冪的運算幾點提示

周海燕

“冪的運算”是初中生必須掌握的基礎知識，也是一項基本的計算技能.更是同學們學好后續知識的保證，如整式的運算和因式分解都以“冪的運算”為基礎知識.為了讓學生能較好地學習本章，對此作了如下幾點提示：

一、 冪的運算與生活的密切聯系

數學知識不是孤立的數字游戲，它是源于生活的，“冪的運算”同樣也是來源于生活的.如同底數冪的乘法中有這樣一個現實問題：“一種電子計算機每秒可進行1014次運算，它工作1013秒可進行多少次運算？”再比如課本上的例2：一顆衛星繞地球運行的速度是7.9×103 m/s，求這顆衛星運行1 h的路程.再如“冪的乘法與積的乘方”中如何解決黑板上寫不下100個104的連乘等，使大家體會生活數學中的“大數值”.同底數冪的除法與科學計算中的負指數也有很多生產、生活中的應用實例，如課本例4在顯微鏡下，一種細胞的截面可以近似看成圓，它的半徑約為7.80×10-7 m，試求這種細胞的截面面積.還有納米與微米換算等，讓大家感受微觀世界中的“小數值”.

二、 冪的運算注重新舊知識的聯系

“冪的運算”中有大量的有理數的乘方運算.實際是通過“做一做”有理數的乘方運算讓同學們體會感受同底數冪的乘法的合理性，并讓同學們能說出每步計算的依據，逐步從合情推理向演繹推理過渡.并讓同學們感受證明的必要性，發展大家的演繹推理的能力.讓同學們在“做”（即計算）中學法則，在法則運用中體會計算.

三、 冪的運算中各個公式的區別與聯系

在“冪的運算”中有這樣四個法則：

1. 同底數冪的乘法法則：am·an=am+n（m、n是正整數）.

（1） 先弄清楚底數、指數、冪這三個基本概念的含義.

（2） 它的前提是“同底”，而且底可以是一個具體的數或字母，也可以是一個單項式或多項式，如：（2x+y）2·（2x+y）3=（2x+y）5，底數就是一個二項式（2x+y）.

（3） 指數都是正整數.

（4） 這個法則可以推廣到三個或三個以上的同底數冪相乘，即am·an·ap·…=am+n+p+…（m，n，p都是自然數）.

2. 冪的乘方法則：（am）n=amm（m、n是正整數）.

要掌握冪的乘方和同底數冪的區別，如（x3）4=x3×4=x12與x3·x4=x3+4=x7.

3. 積的乘方（ab）n=anbn（n為正整數）.

積的乘方主要強調的是指數相同，并要與冪的乘方區別開來，積的乘方乘方后相乘，冪的乘方是指數相乘.

4. 同底數冪的除法：am÷an=am-n（m、n是正整數，m>n）.

和同底數冪相乘一樣要強調底數相同，不同的是指數相減.而且它們之間是互為逆運算的關系.

四、 冪的運算中法則的逆用

大多數同學在運用上述冪的運算法則時，正向運用問題不大，但進行逆向思維時，卻困難重重.但這些法則的逆用可以進行簡便計算，化繁為簡.

如：（1） 同底數冪的乘法與積的乘法的反用：若am=6，an=7，求a2m+n；

（2） 冪的乘方的反用：若5a =3，求25a 的值；

（3） 同底數冪的除法的反用：若am=3，an=6，求a3m-2n.

五、 冪的運算中的數學思想方法

冪的運算中除了上面講的整體思想和逆向變換思想外，還有轉化思想.例如：若2×8m×16m=410，求m的值.本題左邊形式上不符合同底數冪的乘法，通過轉化為2為底的同底數冪的乘法，將陌生的問題轉化為熟悉的公式.再有分類思想，如課本復習題第9題：已知a、b是有理數，且ab=1，求a、b.本題要對a、b進行分類.當b=0時，a為不等于0的數；當b不等于0時，若a=1，則b為任何整數；若a=-1，則b為任何偶數.

（作者單位：江蘇省泰州中學附屬初級中學）