數學應用的小故事

龔輝

1. “借一還一”思想

有一個古老的故事在新疆流傳：從前，有個牧民辛苦放牧一生，全部財產只有17匹馬，臨終前，他把三個兒子叫到身邊留下遺囑：“孩子們，我把17匹馬留給你們，老大得二分之一，老二得三分之一，老三得九分之一，把馬分完，但是不許把馬宰了再分. ”事后，三兄弟在一起商量了很久，始終無法按照老人的意圖把馬分掉. 他們只好去請教愛動腦筋的老鄰居，老鄰居思索之后告訴他們：“我借一匹馬給你們，共有18匹，這樣就好分了. 老大得二分之一是9匹，老二得三分之一是6匹，老三得九分之一是2匹，你們總共分了17匹，剩下的1匹再還給我. ”

這就是巧妙的“借一還一”思想，既符合老人的遺囑，又讓三兄弟都滿意.

這種“借一還一”思想在數學上也有著廣泛的應用.

例1 已知4個礦泉水空瓶可以換1瓶礦泉水，現有15個礦泉水空瓶，若不找錢，最多可以喝礦泉水_______瓶.

【分析】正常情況下，15個空瓶只能換3瓶礦泉水，喝掉后手里有6個空瓶，再可以換1瓶礦泉水，這樣總共只能喝到4瓶.

如果先向別人借一個空瓶，情況就不一樣了，16個瓶子可以換回4瓶礦泉水，喝完后4個空瓶又能換回1瓶礦泉水，待喝完后，再把空瓶還給別人，這樣最多可以喝5瓶礦泉水.

解：5瓶.

2. 這還用得著比嗎？

地球的半徑R約為6 370 km，而標準乒乓球的半徑r=2 cm. 假如用繩子繞地球赤道一周，同樣用線繞乒乓球最大的圓一周. 現在同時將這兩根繩子各加長1 m，比較繩子與地球表面的空隙和線與乒乓球表面的空隙，哪個大？

這還用得著比嗎？肯定是乒乓球的空隙要遠遠大于赤道表面的空隙，因為對地球而言，這增加的1 m太微不足道了！

事實并非如此！

這兩個空隙是一樣大的！

讓數學來見證奇跡吧！

由圓周長公式得：C地球=2πR，C乒乓球=2πr（其中R≈6 370 000 m，r=0.02 m），再將周長都加長1 m后，兩個周長分別為：C′地球=2πR+1，C′乒乓球=2πr+1，此時繩圈的半徑分別為：R′==R+，r′==r+. 那么繩子與兩球表面之間的空隙分別為：R′-R=，r′-r=. 顯然R′-R=r′-r，即兩者的空隙是相等的.

從這個例子，我們感受到了數學運算的強大魅力，特別是字母表示數，一方面簡化了運算過程；另一方面，我們還發現，R≈6 370 000 m和r=0.02 m根本沒有參與運算，上面的規律可以推廣到更一般的兩個球體，同樣適用. 同時，也讓我們明白，如果只憑感覺進行判斷，有些時候是不正確的. 用數據說話，這就是數學的無可爭辯性、數學的理性精神！

（作者單位：江蘇省太倉市教研室）