高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)際案例分析

課題：§3 弧度制

教材分析

在物理學(xué)和日常生活中，一個(gè)量常常需要用不同的方法進(jìn)行度量，不同的度量方法可以滿足我們不同的需要。現(xiàn)實(shí)生活中有許多計(jì)量單位，如度量長(zhǎng)度可以用米、厘米、尺、碼等不同的單位制，度量重量可以用千克、克、斤、噸等不同的單位制，度量角的大小可以用度為單位進(jìn)行度量。

通過類比引出弧度制，給出1弧度的定義，使學(xué)生建立弧度的概念，理解弧度制的定義，達(dá)到突破難點(diǎn)之目的。通過周角的兩種單位制的度量，得到角度與弧度的換算公式。進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)辯證統(tǒng)一思想的理解，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在、互相聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)。

三維目標(biāo)

1、通過類比長(zhǎng)度、重量的不同度量制，使學(xué)生體會(huì)一個(gè)量可以用不同的單位制來度量，從而引出弧度制。

2、通過探究使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制和弧度制都是度量角的制度，通過總結(jié)引入弧度制的好處，學(xué)會(huì)歸納整理并認(rèn)識(shí)到任何新知識(shí)的學(xué)習(xí)，都會(huì)為解決實(shí)際問題帶來方便，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：理解弧度制的意義，并能進(jìn)行角度和弧度的換算。

教學(xué)難點(diǎn)：弧度的概念及其與角度的關(guān)系

授課地點(diǎn)：高一年級(jí)某班

教學(xué)過程：

一、課題引入：

1、我們現(xiàn)在要度量一位同學(xué)的身高，可以有哪些度量單位？

1米=10分米=100厘米=1000毫米

2、買一個(gè)西瓜，要稱其重量，常用的有哪些不同的重量單位：1千克=1000克=2斤

我們可以看到：同一個(gè)長(zhǎng)度，同一個(gè)重量，可以用不同的單位來度量；只是單位不同，度量的結(jié)果不同；但是各單位之間可以互化。

大家都學(xué)過30o角，請(qǐng)大家在數(shù)軸上將30o角表示出來？（產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引入新知）

3、那么，對(duì)于一個(gè)叫，除了用“度”去度量之外，還有沒有其他的度量單位？

二、復(fù)習(xí)：初中學(xué)過的 角是怎么定義的？周角的 作為一個(gè)單位，稱為1度的角。

三、講授新課：

1、初中學(xué)過的弧長(zhǎng)公式： （ 為已知圓的半徑， 為角度數(shù)）

由這個(gè)公式可以看到：在一個(gè)給定半徑的圓中，弧長(zhǎng)和圓心角是一一對(duì)應(yīng)的。

2、現(xiàn)在改變圓的半徑，此時(shí)，除了半徑之外，還有哪些量變了？（如右圖）弧長(zhǎng)

3、設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r；

圓心角 所對(duì)的大圓圓弧為 ，小圓圓弧為 ，則：

由此可以看出：當(dāng)半徑不同時(shí)，同樣大小的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑之比不變。既然如此，我們就可以用弧長(zhǎng)與半徑的比值來定義圓心角的弧度數(shù)。

4、1弧度角的定義：

規(guī)定：我們把長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記此角為 ；讀作：1弧度。

說明：一個(gè)角的弧度數(shù)由該角的大小來確定，與求比值時(shí)所取的圓的半徑大小無關(guān)。

5、弧度制與角度制的大小關(guān)系：

（當(dāng)弧長(zhǎng)是 時(shí)，它所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是多少，關(guān)心的是弧長(zhǎng) 中含有幾個(gè)半徑，弧度數(shù)就是幾。）

對(duì)應(yīng)于一個(gè)周角來說：

6、弧度的應(yīng)用：

（1）任一正角的弧度數(shù)都是一個(gè)正數(shù)

（2）任一負(fù)角的弧度數(shù)都是一個(gè)負(fù)數(shù)

（3）零角的弧度是0

由此一來，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系“每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對(duì)應(yīng)；值得注意的是：注意單位的統(tǒng)一一致。

7、由于弧度數(shù)有正負(fù)，所以： ，即：

四、講解例題：

例1：將下列角度制與弧度制互化：

例2：計(jì)算：

例3：已知扇形弧長(zhǎng)為 ，半徑為 ，求扇形面積。

本節(jié)課是一節(jié)概念教學(xué)課，向?qū)W生介紹弧度制這個(gè)概念。對(duì)于學(xué)生而言，這是一個(gè)全新的知識(shí)。對(duì)于角來說，我們有角度制這個(gè)度量單位，那么又為什么要引入弧度制呢？那弧度制又是怎么定義的呢？需要注意哪些問題呢？怎么應(yīng)用呢？在這一些列的問題之下，形成了本節(jié)課的教學(xué)主線。

數(shù)學(xué)概念對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來說是必不可少的一部分，它既是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本要素，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心，更是大部分教師所重視的解題的基礎(chǔ)。不同層次的學(xué)生都需要通過概念課來進(jìn)入更高層次的學(xué)習(xí)。多采用啟發(fā)式教學(xué)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生完成對(duì)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)，為學(xué)好數(shù)學(xué)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。