降維法在大學數學課程中的應用初探

宋國亮 劉今子 劉日成 李文赫

摘 要：降維法是一種重要的數學方法，包括降低函數的元數、函數的次數、微分方程的階數、積分的重數、行列式和矩陣的階數、線性方程組和隨機變量的元數等。其中心思想就是化繁為簡，化未知為已知，符合認知規律。降維法在大學數學諸多課程中有著廣泛的應用，能增強知識間的縱向和橫向聯系，培養學生思維的靈活性和創造性。

關鍵詞：降維法；高等數學；線性代數

數學中的“維”指的是一個數學問題中元素的自由度，即該元素的坐標數。“降維”則通過一些數學方法，如代入、換元、求導、積分等，將高維的數學問題降為低維，從而使復雜的數學問題得到簡化，達到解決數學問題的目的。筆者結合多年實際教學經驗，談一談“降維思想”在解決數學問題中的運用。

一、在高等數學課程中的應用

1.降低微分方程的階數

在可降階的微分方程中，可以通過換元的方法，將高階的微分方程化為低階的微分方程，進而求解。對于y（n）=f（x）型的微分方程，可以換元令z=y（n-1），原方程可化為一階微分方程，積分一次解得y（n-1），逐次換元，積分n次可得原方程的通解。對于y''=f（x，y'）型和y''=f（y，y'）型的微分方程，可令y'=P將原方程化為一階微分方程，解出y'，又得一階微分方程，解之可得原方程的通解。

2.降低積分的重數

重積分通常可以利用直角坐標、柱面坐標和球面坐標進行計算，坐標的選擇取決于積分區域和被積函數的特征，具體計算則通過固定變量降低被積函數的元數，同時利用投影降低積分區域的維數，從而將重積分化為累次積分。二重積分可以化為兩個單次積分，即“2=1+1”。三重積分有“先二后一”“先一后二”和三次積分法，即“3=1+2”“3=2+1”和“3=1+1+1”。

3.降低函數的元數

多元復合函數求導時，可利用代入法將所有的中間變量換成最終的自變量，降低函數的元數，然后再對最終的自變量求導。對于僅含等式約束的極值問題或者稱為條件極值問題，通過直接求解由等式約束所構成的方程或方程組，把一些變量用其他變量來表示，從而消去問題中的某些變量，降低目標函數的元數，將原問題轉化為無條件極值問題。

4.降低函數的次數

在求某個冪級數的和函數時，如果此級數不具有和函數公式，可以先利用逐項求導公式先降低一般項函數的次數，然后利用已有公式求出和函數的導數，最后再積分就可以獲得所求和函數。

二、在線性代數課程中的應用

1.降低行列式的階數

利用行列式按行（列）展開法則，對行列式降階，可將計算一個n階行列式轉化為計算n個n-1階行列。當行列式中的某行（列）具有較多的零元素時，降階法的計算量較小，如果行列式中零元素較少，可以先利用行列式的性質將行列式的某行（列）元素化為多個零，然后再展開計算。用降階法求矩陣的特征多項式可以省去分解因式的麻煩，直接求得矩陣特征值。

2.降低矩陣的階數

在矩陣的和、差、數乘、乘法以及逆矩陣諸多運算中，可以通過分塊的方法，以子塊為元素，得到分塊矩陣，在形式上實現矩陣降階，利用某些子塊的特殊性可避免重復計算，減少計算量。

3.降低線性方程組的元數

利用消元法求解線性方程組主要包括兩個關鍵步驟：消元和回代。消元和回代其實都是為了降低方程組的元數，方便方程組求解。用初等行變換求解線性方程組先將增廣矩陣化為行階梯形，目的是去除多余方程，把矩陣降維得到秩，通過觀察系數矩陣的秩、增廣矩陣的秩和方程組的元數三者之間的關系，判別方程組解的情況，再把行階梯形化為行最簡形，通過回代得到方程組的解。

三、在概率論與數理統計課程中的應用

利用全概率公式求事件發生的概率，如果諸多劃分子空間事件及其之下該事件的條件概率已知，通過劃分樣本空間，降低事件的維數，則可求出該事件發生的概率。對于兩個相互獨立的事件，積事件發生的概率可降維成兩個事件單獨發生的概率之積。兩個相互獨立的隨機變量，聯合分布函數可降維成兩個邊緣分布函數之積。對聯合概率密度積分可降維求出邊緣分布函數。

四、結語

在解題中通過對問題情境進行適當降維，可以轉換我們思考問題的角度，并使問題中的關系在新的維系中更加直觀、簡約。經常進行降維的訓練，對于加強知識聯系、培養思維的靈活性有著重要作用。

參考文獻：

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[2]同濟大學數學系.線性代數（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]李瑞軍.升維法在高等數學中的應用[J].忻州師范學院學報，2010（26）：5.

作者簡介：宋國亮（1977- ），男，黑龍江省富裕縣人，教授，研究方向：油田最優化理論及應用。