一類常考最值題的七種解法

蔡勇全

近年來，高考數學試題中有一位“常客”，形如“已知兩個正實數x，y，滿足ax+by=cxy，求Ax+By的最值.其中，a，b，c，A，B∈R+”.此類題目看似小巧精致，實則內涵豐富，因考查考生對學科內知識的綜合運用能力和對多種數學思想方法的掌握程度而備受命題者的青睞.下面以一道高考題為例，向同學們展示這類題目的七種解法.

例題 若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值為

A. B. C.5 D.6

解 （解法1：分式代換）由x+3y=5xy，可得+=1.令=，=，其中a，b∈R+，則x=，y=，3x+4y=+=+·（+）≥+×2=5，當且僅當=，即b=a時等號成立，此時x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值為5.選C.

小結 當條件中含有xi=1時，可設xi=，其中i=1，2，…，n，n∈.

（解法2：對條件式進行因式分解，再對目標式實施配湊技巧）由x+3y=5xy變形，得（x-）（5y-1）=，即（3x-）（4y-）=，所以3x+4y=（3x-）+（4y-）+≥2+=5，當且僅當3x-=4y-，即x=1，y=時等號成立.

所以，3x+4y的最小值為5.選C.

小結 解法2用到如下結論：若Ax+By+Cxy=0（A，B，C均為非零常數），則（x+）（Cy+A）=.

（解法3：消元代入后進行分母代換）由x+3y=5xy，可得x =.由x>0，可知y>.

3x+4y=+4y=.令5y-1= t，則y=，且t>0.于是可得3x+4y===++≥+2=5，當且僅當=，即t=時等號成立，此時x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值為5.選C.

小結 在解法3中，對也可不進行分母代換而直接分離系數，再利用基本不等式求得結果.但是，這種解法需要解題者具有整體性視野，而且運算量較大.

（解法4：整體代換并結合判別式法）令3x+4y=k，則x=-.將其代入x+3y=5xy，整理得20y2+（5-5k）y+k=0.依題意，該方程的根為正實數，所以Δ=（5-5k）2-80k≥0，且->0，解得k≥5.

所以，3x+4y的最小值為5.選C.

小結 實施整體代換，也可以這樣處理：令3x+4y=k.由x+3y=5xy，可得（3x+4y）（x+3y）=5kxy.分離參數，得k===·（++13）≥（2+13）=5，當且僅當=，即x=2y時等號成立，此時x=1，y=.

（解法5：三角代換）由x+3y=5xy，可得+=1.令=sin2α，=cos2α，α∈（0，），則x=，y=，3x+4y=·+·=·+·=+·tan2α+≥+2=5，當且僅當tan2α=，即tan2α=時等號成立，此時x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值為5.選C.

小結 利用sin2α+cos2α=1進行代換是最常見的三角代換方式之一.三角代換的常用方法還有：若+=1，則可設x=acos θ，y=bsin θ；若含有，則可考慮設x=acos θ或x=asin θ；若含有，則可考慮設 x=atan θ 等.

（解法6：常數代換）由x+3y=5xy，可得=1，所以3x+4y=（3x+4y）·1=（3x+4y）·=（3x+4y）·（+）=++=+（+）≥+×2=5，當且僅當=，即x=2y時等號成立，此時x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值為5.選C.

小結 在數學運算中，巧妙地對常量1進行代換，往往會給我們的解題帶來極大的方便.

（解法7：均值代換）由x+3y=5xy，可得+=1.令=-d，=+d，其中-

3x+4y ==.令26-20d=t（16

所以，3x+4y≥5，3x+4y的最小值為5，此時d=，x=1，y=.選C.

小結 在解法7中，對的倒數進行系數分離是受解法3的啟發而得到的.

從這七種解法我們可以看出，熟練掌握各種運算技巧是正確求解最值問題的前提和關鍵，而這些技巧源于教材且高于教材.所以，我們在高三復習備考過程中，既要重視對教材的研究，又要加強對知識的綜合運用.

（責任編校 馮琪）