用不等值替換

初中數學《三角形》這一章中，有一類求邊角范圍的題目，不少同學做起來，通常無思路可尋，分析這類題目的特點，多與三角形的內角和、三角形的周長有關；再根據等式和不等式的性質，用不等值替換——放縮法來解決這類問題非常有效，這里選擇幾例僅供讀者參考。

例1： 中，若周長為6，且AB=AC，則其最小邊的取值范圍是_______，若周長為6，且AB=2AC，則其最小邊的取值范圍是_______.

解：（1）設AB=AC=a，則BC+2a=6，分兩種情況：①若BC最小，則 且 ， （用BC替換a，縮小了）， .因此這時最小邊的取值范圍是 .②若AB和BC邊最小，則 ，且 ， （用BC替換a，放大了），且 （用BC替換2a，縮小了）， 且 . ，這時最小邊的取值范圍是 .

（2） ， 邊是最小邊， ， ，又 且 ， ， （用3AC替換BC，放大了），且 （用AC替換BC，縮小了）， ，所以最小邊的取值范圍是 .

例2：已知三角形的兩邊分別是 、 且 ，則周長 滿足（ ）.

（A） （B）

（C） （D）

解： 且 ， （用 替換 ，縮小了），且 （用 替換 ，放大了）， 且 ，即 ，故答案選（B）.

例3：在 中， ，①若BC最大，求BC的取值范圍；②若BC最大，求BC的取值范圍.

解：①若BC邊最大，因為 ，所以 .又因為 ，所以 ；②若BC邊最小，因為 ，所以 ，又因為 ，故 。

例4：在一個三角形中，如果最大角是最小角的2倍，那么最小角的取值范圍是（ ）。

（A）最大可以為 （B）不大于

（C）不小于 ，又不大于 （D）以上都不對

解：設 中最大角為 ，最小角為 ，則 ， ， ， ， （用 替換 ，縮小了），且 （用 替換 ，放大了）， ，且 ， .

例5：銳角三角形中有一內角為 ，則最小角的取值范圍是（ ）.

（A） （B） （C） （D）

解： 最小， ，設第三個內角為 ，則 且 . . （用 替換 縮小了，用 替換 放大了）， 且 ， . 故選（D）.

例6：已知 的周長是12，三邊為a、b、c.若b是最大邊，則b取值范圍是________ .

解： 是最大邊， ，又 ， （用 替換 、 ，放大了），且 （用 替換 ，縮小了）， ， 且 ， .

通過不等值替換，放大求下界，縮小求上界確定三角形邊或角的范圍，方法具體易形成解題的規律，便于掌握.