降維法在大學數學課程中的應用初探

宋國亮 劉今子 劉日成 李文赫

摘 要：降維法是一種重要的數學方法，包括降低函數的元數、函數的次數、微分方程的階數、積分的重數、行列式和矩陣的階數、線性方程組和隨機變量的元數等。其中心思想就是化繁為簡，化未知為已知，符合認知規律。降維法在大學數學諸多課程中有著廣泛的應用，能增強知識間的縱向和橫向聯系，培養學生思維的靈活性和創造性。

關鍵詞：降維法；高等數學；線性代數

數學中的“維”指的是一個數學問題中元素的自由度，即該元素的坐標數。“降維”則通過一些數學方法，如代入、換元、求導、積分等，將高維的數學問題降為低維，從而使復雜的數學問題得到簡化，達到解決數學問題的目的。筆者結合多年實際教學經驗，談一談“降維思想”在解決數學問題中的運用。

一、在高等數學課程中的應用

1.降低微分方程的階數

在可降階的微分方程中，可以通過換元的方法，將高階的微分方程化為低階的微分方程，進而求解。對于y（n）=f（x）型的微分方程，可以換元令z=y（n-1），原方程可化為一階微分方程，積分一次解得y（n-1），逐次換元，積分n次可得原方程的通解。對于y''=f（x，y'）型和y''=f（y，y'）型的微分方程，可令y'=P將原方程化為一階微分方程，解出y'，又得一階微分方程，解之可得原方程的通解。

2.降低積分的重數

重積分通常可以利用直角坐標、柱面坐標和球面坐標進行計算，坐標的選擇取決于積分區域和被積函數的特征，具體計算則通過固定變量降低被積函數的元數，同時利用投影降低積分區域的維數，從而將重積分化為累次積分。……