計(jì)及平臺(tái)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜的頂部張緊立管穩(wěn)定性曲線研究

孫麗萍，王建偉，戴紹仕

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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計(jì)及平臺(tái)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜的頂部張緊立管穩(wěn)定性曲線研究

孫麗萍，王建偉，戴紹仕

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：針對(duì)頂部張緊立管在不規(guī)則波作用下可能會(huì)失穩(wěn)的問(wèn)題，研究了計(jì)及平臺(tái)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜的張緊立管穩(wěn)定性曲線。首先計(jì)算出了張力腿平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜，依據(jù)該運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜的特性，將不規(guī)則波波浪作用下張力腿平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)以一系列規(guī)則波疊加的形式給出。并將這一系列的規(guī)則波輸入到頂部張緊立管的參激振動(dòng)方程當(dāng)中。同時(shí)，采用伽遼金法簡(jiǎn)化控制方程，得到參激振動(dòng)的馬蒂厄方程。最后，利用小參數(shù)法對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)，得出了頂部張緊立管的穩(wěn)定性曲線公式。研究結(jié)果表明：平臺(tái)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜對(duì)頂部張緊立管的穩(wěn)定性曲線有著很重要的影響。

關(guān)鍵詞：不規(guī)則波；響應(yīng)譜；張緊立管；馬蒂厄方程；穩(wěn)定性曲線

隨著淺水處的油氣逐漸被耗盡，對(duì)深水域的開(kāi)發(fā)變得特別的重要。立管起著連接平臺(tái)和海底井口的作用。立管作為連接海面與海底的一種通道，是現(xiàn)代海洋工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的重要組成部分，同時(shí)也是薄弱易損的構(gòu)件之一。立管有很多的技術(shù)難題，尤其像超水深立管，它們主要應(yīng)用在惡劣的海況條件下[1]。超深水立管有很復(fù)雜的動(dòng)力特征。當(dāng)參數(shù)激勵(lì)共振發(fā)生時(shí)，立管會(huì)由于過(guò)大壓力或發(fā)生明顯疲勞時(shí)，導(dǎo)致石油汽溢出并引發(fā)環(huán)境的污染和巨大的經(jīng)濟(jì)損失[2-3]。最近，研究主要集中于海洋結(jié)構(gòu)的參數(shù)激勵(lì)的不穩(wěn)定性，例如船的橫搖參數(shù)激勵(lì)和spar平臺(tái)、張力腿的筋腱和立管的參數(shù)激勵(lì)[4-7]。在研究當(dāng)中，假設(shè)施加的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧的并且參考馬蒂厄方程。然而，在規(guī)則波的作用下研究參數(shù)激勵(lì)只能體現(xiàn)系統(tǒng)的一般運(yùn)動(dòng)，這與其在實(shí)際隨機(jī)海況下的運(yùn)動(dòng)是完全不同的。

參數(shù)激勵(lì)的不穩(wěn)定性確實(shí)會(huì)發(fā)生在不規(guī)則波中。近幾年中，多艘現(xiàn)代船型都經(jīng)歷了由于參數(shù)橫搖所引起的嚴(yán)重事故[8]。前人在做張緊立管的振動(dòng)研究時(shí)，主要集中到筋腱或立管的研究中所討論的參數(shù)共振或馬蒂厄不穩(wěn)定性都是在假設(shè)張力振動(dòng)或頂部運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，只是輸入簡(jiǎn)單的三角函數(shù)，或者是將不規(guī)則波簡(jiǎn)化為一系列的規(guī)則波疊加的形式作為頂部張力的輸入函數(shù)。這樣不能真實(shí)的反應(yīng)出立管的頂部張力的變化情況。實(shí)際情況是波浪作用在與頂部張緊力管直接連接的浮式平臺(tái)上。造成平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，之后平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)在帶動(dòng)頂部張緊力管的運(yùn)動(dòng)。本文則是計(jì)算了平臺(tái)在不規(guī)則波作用下運(yùn)動(dòng)情況，并將其作為頂部張緊立管張力的輸入函數(shù)，計(jì)算了頂部張緊立管的穩(wěn)定性曲線。同時(shí)，本文在計(jì)算過(guò)程中獨(dú)立推導(dǎo)出在不規(guī)則波作用下頂部張緊立管的穩(wěn)定性曲線的經(jīng)驗(yàn)公式。

1理論及方法

1.1運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜理論

張力腿平臺(tái)在遭遇不規(guī)則波作用時(shí)，平臺(tái)會(huì)發(fā)生垂蕩運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。垂蕩運(yùn)動(dòng)的譜密度為本文所研究的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜。垂蕩運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜計(jì)算公式為

(1)

本文中研究的不規(guī)則波譜密度為PM譜。在給出有義波高H1/3和波浪譜峰周期Tp的情況下，PM波譜的譜密度如圖1所示。S(ω)為

(2)

圖1　有義波高為6.5 m，譜峰周期為4.5 s時(shí)PM譜Fig. 1　Significant wave height is 6.5 m， peak period is 4.5 s

因此，在分別得到張力腿平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)和不規(guī)則波PM譜時(shí)，可以直接得出張力腿平臺(tái)在相應(yīng)的不規(guī)則波作用下垂蕩運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜。

不規(guī)則波可以由無(wú)限多個(gè)單元規(guī)則波疊加而成，所以在頻率由ωn～ωn+dω的平均波能，即波能譜密度為

(3)

如果dω足夠小，可以認(rèn)為波浪頻率為ωn的單元規(guī)則波的波幅為an。則垂蕩運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜與單元規(guī)則波幅an和波浪頻率ωn的關(guān)系式:

(4)

(5)

式中：?jiǎn)卧?guī)則波的波頻ωn與不規(guī)則波對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果相同。

1.2頂部張緊立管運(yùn)動(dòng)響應(yīng)分析

1.2.1頂部張緊立管振動(dòng)模型的建立

當(dāng)張力腿平臺(tái)遭遇不規(guī)則波作用時(shí)，張緊立管的頂部會(huì)隨著平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。海洋立管頂端通過(guò)升沉補(bǔ)償裝置(張緊器)與平臺(tái)相連，張緊器有2個(gè)主要作用：1)給立管提供較大的靜頂張緊力，它提供的靜張緊力一般設(shè)為立管濕重的1.2～1.6倍；2)避免平臺(tái)升沉產(chǎn)生巨大的時(shí)變軸向力，實(shí)際上相當(dāng)于一個(gè)連接立管和平臺(tái)的彈簧。如圖2所示。

圖2　平臺(tái)與立管的連接示意圖Fig. 2　The connection diagram between platform and riser

將頂部張緊立管假設(shè)成浸入水中的一根頂部具有很大張力的細(xì)長(zhǎng)梁[10]。立管頂部鉸接平臺(tái)，立管底部固定在土壤中。立管放置于穩(wěn)定的均勻流中，并且波浪和流的方向不變。

根據(jù)基爾霍夫假說(shuō)，頂部張緊立管的四階微分平衡方程為[10]

(5)

(6)

式中：D為管徑，h為壁厚，ρs為材料的密度，ρw為海水密度，ρi為內(nèi)部流體密度，Ai為內(nèi)徑面積。

式(5)等號(hào)左邊第2個(gè)非線性項(xiàng)為在考慮流的影響時(shí)，立管所遭遇的阻尼f(z,t)，定義為

(7)

式中：Cd為水動(dòng)力阻尼系數(shù)。

式(5) 等號(hào)左邊的第4項(xiàng)為張力T對(duì)立管的影響，式中：T0為立管的靜張力，Δk為立管頂端的張力系數(shù)。因?yàn)閺埩ψ兓l率與平臺(tái)垂蕩頻率相同，則bn和wn分別為式(5)的計(jì)算結(jié)果，φn為隨機(jī)項(xiàng)。

1.2.2參激振動(dòng)方程的建立

根據(jù)頂部張緊力立管的振動(dòng)模型，式(5)的邊界條件給定如下

(8)

式中：vplat(t)為平臺(tái)的水平位移。

依據(jù)Galerkin的方法，設(shè)式(5)解的形式為

(9)

式中：sin(nπz/L)為模態(tài)分析中的特征函數(shù)，qn(t)為時(shí)間函數(shù)。

為了方便處理阻尼的平方項(xiàng)，對(duì)式(7)做線性化處理[11]，得

(10)

式中：Vnm為立管n階模態(tài)的運(yùn)動(dòng)速度。

將式(9)代入立管在不規(guī)則波和流聯(lián)合作用下的動(dòng)力式(5)中，并結(jié)合立管在無(wú)外激勵(lì)下的動(dòng)力平衡方程做進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得

(11)

再將式(11)的兩邊乘以φn(z)后沿立管從z=0到z=L積分，化簡(jiǎn)得

(12)

將式φn(z)=sin(nπz/L)代入式(12),并做進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

(13)

式(13)為Hill型參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)平衡方程[12]。直接計(jì)算式(13)使結(jié)果出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng)(即永年項(xiàng))[13]，會(huì)出現(xiàn)較大誤差。

令qn(τ)=exp(-c′τ/(2M))g(τ)，將該式代入式(14)得：

(14)

取

(15)

則式(14)表示為

(16)

1.2.3參激振動(dòng)方程的求解

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式(19)的解必須是周期為π或2π的周期函數(shù)，即

(22)

式中：δ和ζ分別為隨機(jī)變量。

將式(22)代入式(19)得

(23)

(24)

(25)

同理，令m=k時(shí)，消去長(zhǎng)期項(xiàng)，得到的邊界曲線為

(26)

n≠0時(shí)，式(19)的通解為式(22)。將式(22)代入式(20)得

(27)

對(duì)式(27)做化簡(jiǎn)得

(28)

當(dāng)m=2n時(shí)，式(28)消去長(zhǎng)期項(xiàng)，得到的邊界曲線為

(29)

(30)

當(dāng)m=k, m+k=2n, k-m=2n, m-k=2n時(shí)，消去式(30)出現(xiàn)的長(zhǎng)期項(xiàng)，則計(jì)算得到隨機(jī)波浪條件下的穩(wěn)定性邊界曲線：

(31)

式中：m、k的下標(biāo)1、2、3、4分別代表滿足以上4種條件時(shí)的整數(shù)值。

(32)

當(dāng)m=k, m+k=2n, k-m=2n, m-k=2n時(shí)，消去式(30)中出現(xiàn)的長(zhǎng)期項(xiàng)，可以得到的邊界曲線為

(33)

綜上所述，頂部張緊立管在不規(guī)則波作用下的不穩(wěn)定區(qū)域邊界曲線為

當(dāng)y=0時(shí)，

(34)

當(dāng)x=0時(shí)，

(35)

計(jì)算流程如圖3所示。

圖3　計(jì)算流程圖Fig. 3　The flow chart of calculation

2數(shù)值計(jì)算

2.1張力腿平臺(tái)水動(dòng)力計(jì)算

頂部張緊立管的穩(wěn)定性邊界曲線與不規(guī)則波波譜和平臺(tái)垂蕩運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)有關(guān)，所以，利用式(34)求解頂部張緊立管的穩(wěn)定性邊界曲線，首先需要知道不規(guī)則波波譜和平臺(tái)垂蕩運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)。

圖4　三角形張力腿平臺(tái)面元模型Fig. 4　The mesh model of triangular tension leg platform

對(duì)于張力腿平臺(tái)的垂蕩傳遞函數(shù)的計(jì)算，采用SESAM程序軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖4。選取浪向角90°時(shí)張力腿平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)，如圖5。

2.2考慮平臺(tái)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜下頂部張緊立管的穩(wěn)定性分析

在分別得到張力腿平臺(tái)所遭受的不規(guī)則波波譜曲線和垂蕩運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)后，應(yīng)用式(37)、(38)計(jì)算得出頂部張緊立管的穩(wěn)定性圖,如圖5、6所示。

圖5　浪向角為90°時(shí)的垂蕩運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)Fig. 5　The heave response amplitude when wave direction angle is 90°

圖6　隨機(jī)波浪下張緊立管穩(wěn)定性曲線Fig. 6　The stable curves of top tension risers in random waves

根據(jù)式(34)、(35)可以得出，張緊立管的穩(wěn)定性曲線與m有直接的關(guān)系，其中m為將平臺(tái)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜簡(jiǎn)化為一系列規(guī)則波的對(duì)應(yīng)頻率。

2.3運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜對(duì)張緊立管的穩(wěn)定性影響

分別計(jì)算出以平臺(tái)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜(考慮RAO)和不規(guī)則波波譜(不考慮RAO)作為輸出函數(shù)的張緊立管穩(wěn)定性圖，如圖7所示。

出現(xiàn)如圖7所示2種不同的計(jì)算結(jié)果的最主要原因是在計(jì)算張緊立管穩(wěn)定性曲線時(shí)，參數(shù)bm作為輸出參數(shù)起到很重要的影響。當(dāng)采用不考慮RAO的計(jì)算方法時(shí)，參數(shù)bm直接選取為不規(guī)則波簡(jiǎn)化為一系列規(guī)則波的幅值；而當(dāng)采用考慮RAO的計(jì)算方法時(shí)，參數(shù)bm選取為不規(guī)則波簡(jiǎn)化為一系列規(guī)則波的幅值與平臺(tái)RAO的乘積。

圖7　是否考慮平臺(tái)RAO對(duì)張緊力管穩(wěn)定性的影響Fig. 7　The influence of RAO to the stable curves of top tension riser

3結(jié)論

綜合分析張力腿平臺(tái)在不規(guī)則波中的運(yùn)動(dòng)。計(jì)算了張力腿的參數(shù)激勵(lì)運(yùn)動(dòng)，得到了如下結(jié)論：

1)文中結(jié)合了張力腿平臺(tái)本身運(yùn)動(dòng)的RAO及不規(guī)則波波浪譜。得出了張力腿平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜，并且利用一系列的規(guī)則波疊加的形式來(lái)表達(dá)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜。將該部分作為頂部張緊立管的輸入部分。

2)應(yīng)用頂部張緊立管的振動(dòng)模型，將得到的在不規(guī)則波作用下的響應(yīng)譜輸入?yún)⒓ふ駝?dòng)模型當(dāng)中。獨(dú)立的推導(dǎo)出了一種可以直接得出張緊立管的穩(wěn)定性曲線的經(jīng)驗(yàn)公式。

3)最后，在計(jì)算時(shí)考慮的頂部張緊立管的張緊力并不是直接利用不規(guī)則波波譜得出，而是利用與張緊立管連接的平臺(tái)特性(RAO)得出的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)譜作為張緊立管的輸出，這樣更為直接真實(shí)的反應(yīng)出頂部張緊立管的張緊力的變化。這對(duì)評(píng)估張緊立管的穩(wěn)定性提出了更加符合實(shí)際情況的方法。

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Study of stability curves of a top tension riser under the effect of response spectrum of platform motion

SUN Liping, WANG Jianwei, DAI Shaoshi

( School of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract：Regarding the problem of the potential instability of the top tension riser under irregular wave action, we obtained stability curves for the top tension riser under the effect of the platform's motion response spectrum. First, we calculated the motion response spectrum of the tension leg platform. Based on the features of the motion response spectrum, we superimposed the motion response of the tension leg platform on a series of regular waves. The regular wave series were then input into the top tension risers' parametrically excited vibration equation. By applying the Galerkin method, we simplified the control equation and obtained the parametrically excited Mathieu equation. Finally, we obtained the stability curve equations of the top tension riser by deducing the small parameters. The results prove that the platform's motion response spectrum is vital to the stability of the top tension riser.

Keywords：irregular wave; response spectrum; top tension riser; Mathieu equation; stability curve

中圖分類號(hào)：TE58; O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-7043(2016)03-326-06

doi:10.11990/jheu.201412075

作者簡(jiǎn)介：孫麗萍(1962-)，女，博士生導(dǎo)師，教授;戴紹仕(1976-)，女，副教授.通信作者：戴紹仕，E-mail：daishaoshi@163.com.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11472087)；111深海工程創(chuàng)新引制計(jì)劃資助項(xiàng)目(B07019).

收稿日期：2014-12-29.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160104.1427.006.html

網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-01-04.