一種運算和一個手段

張曉東

本章的主要內(nèi)容是整式的乘法運算（包括整式乘法的簡便運算：乘法公式）、因式分解.整式乘法是整式的一種運算，因式分解是對整式進(jìn)行處理的一種手段，這些運算及手段是以后學(xué)習(xí)分式和根式運算的基礎(chǔ).

一、 整式的乘法

整式的乘法是在前面學(xué)習(xí)了整式加減運算后的另一種整式運算. 前一章所學(xué)習(xí)的冪的運算性質(zhì)：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎(chǔ).整式乘法具體內(nèi)容包括單項式乘單項式、單項式乘多項式以及多項式乘多項式.

單項式與單項式相乘 原則：結(jié)果還是單項式；方法：把單項式中能乘的進(jìn)行乘法運算（把系數(shù)相乘，相同字母分別相乘），不能乘的照搬（對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式）.

單項式乘多項式 根據(jù)數(shù)字計算中乘法分配律，將單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積（單項式）相加.實質(zhì)是單項式與單項式乘法.

多項式與多項式相乘 用多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積（單項式）相加. 其實質(zhì)也是轉(zhuǎn)化為單項式與單項式相乘. 在沒有合并同類項之前，所得多項式項數(shù)為各多項式項數(shù)之積.

二、 乘法公式

乘法公式是多項式乘多項式的簡便運算方法.當(dāng)多項式乘多項式出現(xiàn)特殊形式時，運用乘法公式能迅速而簡潔地進(jìn)行一些整式相乘的運算.

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

公式的特征：平方差公式的左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù). 平方差公式右邊是兩項平方差的形式.

完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

公式的特征：完全平方公式的左邊是括號內(nèi)兩個式子和（差）的平方（完全平方），完全平方公式的右邊是一個二次三項式，首尾是這兩個式子平方和，中間是這兩個式子積的2倍，符號和左邊括號內(nèi)一個樣.

三、 因式分解

分解因式是處理代數(shù)式的一種手段，不是目的. 分解因式的思路和方法始終貫穿在數(shù)學(xué)變換中，通過分解因式將多項式合理變形，是求代數(shù)式的值的常用的解題方法，許多有關(guān)整式、分式以及二次根式的化簡與計算都離不開分解因式. 因式分解和整式乘法是互逆的關(guān)系. 因式分解是否正確可以用整式乘法去檢查. 同學(xué)們在學(xué)習(xí)時必須能夠弄清兩者的區(qū)別和聯(lián)系. 因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.

分解因式基本概念：

1. 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫作把這個多項式分解因式. 其關(guān)鍵詞是：多項式、整式、積.

2. 因式分解和整式乘法是互逆的關(guān)系. 整式乘法是積化和差；因式分解是和差化積.

因式分解的解題步驟與注意點：

1. 看各項有沒有公因式，若有，先提取公因式；

2. 再看能否使用公式法；

3. 因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積，否則不是因式分解；

4. 因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

因式分解的基本方法

1. 提公因式法

概念：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫作提公因式法. 例如：ab+ac=a（b+c）.

概念內(nèi)涵：

（1） 因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”，n項式=公因式×新的n項式；

（2） 公因式可能是單項式，也可能是多項式；

方法：

（1） 找多項式中的公因式方法：公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)——各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；

（2） 提公因式法的方法：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式. 需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項.

2. 公式法

概念內(nèi)涵：

（1） 運用公式法分解因式的實質(zhì)是：把乘法公式反過來使用.常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

（兩項都是一個整式的平方，且兩項是異號）

②完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2、a2-

2ab+b2=（a-b）2

（有三項，兩個平方項符號相同，另一項是前兩項冪的底數(shù)乘積的2倍，符號可正可負(fù)）

方法：

（1） 把多項式寫成為平方差及完全平方公式的形式；

（2） 熟悉公式的結(jié)構(gòu)特點，找出公式中a、b所代表的數(shù)和代數(shù)式；

（3） 根據(jù)公式寫出積的形式.

因式分解中需要注意的幾個問題

1. 分解因式是在多項式范圍內(nèi)進(jìn)行. 而對于a2+-2=a

-2的變形過程，是利用了因式分解的方法，而不能叫因式分解.

2. 要把整個多項式化為幾個整式的積，而不是把部分化為積的形式.

如：a2-6a+9=a（a-6）+9這不是因式分解的答案，正確的應(yīng)該是：a2-6a+9=（a-3）2.

3. 多項式中某一項恰為公因式，提出后，括號中這一項為1，不能漏掉.

如：x2y+xy2-xy=xy（x+y）是錯誤的，括號內(nèi)漏了-1這一項，正確的應(yīng)該是：x2y+xy2-xy=xy（x+y-1）.

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪實驗中學(xué)）