數列極限概念的教學策略

極限概念是高等數學中最基本、最重要的概念之一。數列極限的概念是學員最先學習的極限概念。它的分析定義是用“ ”語言給出的，因此也稱之為“ ”定義。這種定義精細的刻畫了極限過程中諸變量之間的動態關系，表達了極限概念的本質，為極限運算的算數化奠定了基礎，凡是學過微積分的人，無不贊賞它的完美。但對于初學者來說，由于它比較抽象難懂，卻成了學習途中的一道“坎”。如何能讓學員盡快理解、接受數列極限的這個抽象定義呢？本文探討一下“ ”定義的教學問題。

1 培養學員的極限思想

要理解極限概念必須要有極限思想。因此，教員可以先從具體淺顯的實例入手，調動學員的直覺思維，使學員對極限概念獲得感性的認識。如在課程剛剛開始時，首先提出中國數學史的兩個問題：

第一個問題：公元前300年左右，中國杰出的學者莊子在他的文章《天下篇》中的一句話——“一尺之棰，日取其半，萬載不竭”，這句話是什么意思？在教員與學員共同對其進行解釋之后，使學員具備了最初的極限思想。

第二個問題：在古時候，并沒有我們現在計算圓的面積時所使用的圓的面積公式 ，那么古人是如何計算圓的面積呢？隨后用古人計算圓面積的方法——劉徽的割圓術來讓學員對“極限”有一個模糊的概念。在講第二個問題割圓術的時候，我也為學員詳細介紹了其歷史背景：劉徽在用割圓術計算圓面積的時候，一直計算到了圓的內接正192邊形，將圓周率精確到了小數點后兩位3.14，因此后人稱此值為“徽率”。隨后到了南北朝時期，祖沖之也用了同樣的方法計算到圓的內接正24576邊形，得到圓周率3.1415926，然后內接多邊形邊數再加倍，即圓內接內接正49152邊形，將圓周率定在3.1415926-3.1415927之間。在西方，這個成績是由法國數學家韋達于1593年取得的，比祖沖之要晚了一千一百多年。而在當時，科技是非常落后的，這個精確的結果就是祖沖之用小木棍一點一點測量得出來的。通過這一史實不僅可以增強學員對極限思想的理解，還能同時培養學員的愛國主義精神，并激勵學員要學習古人為了科學不懼困難，不斷鉆研的精神。

2 概念的引出

2.1 引導學員理解極限的描述性定義

有了數列的概念之后，再給出幾個具體的數列的例子，其作用在于一方面讓學員感受到底什么是數列，另一方面通過這些具體的數列引出數列極限的描述性定義。隨后通過將數列在數軸上進行描點的方法，讓學員觀察隨著n無限增大時，數列的變化趨勢。引導學員給出

數列極限的一個描述性定義。

（描述性）定義1 當n無限增大時，數列{ }無限接近于一個確定的常數a，則a叫做數列{ }的極限。記為

，或

2.2 引導學員理解極限的精確性定義

上面是數列極限的描述性定義，它簡單、直觀，使學員容易了解數列極限大體上是怎么一回事。但另一方面，它又顯得頗為膚淺，使人感覺很不準確，主要原因一是缺乏精細的數量分析；二是未采用純粹的數學語言刻劃變量變化的過程。如何從直觀的描述性定義出發達到抽象的分析定義呢？在此首先對定義1的實質進行分析如下。

n無限增大時， 無限接近常數a。

只要n充分大， 與a就可以任意接近。

只要n充分大， 與a的距離就可以任意小。

只要n充分大， 可以任意小。

只要n大于某個正整數N， 可以小于任意給定的正數 。

為了讓學員更清楚這一點，可以通過一個數列具體進行分析。通過上面對描述性定義的逐步遞推與對具體數列進行的分析，數列極限的精確定義——“ ”定義也就自然而然的給出來了。

3 關于極限概念的幾點說明

3.1 的任意性與N的存在性

定義中 是任意給定的，這一點非常重要。首先，正數 是可以任意小的，因而才能由不等式 表明 與a無限接近；其次，正數 又是給定的，因而才能對 的過程進行定量的分析。

定義中正整數N的存在性，是 與a是否無限接近的關鍵。如果對于任意給定的無論多么小的正數 ，都存在一個正整數N，使得N項后的每一項與a的距離均小于給定的正數 ，則 以a為極限；反之， 不以a為極限。

3.2 與N的關系

通過具體的數列分析可以讓學員感覺到，N是由 所確定的。通常情形下， 越小，N越大。但是盡管如此，N 只是依賴于 而產生，不是由 唯一所確定。事實上，對于給定的 ，若N能滿足要求，則大于N的任何一個自然數更能滿足要求，故N后的每一項都可做到。因此N等于多少無關緊要，只要存在即可，也正是由于這種確定的不唯一性，才使得它可以刻劃這個變化的過程。

4 結束語

數列極限的概念是教學過程中的一個重要環節，也是教學過程中的難點。以上將在教學實踐中的一點體會整理出來呈現給大家，以期在教學的探討中起到拋磚引玉的作用。相信通過廣大教員的共同努力，數列極限概念的教學方法必然會得到更大的發展，教學效果必然會得到更大的提高。