冪的運(yùn)算幾點(diǎn)提示

周海燕

“冪的運(yùn)算”是初中生必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，也是一項(xiàng)基本的計(jì)算技能.更是同學(xué)們學(xué)好后續(xù)知識(shí)的保證，如整式的運(yùn)算和因式分解都以“冪的運(yùn)算”為基礎(chǔ)知識(shí).為了讓學(xué)生能較好地學(xué)習(xí)本章，對(duì)此作了如下幾點(diǎn)提示：

一、 冪的運(yùn)算與生活的密切聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立的數(shù)字游戲，它是源于生活的，“冪的運(yùn)算”同樣也是來源于生活的.如同底數(shù)冪的乘法中有這樣一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題：“一種電子計(jì)算機(jī)每秒可進(jìn)行1014次運(yùn)算，它工作1013秒可進(jìn)行多少次運(yùn)算？”再比如課本上的例2：一顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的速度是7.9×103 m/s，求這顆衛(wèi)星運(yùn)行1 h的路程.再如“冪的乘法與積的乘方”中如何解決黑板上寫不下100個(gè)104的連乘等，使大家體會(huì)生活數(shù)學(xué)中的“大數(shù)值”.同底數(shù)冪的除法與科學(xué)計(jì)算中的負(fù)指數(shù)也有很多生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用實(shí)例，如課本例4在顯微鏡下，一種細(xì)胞的截面可以近似看成圓，它的半徑約為7.80×10-7 m，試求這種細(xì)胞的截面面積.還有納米與微米換算等，讓大家感受微觀世界中的“小數(shù)值”.

二、 冪的運(yùn)算注重新舊知識(shí)的聯(lián)系

“冪的運(yùn)算”中有大量的有理數(shù)的乘方運(yùn)算.實(shí)際是通過“做一做”有理數(shù)的乘方運(yùn)算讓同學(xué)們體會(huì)感受同底數(shù)冪的乘法的合理性，并讓同學(xué)們能說出每步計(jì)算的依據(jù)，逐步從合情推理向演繹推理過渡.并讓同學(xué)們感受證明的必要性，發(fā)展大家的演繹推理的能力.讓同學(xué)們?cè)凇白觥保从?jì)算）中學(xué)法則，在法則運(yùn)用中體會(huì)計(jì)算.

三、 冪的運(yùn)算中各個(gè)公式的區(qū)別與聯(lián)系

在“冪的運(yùn)算”中有這樣四個(gè)法則：

1. 同底數(shù)冪的乘法法則：am·an=am+n（m、n是正整數(shù)）.

（1） 先弄清楚底數(shù)、指數(shù)、冪這三個(gè)基本概念的含義.

（2） 它的前提是“同底”，而且底可以是一個(gè)具體的數(shù)或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，如：（2x+y）2·（2x+y）3=（2x+y）5，底數(shù)就是一個(gè)二項(xiàng)式（2x+y）.

（3） 指數(shù)都是正整數(shù).

（4） 這個(gè)法則可以推廣到三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘，即am·an·ap·…=am+n+p+…（m，n，p都是自然數(shù)）.

2. 冪的乘方法則：（am）n=amm（m、n是正整數(shù)）.

要掌握冪的乘方和同底數(shù)冪的區(qū)別，如（x3）4=x3×4=x12與x3·x4=x3+4=x7.

3. 積的乘方（ab）n=anbn（n為正整數(shù)）.

積的乘方主要強(qiáng)調(diào)的是指數(shù)相同，并要與冪的乘方區(qū)別開來，積的乘方乘方后相乘，冪的乘方是指數(shù)相乘.

4. 同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n（m、n是正整數(shù)，m>n）.

和同底數(shù)冪相乘一樣要強(qiáng)調(diào)底數(shù)相同，不同的是指數(shù)相減.而且它們之間是互為逆運(yùn)算的關(guān)系.

四、 冪的運(yùn)算中法則的逆用

大多數(shù)同學(xué)在運(yùn)用上述冪的運(yùn)算法則時(shí)，正向運(yùn)用問題不大，但進(jìn)行逆向思維時(shí)，卻困難重重.但這些法則的逆用可以進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，化繁為簡(jiǎn).

如：（1） 同底數(shù)冪的乘法與積的乘法的反用：若am=6，an=7，求a2m+n；

（2） 冪的乘方的反用：若5a =3，求25a 的值；

（3） 同底數(shù)冪的除法的反用：若am=3，an=6，求a3m-2n.

五、 冪的運(yùn)算中的數(shù)學(xué)思想方法

冪的運(yùn)算中除了上面講的整體思想和逆向變換思想外，還有轉(zhuǎn)化思想.例如：若2×8m×16m=410，求m的值.本題左邊形式上不符合同底數(shù)冪的乘法，通過轉(zhuǎn)化為2為底的同底數(shù)冪的乘法，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的公式.再有分類思想，如課本復(fù)習(xí)題第9題：已知a、b是有理數(shù)，且ab=1，求a、b.本題要對(duì)a、b進(jìn)行分類.當(dāng)b=0時(shí)，a為不等于0的數(shù)；當(dāng)b不等于0時(shí)，若a=1，則b為任何整數(shù)；若a=-1，則b為任何偶數(shù).

（作者單位：江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）