基于代理模型方法的串列泵優化設計

趙宇, 王國玉, 黃彪, 王復峰

(北京理工大學 流體機械工程研究所，北京 100081)

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基于代理模型方法的串列泵優化設計

趙宇, 王國玉, 黃彪, 王復峰

(北京理工大學 流體機械工程研究所，北京 100081)

摘要：針對葉輪機械傳統優化設計周期長、優化效率低等不足，提出了一種基于代理模型的優化設計方法，并應用于串列泵的優化設計，分析了關鍵設計參數對串列泵性能的影響。選擇首、次級葉輪葉片安放角和相位角作為優化參數，選擇效率和最小軸向截面平均壓力系數作為優化設計目標函數，用來表示串列泵的外特性和空化特性。采用不同的方法建立代理模型，并采用敏感度分析方法和Pareto front方法進行參數影響分析和最優點的選取。采用數值計算的方法對優化后的串列泵外特性和空化特性進行驗證，得到結論如下：提出的方法可以較好地應用于串列泵的優化設計，優化結果表明串列泵設計流量附近的效率和空化性能均得到提升。首、次級葉輪相位角對串列泵性能影響較小；首、次級葉輪葉片安放角對串列泵效率的敏感度之比和設計的載荷之比相同，首級葉輪葉片安放角是串列泵的空化特性的主要影響因素。

關鍵詞：軸流泵；串列葉柵；系統優化設計；代理模型方法；空化特性

串列葉柵是指多排葉柵直接相連的布置方式，具有靈活的氣動特性，目前在航空發動機[1-3]和水下螺旋槳推進中[4-5]已經得到應用。串列泵是一種采用串列葉柵布置的泵，和普通的雙級泵相比，由于減少一級導葉而顯著減小泵級的軸向尺寸和質量，從而使得串列泵具有結構緊湊和功率密度高的特點；又由于兩級動葉輪直接串聯，前后級葉輪流動的相互作用會導致前后級葉輪流場變化，因此串列泵具有特殊的能量特性[6-7]。對于傳統泵來說，效率和空化性能不可兼得[8]，而串列泵通過調整前后葉柵的載荷分配可以兼顧效率和空化性能[9-10]。盡管串列泵具有上述諸多優點，但與傳統泵相比，其優化設計過程需要考慮更多的參數，因此更為復雜。王立祥等[10-11]采用實驗方法對串列泵進行優化設計，分步順序處理不同設計參數對整體性能的影響，該優化設計過程具有周期長，并且無法得到各設計參數的影響權重等缺點。

系統優化方法和敏感度分析方法的發展推動了準確高效的現代設計方法的進步，Shyy等[13]提出了一種基于代理模型優化設計方法，并較好地應用于解決航空動力學以及火箭燃料推進問題。和傳統的優化方法相比，基于代理模型的系統優化設計方法具有以下優點[14]：可以同時處理由多種不同方法獲得的數據，例如實驗結果或仿真結果；可以同時考慮多個設計變量對結果的影響，不用對每個變量進行單獨分析；可以處理存在多個最優點的優化問題；提供多種準則的優化過程而且可以有效過濾實驗或仿真結果中固有的噪聲。基于代理模型的優化設計方法在航空動力學中已經得到廣泛的應用。John S等[15]應用系統優化方法對離心泵葉片的優化設計，結果表明系統優化方法可以快速收斂并且優化結果良好。 Zhang等[16]采用多目標優化方法設計軸流式多相流泵，結果表明泵級壓增上升10%的同時效率可以提升約3%。 J. Fan等[17]采用基于代理模型的方法對射流泵進行優化設計，結果表明射流泵的效率增加4%的同時輸入功率可以減小20%以上。此外，J H Kim[18]，Mustafa G?lcü等[19]也分別采用系統優化設計方法對水力機械進行優化設計。

本文采用了基于代理模型的系統優化設計方法，對一串列泵進行優化設計，采用計算流體動力學方法(computational fluid dynamics, CFD)來獲取數據，建立了代理模型，對設計參數進行優化，并進一步分析了首、次級葉輪進口安放角度和相位角等關鍵設計參數對串列泵性能參數的影響。

1系統優化設計方法

系統優化設計方法流程主要包含實驗設計、數值實驗、代理模型的建立和驗證等過程。

1.1實驗點設計

在實驗點設計中，通過設計方法選定實驗點。然后采用數值計算的方法獲取每個實驗點對應的數據，進而建立代理模型。

在建立代理模型之前，目標函數和設計變量之間的關系是未知的，一般采用較為簡單的隨機分布方法。如果考慮到數值實驗的計算成本，實驗點的個數需要被控制，可以采用更復雜的實驗點分布方法，例如拉丁超立方分布方法(Latin hypercube sampling, LHS)，該方法是一種受約束的實驗點設計方法,首先將設計空間的每個坐標軸區間等分成互不重疊的子區間，然后在每個因素的每個子區間內只進行一次實驗點分布[25]。在本次研究中，在基于LHS方法的同時采用面心分布方法(face-centered composite design, FCCD)[25]設計實驗點。FCCD方法在設計空間的面心和頂點位置布置實驗點，用來保證設計空間邊界附近實驗點的數目。

1.2代理模型

對于不同的問題，應當采用不同的方法建立代理模型并進行比較，從而得到最好的方法。本文分別采用多項式法(polynomial response surface, PRS)[26]，克里金法(Kriging, KRG)[27]和徑向神經網絡法(radial-based neural network, RBNN)[13]建立代理模型，并比較不同代理模型預測結果的差異。

1.2.1多項式響應面法

在多項式方法中，假設目標函數是若干個設計變量多項式的線性組合：

(1)

式中：βi是系數矩陣。對于大多數工程問題，二階多項式擬合精度均可達到工程需求，同時考慮計算成本，本文中采用二階多項式方法。

1.2.2克里金法

克里金法是全局模型和局部偏差的組合，該方法假設局部偏差只與考察對象位置之間的距離有關：

(2)

(3)

式中：Ndv表示設計變量的維數，σ是實驗點響應值的標準差，φk是衡量k方向上相關性的參數。

1.2.3徑向神經網絡法

在徑向基函數神經網絡法中，假設網絡為單輸出，它是一種三層(輸入層，隱含層，輸出層)前向結構網絡，隱含層有一組單元節點，每一個節點均有一個稱作中心的參數矢量，每一個節點計算網絡輸入矢量與中心參數矢量間的歐氏距離，而后通過一非線性函數映射，將結果傳遞輸出層；而輸出層對隱含層各節點的輸出函數值作線性組合。

目標函數可以表示為

(4)

(5)

式中：‖si-x‖是權重函數和輸入量之間的矢量距離，α是歸一化參數。

1.3模型驗證

為了選取合適的模型來進行問題分析，需要建立統一的誤差分析方法來評價模型的精度。常見的模型驗證方法有分割驗證，交叉驗證，自助驗證法等，本文采用的是交叉驗證[28]。

交叉驗證建立在分割驗證的基礎上將實驗數據分成k個子集(k階)，然后選定一組實驗數據，用其他的所有實驗點來建立代理模型，利用該組實驗數據進行驗證，然后選擇另一組實驗，重復建模-驗證過程。該方法需要建立k次代理模型，然后對k次模型驗證的結果進行平均，從而得到交叉驗證的最終結果。交叉驗證方法的優點是幾乎能提供無偏的誤差估計，而且由于每個點都被使用一次來進行驗證，所以交叉驗證能大大減小預測誤差的方差。本文采用一階交叉驗證方法，其衡量參數PRESS(predictionerrorsumofsquares)：

(6)

1.4敏感度分析

采用代理模型獲取自變量和目標函數的關系之后，可以進行敏感度分析，敏感度分析可以直觀體現自變量和目標函數之間的關系，在各工程領域獲得廣泛的應用。本文采用的敏感度分析方法是Sobol方法[29]。

(7)

各項的平方在標準空間的積分為對應的變化量：

(8)

定義整體變化量如下：

(9)

從而可以定義對于變量xi的局部敏感度如下：

(10)

全局敏感度如下：

(11)

2基于代理模型的串列泵優化設計

2.1問題建立

本文研究對象是一個基于奇點分布法設計的串列泵[9]，設計流量為0.461m3/s，設計揚程為13.8m(首級葉輪設計揚程為5.5m，次級葉輪設計揚程為8.3m)，設計效率為83.7%。表1給出了串列泵首、次級葉輪的基本參數。串列泵三維幾何模型如圖1所示。

表1　串列泵首、次級葉輪基本參數

圖1　串列泵三維幾何模型Fig. 1　3D geometry model of tandem pump

與普通軸流泵相比，串列式軸流泵的性能影響參數增多，其中較為顯著的是葉片的安放角，同時考慮串列泵的兩級葉輪直接連接，首、次級葉片的相對周向位置可能會對串列泵的性能產生影響，所以選擇首、次級葉輪安放角，首、次級葉輪相位角作為設計變量。圖2分別給出了3個設計變量的示意圖。在圖2(a)、(b)中，三排葉柵分別表示首次級葉輪和導葉；在圖2(c)中導葉段被省略，兩排葉柵分別表示首次級葉輪。表2列出了本次優化過程的設計變量及其變化范圍。

圖2　設計變量示意圖Fig. 2　Schematic concept of design variables

設計變量最小值/(°)初始值/(°)最大值/(°)首級葉輪安放角-50+5次級葉輪安放角-50+5相位角-300+30

選擇效率作為串列泵能量性能的衡量參數。對于空化性能，考慮到首級葉輪內部首先發生空化，選擇首級葉輪內部最小軸向截面平均壓力作為空化性能衡量參數，據此，定義最小軸向截面平均壓力系數如下

(12)

式中：pav,min是最小軸向截面平均壓力；p∞是環境壓力；U∞是串列泵進口軸向速度。在本文的優化設計中，原始模型的效率和最小軸面平均壓力系數的取值分別為83.7%、-1.43。

2.2實驗設計

圖3　設計空間中實驗點分布Fig. 3　Experimental points in design space

考慮實驗成本，在設計實驗過程中，采用拉丁超立方分布和面心分布相結合的方法共選取45個實驗點，圖3給出了設計空間中實驗點的分布情況。

2.3數值實驗

本次優化設計采用數值計算方法獲得實驗點的數據，即串列泵的效率和全沾濕條件下首級葉輪內部最小截面平均壓力系數，數值方法如下。

2.3.1控制方程

連續性方程和動量方程如下

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：αnuc是空化核子的體積分數，取值為5×10-4；RB是空泡直徑，取值為1×10-6m；pv是飽和蒸汽壓，取值為3 169 Pa；Cdest、Cprod分別為凝結和蒸發系數，取值為50和 0.01。

2.3.2湍流模型

對于全沾濕流動和空化流動，均采用濾波器湍流模型[30]封閉上述方程組，在濾波器湍流模型中，采用和標準k-ε湍流模型相一致的k方程和ε方程采用的標準方程形式。其湍流粘性μt定義如下

(18)

式中：F為濾波函數，由濾波尺寸λ和湍流特征長度的比值決定：

(19)

在標準k-ε模型中加入濾波函數后，對尺度小于濾波器尺寸的湍流，采用標準k-ε模型計算來求解，對尺度大于濾波器尺寸的湍流結構，采用直接計算方法來求解。本文計算采用ANSYS-CFX 12.1商業計算軟件，通過二次開發將上述的FBM模型引入，濾波尺寸選擇最小網格尺寸的1.5倍。

2.3.3網格和邊界條件設置

采用全結構化網格劃分串列泵內部流場。為了提高網格質量，將整個計算域分成4個部分，分別為入口段、首級葉輪、次級葉輪和導葉段。不同部分采用不同的網格劃分方法：入口段采用商業軟件ANSYS-ICEM 12.1商業軟件劃分流場網格，首級葉輪、次級葉輪和導葉段采用商業軟件ANSYS-TurboGrid 12.1劃分流場網格，導水錐和葉片周圍采用O型網格；近壁面進行加密，保證y+=ρlΔyuτ/μl≈1(其中Δy為距離壁面最近一層網格厚度，uτ為壁面摩擦速度)。輪緣間隙內包含10個節點。

為了驗證網格對結果的影響，對不同節點數的網格進行計算。圖4給出了網格節點數目和串列泵能量參數之間的關系，從圖中可以看出，效率和揚程系數在網格節點數為2.21×106后基本不變。綜合考慮計算的精度和經濟性，最終確定的計算網格總節點數為2.21×106。圖中，揚程系數和效率定義為

(20)

(21)

式中：H為串列泵揚程，P為串列泵軸功率。

圖4　網格無關性驗證Fig. 4　Effect of grid refinement

計算域的進口采用總壓進口條件；出口設置質量流量出口條件；固壁采用無滑移邊界條件；壁面函數為標準壁面函數；動葉輪和靜葉輪交接面類型選擇Stage界面，動葉輪之間的交接面類型選擇Frozen Rotor界面。通過監測各參量的殘差精度來確定計算的收斂性，收斂標準是10-4。對于空化流動計算，通過調節不同的進口壓力獲得不同的裝置有效空化余量取值；出口設置質量流量條件。計算采用相同的網格和邊界條件，以全沾濕工況計算結果為初始值，進行迭代計算，通過監測各參量的殘差精度來確定計算的收斂性，收斂標準是10-4。

2.3.4計算方法驗證

利用上述計算方法針對一個比轉速為ns=700的單級軸流泵的外特性和設計流量下的空化特性進行預測。圖5給出了計算結果和實驗結果的對比情況。從圖中可以看出，本文所采用的計算方法可以很好地預測該軸流泵的外特性和空化特性。

(a)外特性　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)空化特性圖5　單級泵外特性和空化特性曲線Fig. 5　Performances of a single stage pump

2.4模型建立及驗證

通過數值計算可以獲得不同實驗點即不同模型泵的效率和首級葉輪內部最小軸截面平均壓力系數。根據計算所得的目標函數值，分別采用二階多項式法，克里金法和徑向神經網絡法建立代理模型。 圖6給出了3種代理模型的三維等值面分布圖，3個坐標軸分別表示3個設計變量，不同顏色對應于不同的目標函數取值。

從圖中可以看到，采用二階多項式法和克里金法建立的代理模型預測結果相近，而采用徑向神經網絡法建立的代理模型和前兩種方法相差較大。

采用交叉驗證方法對3種模型進行評價，結果如表3所示。從表中可以看出三種模型的誤差值均超過10%，所以有必要進一步修正設計空間，重新設計實驗點分布。但可以進行初步分析，從表中可以看出誤差相對較小的是二階多項式方法建立的代理模型，所以初步分析基于二階多項式代理模型結果。

(b)克里金法(KRG)

(c)徑向神經網絡法(RBNN)圖6　不同代理模型預測目標函數三維等值面分布Fig. 6　Predictions of 3D contours of objective functions using different surrogate models

PRSKRGRBNN效率/%10.8812.5358.30最小平均壓力系數/%43.8343.2557.36

2.5結果分析與討論

圖7給出了基于二階多項式模型的敏感度分析結果。圖7(a)是3個自變量對于最小截面平均壓力系數的敏感度分析結果，圖7(b)是3個自變量對于效率的敏感度分析結果。圖中空心框表示局部敏感度，實心框表示全局敏感度。結果表明，首、次級葉輪安放角對效率和最小平均壓力系數影響較大，而相位角的影響很小，和前兩者相比可以忽略。在修正設計空間時，可以去掉相位角，從而降低設計空間的維數，使二次優化過程得到簡化。

圖8給出了基于二階多項式代理模型計算結果的最優點選取情況，目標函數空間中橫坐標為最小截面平均壓力系數，縱坐標為效率。綜合考慮效率和最小截面平均壓力系數2種因素，同時考慮到代理模型預測精度較低，所以選擇目標函數空間里的修正空間范圍較大，位置如圖中線框表示，即最優點應當落在該范圍內。

圖7　敏感度分析Fig. 7　Global sensitivity analysis

圖8　目標空間代理模型預測結果Fig. 8　Predictions in objective space

將上述修正空間映射到設計空間內，可以得到最優點對應的各個設計變量的取值范圍如下(已忽略相位角)：首級葉輪安放角在-1～-8°，次級葉輪安放角在-1～-6°。基于此，在此范圍內重新建立設計空間，進行二次優化。

2.6二次優化

二次優化的目標函數不變，由于相位角對串列泵性能影響較小，所以在二次優化時忽略。表4給出了二次優化的設計變量。

表4　二次優化設計變量

二次優化設計實驗過程中，采用拉丁超立方分布方法在修正的設計空間內選取20個實驗點。采用數值計算方法獲取實驗點數據，然后分別采用二階多項式法，克里金法和徑向神經網絡法建立代理模型。

圖9給出了3種代理模型預測結果的三維示意圖，圖中2個水平面內的坐標軸分別表示二次優化的2個設計變量，豎直坐標軸表示目標函數，不同顏色表示不同的目標函數取值。對3種模型進行驗證，結果如表5所示。從表中可以看出二次優化的代理模型誤差大大減小，表明建立的代理模型具有足夠的精度。從表中還可以看出，二階多項式方法建立的代理模型誤差最小，基于該代理模型進行最優點的選取以及進一步的分析。

表5二次代理模型驗證結果

Table 5PRESS of surrogate models of the second optimization

PRSKRGRBNN效率/%0.342.011.59最小平均壓力系數/%0.170.400.24

基于二階多項式方法建立的代理模型對各設計參數進行敏感度分析，圖10分別給出了2個自變量對于最小截面平均壓力系數和效率的敏感度分析結果。

從圖10(a)中可以看出首次級葉輪葉片安放角對最小截面平均壓力系數的敏感度較高，表明首級葉輪葉片安放角和串列泵的空化性能關系密切，2個自變量的全局敏感度均大于局部敏感度，表明2個設計參數存在相互影響，表明次級葉輪葉片安放角也會對串列泵的空化性能產生影響，但影響力較小。從圖10(b)中可以看出，首、次級葉輪葉片安放角均會對效率產生影響，但次級葉輪葉片安放角占據主導地位，首、次級葉輪葉片安放角對效率的敏感度之比約為4∶6，與串列泵的設計參數：首、次級載荷之比相同。下面基于二階多項式模型的預測結果尋找最優工況。

(a)二階多項式法(PRS)

(b)克里金法(KRG)

(c)徑向神經網絡法(RBNN)圖9　二次優化不同代理模型預測的三維響應面Fig. 9　Predictions of 3D response surfaces using different surrogate models in the second optimization

圖10　二次優化敏感度分析Fig. 10　Global sensitivity analysis of the second optimization

圖11給出了目標函數空間內的代理模型預測的目標函數點分布情況。顏色加深的點對應于效率最高或者最小截面壓力系數最大的工況，這些工況點形成帕氏最優狀態(Pareto front)[32]，從帕氏最優狀態可以看到，效率和最小壓力系數是相互矛盾的性能參數(trade-off)，即對于模型泵來說，如果效率較高，則最小截面壓力系數較小，即空化性能較差，如果最小壓力系數較高，即保證了較好的空化性能，則效率不能達到較高水平。

綜合考慮2種因素，選擇最優點如圖11所示。映射到設計空間中可以找到最優點的設計變量取值為：首級葉輪-3.7°，次級葉輪葉片安放角為-2°。采用數值方法對優化結果進行初步驗證可以得到效率和對小壓力系數分別為85.5%和-1.31。

圖11　目標函數空間內的預測結果和帕氏最優邊界Fig. 11　Predictions and Pareto front in objective space

2.7優化結果驗證

為了對優化結果進行進一步驗證，圖12給出了采用數值計算方法得到的優化前和優化后的串列泵外特性和空化特性曲線。從圖中可以看出，優化設計后的串列泵設計點附近的效率有所提升，同時設計點的空化特性得到改善。表明該優化方法可以很好地應用于串列泵的優化設計。

圖13給出了優化前后在設計流量，無空化條件下的串列泵首次級葉輪子午面平均壓力云圖。從圖中可以看出，首級葉輪經過優化后，進口處的低壓區域面積有所減小，表明在設計流量下，進口處流動損失減小，空化性能得到改善。次級葉輪經過優化后，沿葉高方向壓力梯度減小，表明優化后的葉輪可以抑制次級葉輪內部的二次流動，減小流動損失。

(a)外特性　　　　　　　　　　　　　　　(b)空化特性(設計流量)圖12　優化模型和原模型對比Fig. 12　Comparisons of prototype and optimum pump

圖13　優化前后串列泵子午面壓力圖對比(設計流量)Fig. 13　Average static pressure contour of meridian interface in front and rear impellers at design flow rate

3結論

本文基于代理模型對串列泵進行優化設計，分析了首、次級葉輪進口安放角度和相位角對串列泵性能的影響。采用敏感度分析方法和Pareto front方法進行參數影響分析和最優點的選取，并對優化后的串列泵外特性和空化特性進行驗證，得到的主要結論如下：

1) 基于代理模型的系統優化設計方法可以較好地應用于串列泵的優化設計；優化結果可以提升串列泵設計流量附近的效率和空化性能。

2) 首、次級葉輪相位角對串列泵性能影響較小；首、次級葉輪葉片安放角對串列泵效率的局部敏感度之比約為4∶6，和設計的載荷之比相同，首級葉輪葉片安放角是串列泵的空化特性的主要影響因素。

參考文獻：

[1]SAHA U K, ROY B. Experimental investigations on tandem compressor cascade performance at low speeds[J]. Experimental thermal and fluid science, 1997, 14(3): 263-276.

[2]FEINDT E G. Exact calculation of the flow of a staggered tandem cascade with moving second blade row[J]. Archive of applied mechanics, 2001, 71(9): 589-600.

[3]QIU X, DANG T. 3D inverse method for turbomachine blading with splitter blades[C]//International Gas Turbine and Aeroengine Congress and Exhibition. ASME paper 2000-GT-0526, 2000: 8-11.

[4]LIU Pengfei, ISLAM M, VEITCH B. Unsteady hydromechanics of a steering podded propeller unit[J]. Ocean engineering, 2009, 36(12/13): 1003-1014.

[5]孫琴, 顧蘊德, 鄭淑珍. 串列螺旋槳及其設計方法[M]. 北京: 人民交通出版社, 1985.

SUN Qin, GU Yunde, ZHENG Shuzhen. Tandem propeller and design method[M]. Beijing: China Communication Press, 1985.

[6]王國玉, 陳榮鑫, 余志毅, 等. 串列式雙級軸流泵性能的數值模擬[J]. 機械工程學報, 2007, 43(12): 39-45.

WANG Guoyu, CHEN Rongxin, YU Zhiyi, et al. Numerical simulation of the performance of tandem axial flow pump[J]. Journal of mechanical engineering, 2007, 43(12): 39-45.

[7]趙宇, 王國玉, 白澤宇, 等. 串列式軸流泵首次級葉輪能量特性及相互作用分析[J]. 排灌機械工程學報, 2013, 31(3): 210-214.

ZHAO Yu, WANG Guoyu, BAI Zeyu, et al. Characteristics and interaction of front and rear impellers of axial flow tandem pump[J]. Journal of drainage and irrigation machinery engineering, 2013, 31(3): 210-214.

[8]張克危. 流體機械原理[M]. 北京: 機械工業出版社, 2000.

ZHANG Kewei. Theory of hydraulic machine[M]. Beijing: China Machine Press, 2000.

[9]趙宇, 王國玉, 吳欽, 等. 基于計算流體力學的串列軸流泵空化性能分析[J]. 機械工程學報, 2014, 50(6): 171-176, 184.

ZHAO Yu, WANG Guoyu, WU Qin, et al. Analysis of cavitation performances of an axial flow tandem pump based on computational fluid dynamics[J]. Journal of mechanical engineering, 2014, 50(6): 171-176, 184.

[10]王立祥, 傅健. 關于噴水推進串列式軸流泵葉輪參數選擇與計算的探討[J]. 船舶, 2003(6): 47-51.

WANG Lixiang, FU Jian. Parameter selection and calculation of tandem axial flow waterjet pump impeller[J]. Ship & boat, 2003(6): 47-51.

[11]傅健. 噴水推進串列式軸流泵水力性能的探索與研究[D]. 上海: 中國艦船研究院, 2004.

FU Jian. A Study on hydrodynamic performance of tandem axial flow waterjet pump[D]. Shanghai: Marine Design and Research Institute of China, 2004.

[12]YU Zhiyi, LIU Shuyan, WANG Guoyu. Numerical investigation of the performance of an axial-flow pump with tandem blades[J]. Journal of Beijing institute of technology, 2007, 16(4): 404-408.

[13]SHYY W, PAPILA N, VAIDYANATHAN R, et al. Global design optimization for aerodynamics and rocket propulsion components[J]. Progress in aerospace sciences, 2001, 37(1): 59-118.

[14]QUEIPO N V, HAFTKA R T, SHYY W, et al. Surrogate-based analysis and optimization[J]. Progress in aerospace sciences, 2005, 41(1): 1-28.

[15]BOOKER A J, DENNIS J E Jr, FRANK P D, et al. Optimization using surrogate objectives on a helicopter test example[M]//BORGGAARD J, BURNS J, CLIFF E, et al. eds. Computational Methods for Optimal Design and Control. Boston: Birkhuser Boston, 1998: 49-58.

[16]RAI M M, MADAVAN N K, HUBER F W. Improving the unsteady aerodynamic performance of transonic turbines using neural networks[C]//Proceedings of the 38th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno, NV, 2000: 2000-0169.

[17]MADSEN J I, SHYY W, HAFTKA R T. Response surface techniques for diffuser shape optimization[J]. AIAA journal, 2000, 38(9): 1512-1518.

[18]PAPILA N, SHYY W, GRIFFIN L, et al. Shape optimization of supersonic turbines using global approximation methods[J]. Journal of propulsion and power, 2002, 18(3): 509-518.

[19]VAIDYANATHAN R, TUCKER K, PAPILA N, et al. CFD-based design optimization for single element rocket injector[M]. Florida: University of Florida Department of Mechanical and Aerospace Engineering, 2003.

[20]ANAGNOSTOPOULOS J S. A fast numerical method for flow analysis and blade design in centrifugal pump impellers[J]. Computers & fluids, 2009, 38(2): 284-289.

[21]ZHANG Jinya, ZHU Hongwu, CHUN Yang, et al. Multi-objective shape optimization of helico-axial multiphase pump impeller based on NSGA-II and ANN[J]. Energy conversion and management, 2011, 52(1): 538-546.

[22]FAN J, EVES J, THOMPSON H M, et al. Mincher. Computational fluid dynamic analysis and design optimization of jet pumps[J]. Computers & fluids, 2011, 46(1): 212-217.

[23]KIM J H, KIM K Y. Hydrodynamic performance enhancement of a mixed-flow pump[C]//Proceedings of the 26th IAHR Symposium on Hydraulic Machinery and Systems. Beijing, China, 2012.

[24]G?LCU M. Artificial neural network based modeling of performance characteristics of deep well pumps with splitter blade[J]. Energy conversion and management, 2006, 47(18/19): 3333-3343.

[25]MCKAY M D, BECKMAN R J, CONOVER W J. A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code[J]. Technometrics, 2000, 42(1): 55-61.

[26]MYERS R H, MONTGOMERY D C, ANDERSON-COOK C M. Response surface methodology: process and product optimization using designed experiments[M]. 3rd ed. Wiley, 2009.

[27] SACKS J, WELCH W J, MITCHELL T J, et al. Design and analysis of computer experiments[J]. Statistical science, 1989, 4(4): 409-423.

[28]KOHAVI R. A study of cross-validation and bootstrap for accuracy estimation and model selection[C]//Proceedings of the 14th International Joint Conference on Artificial Intelligence. San Francisco, CA, USA, 1995, 2: 1137-1143.

[29]SOBOL′ I M. Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates[J]. Mathematics and computers in simulation, 2001, 55(1-3): 271-280.

[30]JOHANSEN S T, WU Jiongyang, SHYY W. Filter-based unsteady RANS computations[J]. International journal of heat and fluid flow, 2004, 25(1): 10-21.

[31]KUBOTA A, KATO H, YAMAGUCHI H. A new modelling of cavitating flows: A numerical study of unsteady cavitation on a hydrofoil section[J]. Journal of fluid mechanics, 1992, 240: 59-96.

[32]HORN J, NAFPLIOTIS N, GOLDBERG D E. A niched Pareto genetic algorithm for multiobjective optimization[C]//Proceedings of the First IEEE Conference on Evolutionary Computation, 1994. IEEE World Congress on Computational Intelligence. Piscataway, NJ, 1994: 82-87.

Optimization design of tandem pump based on surrogate method

ZHAO Yu, WANG Guoyu, HUANG Biao, WANG Fufeng

(Research Institute of Fluid Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Abstract：In this paper, we propose a global design optimization method based on a surrogate model for an axial-flow tandem pump, in order to overcome the disadvantages of conventional optimization methods, including their long design period and lower efficiency. We discuss the influences of the primary design parameters on pump performances, and used fixed blade angles in both the front and rear impellers, as well as the phase angle, as design variables. We selected efficiency and the minimum average pressure coefficient on the axial sectional surface as the objective functions, which represent the energy and cavitation performances, respectively. Surrogate models were constructed based on various methods. In addition, we used global sensitivity analysis and Pareto front methods to further analyze the design parameters and optimum point. The results show that the optimization results can enhance tradeoff performances well, with respect to both efficiency and cavitation performance, in the vicinity of the design flow of the tandem pump. The influence of phase angle on performance can be neglected relative to the influence of the other two design variables. The impact ratio on efficiency of a fixed blade angle in the two impellers is the same as in their designed loading distributions. A fixed blade angle in the front impeller has a great influence on cavitation performance.

Keywords：axial-flow pump; tandem cascades; global design optimization; surrogate method; cavitation performances

中圖分類號：TV131.32

文獻標志碼：A

文章編號：1006-7043(2016)03-438-11

doi:10.11990/jheu.201410085

作者簡介：趙宇(1989-), 男, 博士研究生;通信作者：王國玉, E-mail: wangguoyu@bit.edu.cn.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51239005, 51479002).

收稿日期：2014-10-31.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160104.1648.020.html

網絡出版日期：2016-01-04.

王國玉(1961-), 男, 教授, 博士生導師.