基于改進概率假設密度的多目標跟蹤算法

王海環　王俊

(西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室,西安 710071)

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基于改進概率假設密度的多目標跟蹤算法

王海環王俊

(西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室,西安 710071)

摘要經典序貫蒙特卡羅概率假設密度(Sequential Mote Carlo Probability Hypothesis Density,SMC-PHD)濾波中,將目標狀態轉移密度函數做為建議密度函數,沒有利用當前觀測信息,導致大部分預測粒子狀態偏離目標真實狀態,粒子退化嚴重. 針對上述問題,提出利用均方根容積卡爾曼濾波產生建議密度函數,對其進行采樣得到預測粒子狀態,該方法有嚴格理論基礎,能有效減輕SMC-PHD濾波中的粒子退化,且適用性很強.仿真實驗對比了該算法、經典SMC-PHD和基于無跡卡爾曼的SMC-PHD算法的跟蹤性能,驗證了該方法無論對勢估計還是對目標狀態估計的精度都優于其他兩種算法.

關鍵詞多目標跟蹤;概率假設密度濾波;序貫蒙特卡羅;建議密度函數;均方根容積卡爾曼濾波

DOI10.13443/j.cjors.2015031801

Multi-target tracking based on improved probability hypothesis density filter

WANG HaihuanWANG Jun

(NationalLabofRadarSignalProcessing,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

Abstract Due to the most recent observational data being unused, the particles in sequential Mote Carlo probability hypothesis density (SMC-PHD) filter which are drawn from prior transition is far away from the real states and may seriously degenerate. Aiming at these problems, we propose a method named square-rooted cubature Kalman sequential Mote Carlo PHD (SCK-SMC-PHD) filter which uses square-rooted cubature Kalman filter to generate the proposal density function and obtains the present particles states by sampling from the proposal density function. The proposed method which can alleviate particles degradation effectively has rigorous mathematical theoretical basis and strong adaptability. Simulation compares the proposed method with C-SMC-PHD filter and the SMC-PHD based on unscented Kalman filter. The results show that the proposed SCK-SMC-PHD filter has a higher accuracy in estimation of both individual state and target number than the two methods mentioned above.

Keywords multi-target tracking; probability hypothesis density; sequential Mote Carlo; proposal density function; square-rooted cubature Kalman filter

引言

由于需要進行數據關聯,傳統的多目標跟蹤算法運算量大、實時性差.為解決上述問題,Mahler基于隨機有限集[1](Random Finite Sets, RFS)理論,對多目標跟蹤進行集合建模,從而將單目標貝葉斯濾波推廣到多目標領域,避免了數據關聯.但多目標貝葉斯濾波的最優解需要進行集合積分,一般情況下很難得到多目標全局后驗概率密度,因而Mahler提出利用多目標全局后驗概率密度的一階矩代替其本身在多目標貝葉斯遞推式中進行傳遞,這就是概率假設密度(Probability Hypothesis Density, PHD)濾波[2].PHD濾波通過一階矩近似,降低了多目標貝葉斯濾波的計算復雜度,其序貫蒙特卡羅(Sequential Mote Carlo, SMC)實現形式[3]可在非線性非高斯條件下使用,但由于其基于序貫重要性采樣原理,因而SMC-PHD濾波具有和粒子濾波(Particle Filter, PF)同樣的缺點,即建議密度函數的選擇對算法性能的影響至關重要.

經典SMC-PHD(Classic SMC-PHD, C-SMC-PHD)濾波中將目標狀態轉移方程作為建議密度函數,沒有利用當前觀測量,導致在運動模型不準時,大量粒子在迭代過程中權值趨于零,粒子退化嚴重.針對SMC-PHD濾波中建議密度函數的選擇問題,許多學者提出改進的SMC-PHD算法,例如基于輔助粒子濾波的SMC-PHD算法[4]、基于擴展卡爾曼濾波的SMC-PHD(Extent Kalman SMC-PHD, EK-SMC-PHD)算法[5]、基于無跡卡爾曼濾波的SMC-PHD(Unscented Kalman SMC-PHD, UK-SMC-PHD)算法[6]等.在這些改進的算法中,UK-SMC-PHD算法的跟蹤性能最優[7-8],但由于UK-SMC-PHD算法中采用無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)產生建議密度函數,而UKF的性能受目標狀態維數的限制,因而UK-SMC-PHD在目標狀態維數較高時算法性能下降很快.

基于均方根容積卡爾曼濾波的SMC-PHD(SCK-SMC-PHD)算法,利用均方根容積卡爾曼濾波(Square-rooted Cubature Kalman Filter, SCKF)產生建議密度函數,然后對其進行采樣得到預測粒子狀態.容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filter, CKF)和UKF同屬于利用數值積分解決高維積分問題的范疇,但同UKF不同,CKF中采用的容積點是基于球面-徑向容積準則,經嚴密數學推導得出,有堅實的理論基礎,且CKF性能不受目標狀態維數的限制,適用性更強.而SCKF是對CKF的進一步改進,避免了無論在CKF還是在UKF中都需進行的協方差矩陣的開方運算,進一步放寬了CKF的適用范圍.仿真對比試驗表明,SCK-SMC-PHD算法無論對目標數目還是對目標狀態的估計精度都優于C-SMC-PHD算法和UK-SMC-PHD算法.

1基于RFS的多目標跟蹤

1.1PHD濾波

RFS是指由數量有限的隨機元所組成的集合,PHD濾波是基于RFS理論,將多目標跟蹤中的目標狀態集合和觀測量集合分別看成兩個RFS,再利用集合積分、集合導數及泛函理論,在多目標后驗概率密度滿足泊松分布的前提下,用全局后驗概率密度的一階矩來代替其本身在多目標貝葉斯濾波公式中傳遞,從而簡化了多目標貝葉斯濾波.

設k時刻有N(k)個目標狀態分別為xk,1,…,xk,N(k)的目標,有M(k)個狀態分別為zk,1,…,zk,M(k)的觀測量,基于RFS理論[9],分別對多目標的目標狀態集Xk和觀測集Zk建模如下:

Xk={xk,1,…,xk,N(k)}∈(χ),

(1)

Zk={zk,1,…,zk,M(k)}∈(ζ).

(2)

通過以上目標狀態和觀測量的RFS建模,可將單目標貝葉斯濾波推廣到多目標跟蹤中,得到多目標貝葉斯遞推式；

預測:

pk|k-1(Xk|Z1∶k-1)

=∫pk|k-1(Xk|Xk-1)pk-1|k-1

(Xk-1|Z1∶k-1)δXk-1;

(3)

更新:

pk|k(Xk|Z1∶k)

(4)

式中:gk(·|·)為多目標聯合似然函數;pk|k(Xk|Z1∶k)為多目標聯合后驗概率密度;pk|k-1(Xk|Z1∶k-1)為多目標聯合先驗概率密度;pk|k-1(Xk|Xk-1)為多目標狀態轉移概率密度函數.

將多目標貝葉斯中的pk|k-1(Xk|Z1∶k-1)和pk(Xk|Z1∶k)分別用其一階矩Dk|k-1(x)和Dk(x)近似表示,得到PHD的迭代遞推式[4],

預測:

Dk|k-1(x)=γk+∫(βk|k-1(x|ξ)+

ps,k(ξ)fk|k-1(x|ξ))Dk-1(ξ)dξ;

(5)

更新:

Dk(x)=(1-pd,k(x))Dk|k-1(x)+

(6)

式中：ps,k(x)為目標存活概率;fk|k-1(·|·)為其單目標的狀態轉移密度;βk|k-1(·|·)為衍生目標的概率密度函數;γk為k時刻新生目標的密度函數;pd,k為k時刻目標檢測概率;ck為雜波概率密度;λk為雜波平均數;gk(·|·)為單目標似然函數.

1.2SMC-PHD濾波

(7)

(8)

◆更新: 根據式(9),利用觀測集Zk更新粒子權值為

i=1,2,…,Lk-1+Jk.

(9)

SMC-PHD濾波的關鍵步驟是最優建議密度函數的選擇.C-SMC-PHD中將目標狀態轉移函數做為建議密度函數,沒有利用當前觀測信息,在運動模型不準確時,會使大量粒子偏離目標真實狀態,在SMC-PHD遞推式中,這些粒子的權值會變的很小,即這些粒子對后驗概率的貢獻幾乎為零,而真正有貢獻的粒子在迭代過程中會越來越少,粒子退化嚴重.在針對上述問題所提出的改進算法中,UK-SMC-PHD的性能卓越,但UK-SMC-PHD濾波中參數的選擇受目標狀態維數的影響,當目標狀態維數較高時,算法性能不穩定,同時,UK-SMC-PHD算法中需要對協方差矩陣進行開方運算,一旦在迭代過程中出現協方差矩陣非正定,算法就會出錯.而SCK-SMC-PHD濾波算法,利用SCKF構建建議密度函數,既提高了算法的跟蹤精度,同時避免了協方差矩陣開方運算,且算法性能不受目標狀態維數限制,增強了算法的適用性和穩定性.

2SCK-SMC-PHD濾波

2.1SCKF算法

考慮一般的多目標跟蹤問題,在直角坐標系下給出目標離散時間的過程方程和觀測方程,表示為

(10)

式中:f(·)和h(·)分別為目標的過程模型和觀測模型; xk和zk分別為k時刻的目標狀態和觀測量;uk-1、vk分別為過程噪聲和觀測噪聲，服從均值為0，協方差分別為Qk-1、Rk的高斯分布.

當過程方程或觀測方程為非線性時,貝葉斯濾波的最優解通常無法得到,利用近似得到貝葉斯濾波的次最優解是常用的方法.同UKF相似,SCKF也是通過數值積分來近似得到高維積分,但同UKF通過UT變換選取Sigma點的方式不同,SCKF基于三階球面-徑向容積準則選取容積點.

在系統狀態和噪聲都是高斯分布的條件下,非線性濾波的問題可轉化成求解被積函數為非線性函數×高斯概率密度的積分的問題[10].考慮最簡單的形式為

Y(f)=∫Rnf(x)exp(-xTx)dx

=∫Rnf(x)·N(x;0,I)dx.

(11)

式中:f(·)為非線性函數; x∈Rn,n為x的維度; I為n×n階單位陣.

將式(11)由直接坐標系轉換到球面-徑向坐標系下.令x=ry(yyT=1),則xTx=r2,r∈[0,∞),進而式(11)在球面-徑向坐標系下有

(12)

式中: Un表示單位超球面;σ(·)表示積分微元.將式(12)進一步化簡可寫成球面-徑向積分形式:

(13)

S(r)=∫Unf(ry)dσ(y).

(14)

式(13)為徑向積分,式(14)為超球面多維積分.分別利用mr個點和ms個點基于高斯-厄米特準則和球形積分準則來近似式(13)和式(14)的積分為

(15)

(16)

則式(11)的積分可以表示為

Y(f)=∫Rnf(x)exp(-xTx)dx

(17)

基于三次冪球面-徑向準則,取mr=1,ms=2n,可得到

(18)

(19)

由以上分析可以看出,SCKF中容積點的個數比UKF中Sigma點的個數要少,且其對應權值的計算比UKF簡單,因此SCKF的計算復雜度要低于UKF.同時,SCKF的性能不依賴于參數的選擇,且引入了QR分解,避免了矩陣開方運算,因而比UKF的穩定性要好.

2.2SCK-SMC-PHD濾波

鑒于SCKF在處理非線性濾波中的優越性,利用SCKF構建SMC-PHD中的建議密度函數,再對其進行采樣得到預測粒子狀態. 本文采用偽代碼的形式詳細介紹利用SCKF構建建議密度函數的步驟.

◆獲取每個粒子所對應的容積點,其偽代碼為

fori=1,…,Lk-1

forj=1,…,2n

end

end

◆利用狀態方程進行時間更新,其偽代碼為

fori=1,…,Lk-1

forj=1,…,2n

end

end.

◆利用觀測量進行量測更新,得到預測粒子狀態的均值及其所對應的狀態協方差矩陣均方根,其偽代碼為

fori=1,…,Lk-1

forj=1,…,2n

end

end

fori=1,…,Lk-1

end

SCK-SMC-PHD的其他步驟與C-SMC-PHD相同,如1.2節中所述.

2.3SCK-SMC-PHD與UK-SMC-PHD對比分析

(20)

式中,i=1,2,…,n.

下面我們從以下幾個方面對比SCK-SMC-PHD

與UK-SMC-PHD的性能:第一,理論基礎.SCKF中容積點的選取是基于三階球面-徑向積分準則經過嚴格的數學推導得出的,而UKF中Sigma點是由UT變換得到的,而UT變換本身沒有堅實的理論依據,其中一些參數的選取還需要依賴經驗,因而,SCK-SMC-PHD與UK-SMC-PHD相比,具有更強的理論支撐.第二,計算量.對比表2和表3可以看出,針對維數為n的隨機變量,SCKF選取2n個容積點,而UKF則需選取2n+1個Sigma點,因此,SCK-SMC-PHD的算法運行時間要少于UK-SMC-PHD.同時,UKF需要調節參數得到每個Sigma點及其所對應的權值,而SCKF中容積點及其權值的獲取不需要額外的參數,因而,SCK-SMC-PHD的算法復雜度要低于UK-SMC-PHD.第三,算法穩定性.由表3可以看出,UKF中Sigma點及其權值的選擇依賴于參數κ,如果κ的選擇不合適將會嚴重影響算法性能,特別是當目標狀態維數大于3時,UKF算法性能及穩定性迅速降低,而SCKF中容積點的選取只與隨機變量均值,協方差陣和維數有關,因此SCK-SMC-PHD算法比UK-SMC-PHD算法更穩定.此外,由于SCKF中避免了UKF中的矩陣開方運算,進一步提高了SCK-SMC-PHD濾波的穩定性.第四,跟蹤精度.SCKF與UKF都是通過一組數值點來近似多維積分.為比較SCKF與UKF在目標狀態維數較高時的濾波精度,定義穩定因子[10]

(21)

式中,ωi為數值點的權值(SCKF中為容積點權值,UKF中為Sigma點權值).當Iω>1時,多維積分的數值估計將引入較大誤差.在SCKF中,Iω始終等于1,而在UKF中,ωi的選取與參數κ有關,依據經驗通常取n+κ=3,當目標狀態維數n小于等于3時,Iω等于1,當目標狀態維數n大于3時,Iω大于1且隨著目標維數的增加而增大.由此可見,當目標狀態維數較高時,SCK-SMC-PHD算法的濾波精度要高于UK-SMC-PHD.

3實驗仿真

為提高定位和跟蹤精度,仿真實驗在多傳感器聯合定位[11-12]的背景下,對比分析C-SMC-PHD、UK-SMC-PHD和SCK-SMC-PHD三種算法的跟蹤性能,傳感器布局如圖1所示,其中每個發射站與接收站構成一對傳感器.

圖1　布站示意圖

(22)

式中,q=3 m/s2為過程噪聲標準差.觀測方程為

(23)

式中: vk為觀測噪聲;v1,k,v2,k為相互獨立的高斯白噪聲,標準差分別為100 m和1 m/s.

圖2為目標真實位置與三種濾波方法得到的跟蹤軌跡圖.由圖2可以看出,C-SMC-PHD的跟蹤性能最差.這是由于C-SMC-PHD中建議密度函數的選擇缺少觀測信息,嚴重依賴于模型,致使由建議密度函數抽樣所得到的樣本大部分偏離目標真實狀態,導致粒子退化,濾波性能下降嚴重.而利用觀測信息構建建議密度函數的UK-SMC-PHD算法和SCK-SMC-PHD算法其性能明顯優于C-SMC-PHD,其中SCK-SMC-PHD算法的性能又優于UK-SMC-PHD算法,由此可見建議密度函數的選擇對算法性能至關重要.

(a)

(b)圖2　跟蹤軌跡圖

文中選取最優子模式分配(OptimalSub-PatternAssignment,OSPA)作為多目標跟蹤精度評估標準,設X={x1,…,xm}和Y={y1,…,yn}為兩個任意有限集合,m和n分別為X和Y中的元素個數,若m≤n,則OSPA距離定義為[13]

(24)

圖3和圖4分別為100次MoteCarlo仿真后,三種算法的勢估計誤差(估計目標數目誤差)對比圖和OSPA距離誤差對比圖.與圖2所示一致,由于引入觀測信息,SCK-SMC-PHD和UK-SMC-PHD的濾波精度無論在勢估計還是在目標狀態估計方面都遠遠優于C-SMC-PHD算法,同時,由圖2和圖3可以更加直觀地看出SCK-SMC-PHD的跟蹤精度要優于UK-SMC-PHD算法,這與2.3節中的理論分析一致.

圖3　勢估計誤差對比圖

下面驗證三種算法對不同雜波環境的適應性.取λ分別為0.001、1、5、10、15、20、30,在不同密度的雜波環境下,經過100次MoteCarlo仿真,三種算法的勢估計誤差對比圖和OSPA距離誤差對比圖分別如圖5和圖6所示.由圖5和圖6可以看出,雜波密度相同時,SCK-SMC-PHD算法的跟蹤精度要優于C-SMC-PHD算法和UK-SMC-PHD算法.三種算法的性能都隨著雜波密度的增大而有所下降,但三種算法中,SCK-SMC-PHD算法對雜波環境的適應性最強.

圖4　OSPA距離對比圖

圖5　勢估計誤差對比圖

圖6　OSPA距離對比圖

4結論

針對C-SMC-PHD濾波中粒子退化嚴重的問題,將SCKF濾波與C-SMC-PHD相結合,利用SCKF產生建議密度函數,提出了SCK-SMC-PHD濾波算法.該算法有堅實的理論依據,能有效抑制C-SMC-PHD中的粒子退化,與UK-SMC-PHD算法相比,其計算量更小,算法穩定性更好,適用性更強,且當目標狀態維數較高時,其跟蹤精度更高,仿真結果也證實了上述結論.下一步的工作是將SCKF與勢分布PHD濾波[14]和多貝努力濾波[15]相結合,改善上述兩種算法的性能.此外,通過設定門限等策略提高SCK-SMC-PHD算法的實時性,也是下一步工作的重點.

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王海環(1987-),女,河北人,博士研究生,主要研究方向為外輻射源雷達中的多目標跟蹤.

王俊(1969-),男,貴州人,博士,教授,主要研究方向為無源多雙基地雷達探測系統技術、雷達信號處理和數據處理等.

作者簡介

中圖分類號TN953

文獻標志碼A

文章編號1005-0388(2016)01-0053-08

收稿日期：2015-03-18

王海環, 王俊. 基于改進概率假設密度的多目標跟蹤算法[J]. 電波科學學報,2016,31(1):53-60. DOI: 10.13443/j.cjors.2015031801

WANG H H, WANG J. Multi-target tracking based on improved probability hypothesis density filter[J]. Chinese journal of radio science,2016,31(1):53-60. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2015031801

資助項目: 國家自然科學基金(No.61401526)

聯系人： 王海環 E-mail: haihuanwang@126.com