分離法解題策略

分離法是常用的一種解題策略，在近幾年的高考中多次體現，利用分離法可以研究函數的定義域、值域；函數的圖象、性質，尤其是函數的最值。分離法主要指：分離常數法、分離參數法、分離變量法。

一、分離常數法

主要是研究函數y= 型的有關問題時，使用此法比較好

（1）研究函數的值域。例1.求y= 的值域，分析：y= = ，所以值域為（-∞，1）∪（1，+∞）。

（2）研究函數圖象的中心。例2.如果函數y= 的圖象關于點A（1，2）對稱，那么（ ）

（A） m=-2，n=4 （B） m=2，n=- 4

（C）m= -2，n= - 4 （D）m=2，n=4

分析：y= = 。所以y- = ，因此y- = 的圖象關于點（?- ， ）對稱，由已知- =1， =2，解得m=-2，n=4，故選（A）

（3）研究函數的單調性。例3.函數y=f（x）= （x≠2）的反函數為f -1（x），求f -1（x）的單調區間，分析：由y=f（x）= （x≠2）得x= ，所以y=f（x）= （x≠2）的反函數為f -1（x）= （x≠-2），又f -1（x）= = （x≠-2），所以f -1（x）的增區間為（-∞，-2），減區間為（-2，+∞）。

二、分離變量法

根據問題的要求，常常需要把變量或變量的結構式分離出來，以便于問題的解決。（1）分離變量求最值。例4：（98年高考（22）題）。如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱.污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出。設箱體的長度為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質的質量分數與a，b的乘積ab成反比。現有制箱材料60平方米。問當a，b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小（A、B孔的面積忽略不計）。

分析：設y為流出的水中雜質的質量分數，則y= ，其中k>0為比例系數，依題意，即所求的a，b值使y值最小，根據題設，有4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），得b= （0

（2）分離變量求單調區間。例5.求函數y= 的單調遞增區間.分析：y= =（x+1）+ ，令t=x+1，由于g（t）=t+ +1的單調增區間為（-∞，-2），[2，+∞]。所以y= 的單調遞增區間為（-∞，-3]，[1，+∞]。

三、分離參數法

如果在一個問題中涉及到兩個以上的變量，我們把其中一個變量分離出來，有時是這個變量的表達式。

（1）分離參數求參數取值范圍。分離參數法是求參數取值范圍的一種重要方法。它的理論依據及思維程序是這樣的：若關于x的不等式f（x，）≥0，（或f（x，）≤0）（※）在區間D上恒成立，求實數的取值范圍。如果能將不等式（※）化為F（）≥G（x）（或F（）≤G（x））的形式，且可求出G（x）在區間D上的最大值或最小值，那么，不等式（※）在區間D上恒成立充要條件是F（）≥G（x）max（或F（）≤G（x）min）例6（90年高考試題）.設f（x）=lg 其中a∈R，n∈N且n≥2。如果f（x）當x∈（-∞，1]時有意義，求a的取值范圍。分析：f（x）當x∈（-∞，1]時有意義當x∈（-∞，1]時，1+2x+3x++（n-1）x+nxa>0當x∈（-∞，1）時a>-[ ]。構造函數g（x）=-[ ]，易知g（x）在（-∞，1）是嚴格單調遞增函數，所以g（x）在（-∞，1）上的最大值為g（1）=- 。故a>-

（2）分離參數研究方程的解問題。例7.關于x的方程 sin2x+cos2x-m-1=0在區間[0， ]上有解，試求實數m的取值范圍。分析：原方程可化為sin（2x+ ）= ，由于0≤x≤ ，所以 ≤2x+ ≤ ，- ≤sin（2x+ ）≤1，所以- ≤ ≤1，解得-2≤m≤1。本題也可化為m=f（x）=2 sin（2x+ ）-1，函數的值域即為實數m的取值范圍。

（3）分離參數研究不等式恒成立問題。例8.已知定義在（-∞， 3）上的單調減函數f（x）使得f（a2-sinx） ≤f（a+1+cos2x）對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍。分析：本題分離出參數a之后，即將原問題轉換為求函數的最值問題。解：由題意，對一切實數x有

解得- ≤a≤ 。

例9.若關于x的不等式cos2x+2msinx-2m-2<0對x∈R恒成立，求實數m的取值范圍。分析：本題可化歸為f（x）=（sinx-m）2-m2+2m+1的最小值問題，但是需要分三種情況進行討論，若利用分離參數法分離出m，則問題變得易于求解。

解：由cos2x+2msinx-2m-2<0得1-sin2x+2msinx-2m-2<0，∴2m（sinx-1）<1+ sin2x ，

當sinx=1時，有0<2，顯然成立，當sinx≠1時，sinx-1<0，∴m> ，f（x）= = = ，- ≤-2 +1=1-