柱體繞流的CIP方法模擬

趙西增，付英男，張大可

(1. 浙江大學 海洋學院，浙江 杭州 310058; 2. 國家海洋局第二海洋研究所 衛星海洋環境動力學國家重點實驗室,浙江 杭州 310012)

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柱體繞流的CIP方法模擬

趙西增1，2，付英男1，張大可1

(1. 浙江大學 海洋學院，浙江 杭州 310058; 2. 國家海洋局第二海洋研究所 衛星海洋環境動力學國家重點實驗室,浙江 杭州 310012)

摘要：柱體繞流和流致振動現象是一個復雜的工程問題，利用自主研發的CIP-ZJU模型，對低雷諾數(Re<300)圓柱和方柱繞流問題開展了數值模擬。模型在直角坐標系統下建立，采用緊致插值曲線CIP方法作為流場的基本求解器離散了Navier-Stokes方程，基于多相流的理論實現流-固耦合同步求解，利用浸入邊界方法處理固體邊界。模擬結果與文獻結果進行比較，二者吻合情況較好。通過引入壓力阻力項和摩擦阻力項，分析了Strouhal數、阻力系數、升力系數等參數隨雷諾數的變化情況。結果表明，圓柱繞流與方柱繞流在水動力參數的變化規律上存在多處差異。

關鍵詞：柱體繞流；CIP方法；Navier-Stokes方程；浸入邊界法；Strouhal數

鈍體繞流，特別是柱體繞流問題在工程實際中經常遇到，如風吹過高層建筑物、海水流過石油鉆井平臺、海流流經海洋立管等。其共同的特點是，在一定雷諾數范圍內，粘性流體流過柱體結構物時，會發生邊界層的分離，進而對結構物產生周期性作用。因此，準確計算出流體對柱體結構的作用荷載及其在荷載作用下的動力響應，具有重要的科學價值和工程意義。

許多學者采用試驗方法和數值模擬方法開展了鈍體繞流問題的研究。Tritton[1]在實驗室內通過觀察石英試管的彎曲度得到Re在0.5～100范圍內圓柱繞流的阻力，與理論值吻合良好。Kawaguti等[2]對Re在1～100圓柱繞流問題進行了數值模擬，并考慮了壓力和摩擦力對阻力的貢獻，結果表明壓力阻力項在阻力中占有主導地位。Rajani等[3]利用二階精度的中心差分格式對對流方程進行離散，對圓柱繞流進行了二維和三維數值模擬，將兩者的渦脫頻率和升力系數進行對比，發現大于某一臨界雷諾數時，二維結果偏大，三維效應不可忽略。方柱繞流也是鈍體繞流的一種典型形式。Okajima[4]研究了不同類型的矩形柱體的渦旋脫落頻率，并指出Strouhal數是雷諾數的函數。Sohankar等[5]引入二階精度的Van Leer迎風格式對對流項進行求解，指出Re>50時會有穩定的卡門渦街產生。Breuer等[6]將格子玻爾茲曼方法(lattice Boltzmann method，LBM)和有限體積法 (finite volume method，FVM)分別應用到二維方柱繞流數值模擬中，兩種方法的計算結果顯示了較好的一致性。Sen等[7]利用有限元方法(finite element method，FEM)對Re<150時的方柱繞流進行二維數值模擬，發現最初的分離點是在基點處而不是在后角點處。潘小強等[8]利用Fluent分別模擬了二維圓柱和方柱繞流的流場情況，結果表明同樣雷諾數的圓柱和方柱繞流，圓柱繞流更易得到穩態非定常解。周云龍等[9]采用FVM模擬了二維圓柱和方柱的流動分離狀態，發現兩者最大的不同點在于分離點的不同，圓柱繞流沒有固定分離點而方柱繞流固定分離點在其前后角點處。不同柱體繞流過程中的水動力特性的差異，仍未明朗，這將是本文工作的重點。

本文采用自主研發的CIP方法模型[10-11]，通過浸入邊界方法處理流-固耦合問題，對不同雷諾數(Re<300)的圓柱繞流和方柱繞流問題進行數值模擬，并通過與文獻結果的比較驗證模型的有效性。為了得到穩定的流場信息，本文采用了與傳統差分格式不同的高階格式CIP方法對N-S方程進行了離散，該方法通過對網格內結點函數值及其導數值聯立，實現了三階精度的差分求解對流方程，具有格式穩定和低耗散性的特點；同時，在直角網格系統內，通過引入浸入邊界方法，有效處理了流-固耦合問題，可有效避免動態網格系統中的大量信息交換，保證了模型的計算效率，為進一步模擬運動物體做好準備。本文將從多個角度分析圓柱繞流與方柱繞流的區別。

1數學模型的建立

1.1控制方程

本流場模型以二維N-S方程為控制方程，其矢量形式為

(1)

(2)

為了把CIP方法應用于對流方程，對方程(2)取空間導數，可得到

(3)

模型在直角笛卡爾系統下建立，采用多相流理論處理固-液的相互作用，滿足下面的控制方程：

(4)

式中：m=1, 2,φ1為液體相，φ2為固體相，在一個網格內滿足φ1+φ2=1。固體相的處理基于浸入邊界方法得到，將在下面的部分給出解釋。網格內的流體特性可用下式來表示：

(5)

式中：λ為密度ρ或者粘性系數μ。

1.2數值方法

1.2.1CIP方法

CIP方法是Takewaki等[12]于20世紀80年代中期提出并發展起來，用于求解雙曲型偏微分方程的一種有效的數值計算方法。其基本原理是基于空間網格點的變量值及其空間導數值，利用三次多項式進行插值近似，反演出網格單元內部變量的真實信息，得到三階精度的顯式格式。為了更好地解釋CIP方法，考慮簡單的常系數一維對流方程：

(6)

式中：u為大于零的常數。此類偏微分方程可用不同差分方法求解。下面將給出CIP方法的工作原理。圖1(a)～(c)給出了一階迎風差分方法的工作原理，對于一階差分格式來說，它利用直線的方式聯立相鄰兩個節點的信息來工作，而忽略了網格內部的信息，導致較大的數值耗散。為了真實再現網格內部的信息，有必要求助高階差分方法，而對于常規高階差分的建立需要更多的網格點的信息。CIP采用一種獨特的方式，在一個網格內實現了高階差分格式，通過利用空間網格點的變量值及其空間導數值，來描述該網格內的信息，可真實再現網格內的信息。

通過對方程(6)求關于x的偏導，得到如下的空間導數方程：

(7)

(8)

在n+1時刻的單元格剖面函數fn+1可以通過將n時刻的剖面函數fn平移-u△t得到，函數f和g的時間演變可以通過下面的拉格朗日變換得到

(9)

圖1　CIP方法的基本原理Fig. 1　Principle of CIP method

圖2　半拉格朗日方法的CIP格式Fig. 2　CIP method of semi-Lagrangian format

(10)

CIP方法采用一種獨特的方式，在一個網格內實現了高階差分格式，使得本文的數值模型可以應用于復雜流動問題的模擬，這也是本文所采用的差分方法與其他方法的不同之處。

1.2.2時間積分

采用分步算法對動量方程進行時間積分。首先忽略擴散項和壓力項，只考慮對流項的中間速度；其次求解擴散項；然后求解壓力方程，計算下一時間步的壓力；最后考慮壓力梯度項，計算速度的最后值。設△t為時間步長，在t=n△t到t=(n+1)△t時刻的計算時間內，具體的時間積分過程如下：

1) 對流項(I)：

(11)

通過CIP方法[13]可得到方程的解：

(12)

式中：‘*’為對流項計算結束后的中間時間標志。

2)非對流項(I):

擴散項的計算：

(13)

擴散項的時間離散采用顯示格式，中間速度可表示為下面的形式：

(14)

其中,方程(14)的空間離散采用中心差分格式。

3)非對流項(II):

壓力和速度的匹配:

(15)

通過對方程 (15)第一行公式取散度，并引入連續方程，可得到如下形式的泊松方程：

(16)

泊松方程的求解通過SOR迭代得到。

考慮動量方程的壓力梯度項，計算速度的最終值，計算式為

(17)

根據式(4)、(5)和(18)更新界面和網格內流體信息，然后返回到步驟1，這樣就完成了整個計算過程，一直到設定的步驟結束。

1.2.3固體邊界處理

采用浸入邊界法(immersedboundarymethod)[14]處理固體對流場的影響:

(18)

式中：ufn+1為在歐拉坐標體系中通過式(17)計算得到的“局部”流場速度；Ubn+1為通過拉格朗日方法得到的固體速度[15]，本文中柱體靜止，固體的速度設定為零；un+1為二者耦合作用的“整體”速度，這樣就得到了流-固耦合流場的求解。上述方法也可稱為固體體積流-固耦合處理方法?；诮脒吔绶椒ǖ牧?固耦合技術，采用固定網格，在計算過程中無需更新網格，可保證模型的高效率，使得模型在處理大位移的流固耦合計算中具有強大優越性。本文采用的方法具有較易實施的優勢，方便模型向三維拓展。

1.3參數定義

升力Fl為

(19)

式中：Re為雷諾數,Cd為阻力系數,Fd為阻力,Cl為升力系數,St為Strouhal數,上角標p和v分別表示由于壓力和摩擦力所產生的阻力或升力，Sij=(?ui/

?xj+?uj/?xi)/2。

1.4數值模型

計算區域及網格劃分如圖3和圖4所示。圓柱與方柱的特征長度均為D=1m，上游邊界距離柱體中心7.5D，下游邊界距離柱體中心22.5D，兩側邊界距離柱體中心均為7.5D。為了捕捉柱體周圍的復雜流動，柱體近壁面采用細網格。

圖3　圓柱、方柱繞流計算區域示意圖Fig. 3　Sketch of the computational domain

圖4　圓柱、方柱繞流網格示意圖Fig. 4　Sketch of the computational mesh

1.5邊界條件和初始條件設置

計算流場的邊界條件以及初始條件設置如下：初始條件：初始設定一個從左向右的速度場，u=U0，v=0；其中，u、v分別為x、y方向的速度；初始壓力場都設定為零。邊界條件：來流邊界保持為均勻來流速度U0；出口邊界條件，開邊界；柱體表面邊界條件：無滑移邊界，即un=0；兩側壁面：自由滑移邊界。

2模型驗證及數據分析

2.1網格收斂性分析

為驗證模型的有效性及網格收斂性，采用三套網格對Re=100時圓柱繞流進行模擬。三種網格從網格1到網格3，最小網格分別為0.04、0.02和0.01m，模擬結果如表1所示。由于網格1的網格尺寸較大，Cd值與文獻結果相差較為明顯，而網格2與網格3誤差較小?？紤]到計算效率和精度，選擇網格2對下文其他工況進行模擬。

2.2圓柱繞流參數分析

下面對Re=1～300的圓柱繞流進行模擬，結果如表2所示。從表中可看出，Re<50時，沒有漩渦脫落，St數為零。

表1　網格數據及主要參數對比

表2不同Re圓柱繞流主要參數結果

Table 2Main parameters of flow around a cylinder at differentRe

ReCdSt113.4—54.53—103.11—202.18—301.81—401.59—501.470.131601.440.139801.370.1571001.330.1661201.320.1751401.3250.1821601.3150.1852001.3250.1922501.330.1993001.350.206

圖5給出了圓柱繞流主要水動力參數隨Re的變化情況。在Re<40時，沒有漩渦脫落為層流狀態，如圖5(a)所示在開始段Cd驟減，主要是因為4

圖5　主要參數隨Re的變化Fig. 5　The variation of main parameters vs Re

圖6給出了50100時由于考慮到實際情況的三維效應，數模的二維結果會高估St數。主波長λ為卡門渦街一側前后2個渦之間的距離，如圖7所示，λ與St數的關系可近似表示為λ/D=1/St[22]。由圖可知隨著Re的增大，λ呈單調下降趨勢，卡門渦街漩渦之間的距離越來越小。

2.3方柱繞流參數分析

下面將對Re<300情況下的方柱繞流進行模擬，結果如表3所示。與圓柱繞流結果類似，本文模擬出的結果在Re<50時顯示沒有漩渦脫落，依舊為層流，St數值為零；而在Re=50時，不穩定狀態首次顯現，伴隨有漩渦脫落，流動轉化為非層流，說明在Re=40～50，漩渦開始脫落，與Sohankar等[23]通過數值模擬測得的Re=52較為接近。

圖6　Strouhal數和主波長λ隨Re的變化曲線Fig. 6　The variation of Strouhal number and primary wavelength vs Re

圖7　主波長λ示意圖Fig. 7　Sketch of primary wavelength

Table 3Main parameters of flow around a cylinder at differentRe

ReCdSt114.1—54.85—103.28—202.33—301.95—401.74—501.6250.116601.5650.126801.510.1361001.490.1431201.480.1471401.4850.151601.490.152001.510.1432501.630.1363001.720.136

圖8　主要參數隨Re的變化Fig. 8　The variation of main parameters vs Re

ReCdCd(p)Cd(v)1601.491.5-0.012001.511.54-0.032501.631.67-0.043001.721.75-0.03

與圓柱繞流類似，在Re<40時，是層流狀態。圖8(a)給出了Cd、Cd(p)、Cd(v)的變化，可發現整體趨勢相同，最后近似發展為3條平行的直線，與Sen等[7]在2100時，與畢繼紅等[25]的結果相差較小，與其他文獻相差較大，其中的影響因素較多，像離散方法不同、計算域的大小、邊界條件設置的不同均可導致計算結果的誤差。在Re≈140時，阻力系數達到極小值，此時分離點由后角點處轉移到前角點處(本文將此時定義為“轉折點”，方便后文敘述)，使得方柱側面受力發生變化，導致Cd(v)的合力方向發生變化，在Re<140時，Cd(v)數值為正；而如表4所示，在Re>140時，Cd(v)數值為負，方向發生了變化，這也是方柱繞流與圓柱繞流最大的區別之一。由圖8(c)可看出方柱繞流中，壓力阻力項仍然占有主導地位，且隨著雷諾數的增大，摩擦阻力項相比于壓力阻力項基本可以忽略。從圖8(d)中可以看出在Re≈140時，升力系數的增長率逐漸減小，這也是分離點變化導致的結果，過了轉折點之后，升力系數的增長率變大，結果與現有文獻吻合良好。從圖8(e)可看出St數的變化趨勢與現有文獻基本一致，在轉折點處達到最大值，而數值方面的誤差可能由多種原因導致，Breuer等[6]指出阻塞比的增加會導致St數的增大。主波長λ的變化與St數相反，先減小再增大，在轉折點處的主波長達到最小。

2.4圓柱與方柱繞流參數對比

為了清晰說明圓柱繞流與方柱繞流的區別，將結果中的重要參數進行對比。

圖9給出了圓柱、方柱繞流主要水動力參數隨Re的變化曲線。由圖9(a)可以看出，Cd mean隨Re的變化趨勢大體一致，在Re<10時，Cd mean隨Re的變大急劇減小，然后趨于平穩，且方柱的阻力系數大于圓柱，這是兩者形狀不同所導致的。兩者在Re≈140～150達到極小值，此時方柱的分離點由后角點轉移到前角點，方柱摩擦阻力的方向發生變化，而圓柱沒有此現象發生，其分離點只圍繞一點往復運動，且摩擦阻力保持為正值，方向不變。圖9(b)給出了圓柱和方柱Cl max隨Re的變化曲線。在Re<150時，兩者的大小基本一致，經過轉折點之后，方柱的升力系數顯著增大，大體呈線性增長，分離點在前角點時，方柱兩側面將受到附面渦的作用，使得升力增大，而圓柱不存在此現象，升力系數變化相對平穩。圖9(c)給出了圓柱和方柱St隨Re的變化曲線，圓柱的St隨著Re的增大呈單調上升趨勢，而圓柱的St先增加，在轉折點處到達極大值，后隨著Re的增大而減小。方柱的St值一直小于圓柱的St值，這也說明方柱的漩渦脫落頻率比圓柱的漩渦脫落頻率小。圖9(d)給出了圓柱和方柱λ/D隨Re的變化曲線?？煽闯?，圓柱繞流的主波長隨著Re的增大而單調下降，而方柱繞流的主波長先隨著Re的增大先下降再上升，在轉折點附近到達極小值，且方柱繞流的主波長一直大于圓柱繞流的主波長。

圖9　圓柱繞流與方柱繞流參數對比Fig. 9　Comparison between flow around a cylinder and a square cylinder

圖10(a)、(b)給出了圓柱、方柱阻力和升力系數振幅隨Re的變化?？煽闯?，升力系數的振幅比其對應的阻力系數的振幅大一個數量級，兩者均隨著Re的增大而增大，且在方柱繞流的轉折點之前，圓柱和方柱的阻力升力系數振幅大體一致，轉折點之后，方柱的阻力升力系數振幅顯著增大，圓柱的變化依舊平緩，且方柱的振幅大于圓柱的振幅。圖10(c)給出了Cd(p)/Cd(v)隨Re的變化曲線，可看出Cd(p)相比于Cd(v)一直處于主導地位，且隨著Re的增大越明顯。圓柱繞流Cd(p)/Cd(v)隨Re呈線性增長，而方柱繞流Cd(p)/Cd(v)隨Re呈非線性增長，隨著Re的增加，變化率越來越大，且在方柱繞流中，Cd(p)的主導地位相對圓柱繞流要明顯。

圖10　主要參數隨Re編號曲線Fig. 10　The variation of main parameters vs Re

3結論

本文利用自主研發的CIP-ZJU模型，對低雷諾數(Re<300)圓柱和方柱繞流問題開展了數值模擬。模型在直角坐標系統下建立，采用緊致插值曲線CIP方法作為流場的基本求解器，離散了Navier-Stokes方程,利用浸入邊界方法處理固體邊界，基于多相流的理論實現流-固耦合同步求解。分別分析了圓柱和方柱繞流的繞流水動力特性，并將兩者的主要水動力參數進行比較，得出如下結論：

1)圓柱和方柱繞流的Cd在Re≈140～150達到極小值，此時方柱的分離點由后角點轉移到前角點，方柱的摩擦阻力的方向發生變化，而圓柱沒有此現象發生，其分離點只圍繞一點往復運動，且摩擦阻力保持為正值。

2)圓柱繞流的Cd(p)、Cd(v)均為正值，而方柱繞流在轉折點之后，由于分離點的變化，導致摩擦阻力的合力方向發生改變，Cd(v)變為負值。

3)方柱繞流的St值一直小于圓柱繞流的St值，說明方柱的漩渦脫落頻率比圓柱的漩渦脫落頻率小。相反方柱繞流的主波長大于圓柱繞流的主波長。

4)圓柱繞流與方柱繞流升力系數的振幅比其對應的阻力系數的振幅大一個數量級，兩者均隨著Re的增大而增大，且在方柱繞流的轉折點之前，圓柱和方柱的阻力升力系數振幅大體一致，轉折點之后，方柱的阻力升力系數振幅顯著增大，圓柱的變化依舊平緩，且方柱的振幅大于圓柱的振幅。

本文的計算結果與文獻結果吻合良好，驗證了此方法的可行性，為進一步探討柱體形狀對繞流阻力的影響，開展流致振動等研究打下良好基礎。

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Numerical simulation of flow past a cylinder using a CIP-based model

ZHAO Xizeng1，2, FU Yingnan1, ZHANG Dake1

(1. Ocean College, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China; 2. Second Institute of Oceanography, SOA State Key Laboratory of Satellite Ocean Environment Dynamics, Hangzhou 310012, China)

Abstract：Flow past a cylinder and the flow-induced vibration phenomenon are complex engineering problems. We developed a CIP-ZJU (constrained interpolation profile-Zhejiang University) model to study the flow past circular and square cylinders for Reynolds numbers Re< 300. The model was established in the Cartesian coordinate system, using the CIP method as the base flow solver to discretise the Navier-Stokes equations. The fluid-structure interaction was treated as multiphase flow, with liquid and solid phases solved simultaneously. We used an immersed boundary method to deal with the boundary of the solid body. We then compared our computations with available results and obtained good agreements. By introducing pressure and viscous drags, we analyzed the variations in the Strouhal number, drag coefficient, and lift coefficient with the Reynolds numbers. Results show that the variations of the dynamic characteristics differ between the flows past circular and square cylinders.

Keywords：flow past cylinder; CIP method; Navier-Stokes equation; immersed boundary method; Strouhal number

中圖分類號：O352

文獻標志碼：A

文章編號：1006-7043(2016)03-297-09

doi:10.11990/jheu.201411003

作者簡介：趙西增(1979-), 男, 副教授, 博士生導師；付英男(1990-),男，碩士研究生.通信作者：付英男, E-mail:fyn_zju@163.com.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51209184, 51479175).

收稿日期：2014-11-02.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160104.1427.002.html

網絡出版日期：2016-01-04.