展開與折疊

柏黎平

立體圖形與平面圖形在某種情況下可以互相轉化，不僅多面體可由平面圖形圍成，而且立體圖形可按不同方式展開成平面圖形.

實驗能讓我們通過觀察、思考和自己動手操作，經歷和體驗圖形的變化過程，進一步了解研究立體圖形的方法，為今后進一步學習立體幾何奠定堅實的基礎.

實驗準備：《初中數學實驗手冊（七上）》，剪刀、卡紙等工具.

實驗重點：通過正方體表面的展開與折疊活動積累數學活動的經驗，進一步認識立體圖形與平面圖形的關系.

實驗方案：

方案一：正方體的表面展開圖.

方案二：立體圖形與其表面展開圖的對應.

方案三：展開與折疊的應用.

探究活動：

【活動一】把一個正方體的表面沿棱剪開，可以展開成一個平面圖形，下面哪些圖形可以是正方形的表面展開圖？

這些問題比較抽象，只通過思考是很難完成的，我們可以動手操作一下.

活動指導：

1. 將正方體的表面展開比較麻煩，我們可以采用反向思考，用折疊的方法加以驗證.

2. 初中《數學實驗手冊（七上）》為我們準備了很多的對應圖形，我們可以剪下來進行嘗試，趕緊去試一下吧.

3. 有些圖形沒有，你可以自己畫一張圖，用剪刀剪下來，再進行嘗試.

活動小結：

1. 抽象的問題經過我們的動手操作，問題就變得簡單了.

2. 數學研究不僅僅是計算與思考，還可以動手實驗，這樣能增加我們對問題的感性認識，既快又方便，何樂而不為呢？

3. 完成這些操作后，對于正方體的表面展開圖你是否有什么需要總結的呢，你可以把它寫下來.

【活動二】下面幾個圖形是一些常見幾何體的展開圖，你能正確說出這些幾何體的名稱嗎？

本題根據我們小學的學習，應該有點經驗了，同學們可以先嘗試說一說解答本題，然后再結合圖形動手驗證.

活動指導：

1. 《數學實驗手冊（七上）》也有部分的對應圖形，我們可以剪下來進行嘗試，趕緊去試一下吧.

2. 如果《手冊》上沒有，你可以自己畫一張圖，用剪刀剪下來，再進行嘗試.

活動小結：

1. 這些表面展開圖經折疊后可以成為我們熟悉的立體圖形，但是立體圖形的表面由于展開方式不一樣，它的展開圖有多種可能哦.

2. 這些表面展開圖中有些含有長方形，有些含有三角形；而圍成的圖形中有些是棱柱，有些是棱錐，你是否發現它們之間的對應關系呢？

3. 通過本次實驗操作，你還有哪些收獲呢，你可以把自己的想法寫下來哦.

【活動三】如圖，一只螞蟻從封閉的正方體紙盒的表面的D點要到距它最遠的B′點，請你設計一條線路，讓其爬行路線最短.

我們知道一個基本事實：兩點之間，線段是最短的. 但本題考慮到螞蟻只能在表面上爬行，因此尋找直接從D點到B′點的線段路線是行不通的.

活動指導：

考慮到D點和B′點所在的平面不是同一個平面，因此螞蟻爬行的路線在正方體表面畫出來將是一條比較麻煩的曲線或者折線，我們很難研究. 是否可以把正方體表面展開，使得D點和B′點在同一個平面上呢？

于是我們可以將正方體的正面和右側面展開成如下圖的圖形.

此時D點和B′點就在同一個平面上了，最短路線當然是線段DB′了，然后我們再讓右邊側面還原，這樣螞蟻的爬行按D→M→B′的路線就是符合要求的了.

同學們還可以思考，是否還有其他的路線也能符合要求呢？你可以自己繼續研究下去，拿起你的正方體的表面展開圖繼續實驗吧.

活動小結：

本題我們通過展開與折疊，將立體圖形的問題轉化到了平面圖形的問題，答案就顯而易見了.

活動總結：

多面體可由平面圖形圍成，而且立體圖形可按不同方式展開成平面圖形，在需要的時候我們可以通過展開與折疊實現這兩種圖形的轉化，這樣就能讓我們比較輕松地研究問題.

另外，我們在研究數學問題時，不但可以依靠計算和思考，我們還能通過數學實驗幫助我們加深對問題的理解，而且在實驗中我們還通過觀察、思考和自己動手操作，經歷和體驗圖形的變化過程，從而進一步了解研究立體圖形的方法，為今后進一步學習立體幾何打下堅實的基礎.

（作者單位：江蘇省太倉市雙鳳中學）