彈體侵徹混凝土開坑階段阻力的計算*

薛建鋒，沈培輝，王曉鳴

(南京理工大學機械工程學院，江蘇南京 210094)

1 引 言

為了研究侵徹過程中彈體所受阻力的變化情況，需要對彈頭表面在開坑區的侵徹阻力進行清晰的描述。鑒于Forrestal方法的不足，本研究基于應力波損傷理論，對混凝土材料開坑區的侵徹特性進行分析，利用應力波反射形成層裂闡述靶面成坑機理，并根據侵徹阻力做功的簡化等效阻力線得到新阻力模型，將理論結果與數值模擬和實驗結果比較，得出開坑階段阻力計算新方法的適用范圍。

2 Forrestal半經驗法[2-3]

大量混凝土靶侵徹實驗表明，混凝土材料的侵徹通道可分為開坑區和貫穿孔洞區。Forrestal假設：在開坑區的4R(R為彈體半徑)深度內，侵徹阻力隨侵徹深度增大而線性增大；當侵徹深度大于4R以后，侵徹阻力與侵徹深度的關系可以采用空腔膨脹理論描述，即侵徹阻力F的表達式為

(1)

式中：C為侵徹阻力系數；W為侵徹深度；B為動阻力項系數，B=1；S為靶體靜態阻力系數；fc為混凝土材料的單向無側限抗壓強度；N為頭部形狀因子；ρ為混凝土密度；v為彈體速度。其中，侵徹阻力系數C和頭部形狀因子N的表達式為

式中：m為彈體質量；v0為彈體初始速度；v1為開坑結束時的彈體速度；ψ為曲徑比。當侵徹深度等于4R時，開坑階段恰好結束，根據連續性條件，由(1)式計算可得，此時的彈體速度為

(4)

3 理論模型

3.1 開坑過程描述

開坑區是撞擊應力波引起表層混凝土材料損傷破壞形成的。沖擊應力波在混凝土靶的自由表面反射形成拉伸波，在臨近自由表面的位置造成相當高的拉應力，一旦滿足最大拉應力瞬時斷裂準則，就會在該處引起材料的破壞；當裂口足夠大時，整塊裂片攜帶著傳入其中的動量從靶體飛離；出現層裂后，靶體表面形成新的自由面，繼續入射的應力波在新自由表面上反射，造成第2層層裂；以此類推，混凝土表面逐漸被破壞，形成開坑區。

圖1 簡化等效阻力曲線Fig.1 Simplified equivalent resistance line

開坑深度與彈體直徑有關，一般認為開坑深度為彈體直徑的2倍。根據文獻[13]可知，應力波在混凝土表層造成損傷的深度應該比開坑區的深度還要大，即應力波損傷的深度將大于(6～8)R。應力波在混凝土材料內的傳播速度遠大于彈體運動速度，因此當彈體侵徹混凝土靶一定深度后產生的應力波能量足夠大，足以損傷和破壞彈體運動前方的混凝土表層，造成混凝土表層材料強度下降，從而使得開坑區混凝土對彈體阻力的下降。考慮應力波對混凝土表層的損傷和破壞，在開坑區，簡化等效阻力線由0～kR區間的零阻力線和kR以后的滿阻力線構成，如圖1所示。為保證開坑區侵徹效應近似等效，要求簡化等效阻力線做功與真實阻力線做功近似相等，即兩陰影區域SA和SB的面積相等。

3.2 阻力計算

彈體頭部表面的應力為

(5)

式中：psd≈2(1-lnα)σsd/3，其中σsd為混凝土材料的動態屈服強度，α=1-(ρ/ρp)，ρp為混凝土的鎖變密度；C=BNρ，其中動阻力項系數B的表達式為

經典框架有很多種形式的推廣, 例如連續框架[4]、算子值框架[5]、G-框架[6]、子空間框架[7]、 Banach框架[8]、Hilbert C*-模框架[9]等。文獻[10]對經典框架的等式與不等式做了深入的研究。本文在文獻[11-12]的基礎上, 用算子理論的方法對Rd上的測度框架進行進一步的研究。

(6)

混凝土材料綜合動態強度參數的公式為

(7)

式中：Wmax為最大侵徹深度。在開坑區，彈頭的軸向阻力可表示為

(8)

圖2 彈頭參量示意圖Fig.2 Warhead parameters

式中：r為曲率半徑，μ為摩擦系數，φ0為彈頭侵徹的初始角度，φ為侵徹過程中的角度，如圖2所示。

根據能量守恒定理可知，由于阻力的作用，侵徹過程中彈體的動能減小。根據動能定理，彈體減小的動能等于開坑階段阻力和開坑深度的乘積，即

(9)

根據3.1節中分析，取k≈4時，即有SA≈SB，此時彈體的阻力模型由(1)式變為

(10)

將W(t=0)=4R、v(t=0)=v0兩個初始條件與(10)式聯立求解，得到最大侵徹深度的計算公式為

(11)

4 數值模擬及實驗研究

為了驗證理論模型的可靠性和正確性，進一步采用數值模擬和實驗方法研究開坑過程中侵徹深度與阻力之間的關系。

4.1 有限元模型

圖3 彈靶有限元網格Fig.3 Finite element model

利用ANSYS-DYN軟件建立彈體侵徹混凝土靶的有限元模型如圖3所示。彈體的直徑為10 mm，長度為70 mm，頭部曲率半徑為3或4。為消除側面約束對侵徹的影響，將混凝土靶設置為半無限靶，直徑為300 mm，高度為400 mm。考慮到彈體結構和載荷的對稱性，為節省計算時間，采用實體模型的1/4進行建模和求解。在彈體經過靶板區域20 mm的范圍內，網格比較密集，其他區域網格較稀疏。對彈體和靶體對稱面上的節點設置對稱約束，并對靶側面施加邊界條件，以模擬靶體被固定的情況。

彈體采用剛性模型描述，彈體密度為7.83 g/cm3，彈性模量為204 GPa，泊松比為0.3。彈體內裝填物視為各向同性彈塑性材料，其密度為1.8 g/cm3，彈性模量為5 GPa，泊松比為0.4，采用彈塑性材料模型描述。在彈體斜侵徹混凝土靶的過程中，彈體與混凝土靶板之間選擇LS-DYNA中的面面接觸算法。混凝土靶滿足Grüneisen狀態方程，其強度模型采用HJC累積損傷材料模型，具體材料參數如表1所示。其中G為剪切模量，A1為內聚力強度，B1為壓力強化系數，C1為應變率敏感系數，N1為壓力硬化系數，T為混凝土的最大拉伸強度，D1和D2是混凝土損傷參數，εfmin為混凝土的最小塑性應變，p1為靜水壓力。

表1 混凝土材料參數Table 1 Concrete material parameters

4.2 實驗方法

圖4為P3型和P4型兩種彈體的實物圖，其曲率半徑分別為3和4，彈身直徑均為10 mm，長徑比為7，彈體材料為35CrMnSi高強度合金鋼，通過改變彈體內部開孔深度，確保彈體質量為80 g。圖5為混凝土靶的實物圖，靶板直徑為300 mm，為彈徑的30倍，因此可以忽略靶板的橫向邊界效應。為了方便澆注混凝土靶，并保證侵徹后靶體的完整性，靶板外圍采用3 mm厚的鋼圈加固。彈體速度通過改變裝藥量控制，并通過錫箔紙和雙通道測時儀進行測量，現場布置如圖6所示。

圖4 兩種型號彈體實物圖Fig.4 Photos of projectiles

圖5 混凝土靶Fig.5 Concrete target

圖6 實驗布局Fig.6 Experimental setup

4.3 實驗結果

圖7為實驗后開坑區的破壞效果。由圖7可知，侵徹后靶體正面開坑呈漏斗形，形成了相對于彈著點基本對稱的彈坑區。靶面無明顯裂紋，說明邊界約束對侵徹過程幾乎沒有影響。開坑區的幾何參數如表2所示。從表2可以看出，彈坑深度為彈體直徑的3～4倍，并且隨著彈體侵徹速度的增加，彈坑面積逐漸增加，彈坑深度也發生明顯的變化。

圖7 開坑區破壞效果Fig.7 Photos of concrete damage

表2 開坑區的幾何參數Table 2 Geometrical parameters of crater zone

5 結果分析

5.1 數值模擬結果分析

圖8為數值模擬中計算時間為20和95 μs時靶體的損傷效果。從圖8中可以看出，開坑階段，混凝土發生了層裂和擠兌，并且靶體表面的開坑形狀與實驗結果(見圖7)一致。彈體撞擊混凝土靶時，彈體周圍的壓力遠遠超過了混凝土材料的屈服強度，彈體和靶體內部均產生強平面沖擊波，由于靶體表面的反射，平面波發生變形，并且在彈靶交界面上發生反射，使得在反射波后有許多靶體碎塊從靶體內部向外飛出；之后，隨著彈體的深入，在反射波和壓縮波的共同作用下，更多的碎塊從靶體內飛出，靶體表面形成漏斗坑；最終，彈頭全部進入靶體，不再產生靶面剝落。

圖8 開坑階段數值模擬結果Fig.8 Simulation results of cratering stage

5.2 模型的對比分析

Forrestal半經驗公式假設開坑深度為彈徑的2倍，而實驗中P4和P3彈體的開坑深度均大于2倍的彈徑。根據新模型計算彈體在開坑過程中所受的阻力，進而求得不同開坑速度時的開坑深度，并將結果與Forrestal半經驗公式、數值計算和實驗結果進行比較，如圖9所示。從圖9中可以看出，數值模擬和實驗結果與新模型預測值吻合較好。開坑階段結束后，P3彈體的速度分別為835、724和676 m/s，開坑階段消耗的動能分別占彈體初始動能的20.6%、21.8.%和16.1%；而開坑階段結束后，P4彈體的速度分別為793、734和687 m/s，消耗的動能占彈體初始動能的22.2%、20.3%和19.5%。由于開坑階段彈體消耗的動能占彈體初始動能的比例較大，因此彈體在開坑區侵徹阻力的準確表達式對了解彈體的剩余侵徹能力以及之后侵徹過程的分析很有意義。

圖9 開坑深度與侵徹速度的關系Fig.9 Relation of penetration depth and velocity

6 結 論

根據半經驗公式對開坑區的阻力進行計算，從應力波表層損傷理論和反射形成層裂角度解釋了混凝土開坑的機理，利用侵徹阻力做功等效的方法建立了開坑區阻力計算的新模型。經驗證，數值模擬和實驗結果與理論模型計算結果吻合較好，新模型能夠較好地描述彈體在開坑階段阻力與速度的關系，適用于彈體侵徹混凝土靶或部分以混凝土為面層的多層復合靶的侵徹計算。

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