；2.韶關學院　數學與統計學院，廣東　韶關　512005）

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均質半圓球在剛性平面做微振動的運動分析

朱章根1，李少勇2

（1.韶關學院物理與機電工程學院；2.韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

摘要：用動力學的方法，建立了均質半圓球在粗糙水平面以及光滑水平面上運動的微分方程，分析兩種情況下微振動的周期.當剛性平面絕對粗糙時半圓球做無滑滾動,系統只有一個自由度；當剛性平面為光滑時系統具有兩個自由度，其運動形式為滾動加滑動.并且指出了一些教材上的錯誤，給出了正確的解答，可供教學參考.

關鍵詞：剛體動力學；微振動；微分方程；自由度

很多動力學的書籍都有關于剛體動力學的內容，求解物體運動的微分方程是理論力學的一個重難點.以下將給出五種常見的力學方法求解均質半圓柱體在粗糙平面上做微擺動的微分方程，旨在通過一題多解培養學生的發散思維.可供一線教師以及考研學子借鑒.

問題一的引入：如圖所示半徑為r，質量為m的均質剛性半圓球在固定粗糙平面上無滑動滾動.初始時，半圓球體靜止，且∠COC*=θ0.半圓的質心C與圓心O1之間的距離為e，試求當解除約束后該系統的運動微分方程，并求其微擺運動的周期.

圖一　在水平上做為振動的半圓球

圖二　在粗糙水平面上半圓球的受力情況

因而體系的動能等于半圓球體繞著速度瞬心C*轉動的動能

若以地面為零勢面，其勢能為

系統的拉格朗日函數為

解法二如圖二所示以O1基點為基點求C點的加速度

將aC在水平方向上以及豎直方向上分解可得

假設水平面對半圓球的摩擦力為F，支持力為N.對半圓球列寫平面運動動力力學方程可得：

解法三（動靜法）如圖二所示系統為一個自由度，設θ為廣義坐標.以O為基點求C的加速度，由純滾動的條件可知，C點對O點的切向以及法相加速度分別為將加速度沿著水平以及豎直方向上分解得

此時的慣性力以及慣性力偶矩分別為

對瞬心C*取力矩，由可得

代入數據化簡得

解法四（用對動點的動量矩定理求其運動的微分方程）如圖所示的坐標系，設Z軸垂直向外.取定瞬心跡上P點為動點，則P做直線運動：

由對動點的動量矩可得

解法五（動能定理）系統具有一個自由度，選θ為廣義坐標，根據柯尼希定理.系統的動能為

體系的勢能為

機械能守恒T+V=const，即：

將上式對時間求導得

以上五種方法求得的微分方程一致，當其在平衡位置擺動時，令，有

因而θ=0為系統的穩定平衡位置.由上述分析可知θ=0為一個穩定的平衡點，半圓球的微振動平衡位置只有一個.

上兩個式子中t表示時間,t≥0，式(1)是沒有解析解的.求解有一定的困難.這里采用四階龍格庫塔方法用計算機求解.將(2)﹑(3)兩式稱為理論解.用Matlab求得其圖像如下圖：

圖一　初值θ0→0.5π時計算機模擬數值解與理論解

不考慮半圓球側翻的情況下，在這里重力加速度取g=9.8m/s2.在研究其微分方程時候，取r=0.49m，根據實際情況.求得理論值與實際值差別比較大.其理論周期與數值解周期相差大約0.9s，誤差較大.但是隨著初值θ0的減小，理論解與數值解的周期速度等參數是很接近的！

當θ0=0.1π時，理論解與數值解幾乎完全一模一樣，周期，速度函數圖像非常的接近.可見當半圓球做微振動的時候其運動規律完全可以由(2)﹑(3)兩式來刻畫.將數值解周期記為T1；理論解周期記為T1；數值解最大速度記為1max；理論解最大速度記為1max.將計算機計算結果記錄于表一中.根據理論解的表達式，物體運動的周期是一個固定值與初值無關，而根據龍格庫塔方法計算得到的(1)式的數值解與初值幾乎成正相關.初值θ0越大，半圓球運動的周期就大.初值越大最大的速度也越大，這個與(3)式計算結果相似.

圖二　初值θ0=0.1ψ時計算機模擬數值解與理論解

表一　不同初值下的周期與速度變化規律

式(1)的數值解函數可以看出，半圓球做固定周期運動，與理論分析半圓在平衡位置附近來回擺動的結果一致.

問題二：當半圓柱體在光滑的水平面上運動時，其微分方程又是什么呢？其微振動的周期又是什么？剛性圓球在粗糙水平面上的運動應該是既滾動又滑動的，因而系統是具有兩個自由度的.

解：取x,θ為廣義坐標，設半圓體對C點的轉動慣量為JC，此時角速度為ω，質心C點的坐標為xC=x-esinθ，yC=r-ecosθ.對xC,yC求導得C點的速度為，則此時的動能為：

取θ=0時為勢能零點，則此時的系統勢能為：

代入拉格朗日函數可得：

由

代入

可解得運動微分方程：

其物理意義為能量守恒.根據初始條件可求得C1=0﹑C2=mgr(1-cosθ0).由微分方程消去可得

因而θ=0為系統的穩定平衡位置.由上述分析可知θ=0為一個穩定的平衡點，半圓球的微振動平衡位置只有一個.類似問題一的處理方法可得解微分方程：可得

繼而可得

由于x(t)的表達根據(7)可以求出

x(t)為在坐標軸左右擺動的周期函數，與三角函數類似.根據初值x0以及θ0即可求出其具體表達式.現在僅僅研究x.(t)即可知道半圓球在光滑平面上振動的周期等.

圖三　θ'0→0.5π時的解函數圖像

這樣光滑平面上的半圓球的運動特性便可知道了.初值x'0對系統的擺動周期沒有影響，在此可忽略不計.仿照問題一：可得以下計算機的計算結果：

當θ'0→0.5π時，半圓球處在極限位置，在假設它不會側翻的前提下，得出了圖三的微分方程.并且取r=0.49m，求得理論值與實際值差別比較大.其理論周期與數值解周期相差大約0.4s.但是當θ'0→0時，取小角度(4)式所得結果與(5)﹑(6)式非常接近.

圖四　θ'0=0.1π時的解函數圖像

表二　不同初值時的周期與速度最值

況且以上理論分析可知，在光滑平面上的半圓球運動的周期遠遠小于在粗糙平面做純滾動的半圓球體.而且在初值θ0=θ'0時，地面光滑的情況下半圓球所達到的最大速度比在粗糙平面的大.根據(6)式計算所得的理論速度，比(4)式要小，可見只有當半圓球做微小振動時候(5)﹑(6)兩式才能成立.一般當θ'0≤0.1π=180°時，(5)﹑(6)兩式作為近似結果還是可以的.

由以上分析可知，無論剛性平面是光滑的還是粗糙的，在解除約束以后半圓球將在水平面上做擺動的平衡位置都是只有一個的.且該平衡位置為穩定平衡.

參考文獻：

〔1〕李俊峰,等.理論力學（第2版）[M].北京:清華大學出版社,2010.

〔2〕哈爾濱工業大學理論力學教研室編.理論力學（第7版）[M].北京:清華大學出版社,2009.

〔3〕江蘇省力學學會教育科普委員會.理論力學材料力學考研與競賽試題精解（第2版）[M].北京:中國礦業大學出版社,2010.

通訊作者：李少勇(1980-），男，講師，博士研究生，研究方向為微分方程理論及應用

基金項目：韶關學院科研項目（201320501)

收稿日期：2015-10-23

中圖分類號：O131.3

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）03-0015-04