習題潛在價值及在課堂教學中的實現

習題是學生鞏固基礎知識、形成基本技能以及教師評價學生學習情況的重要載體，在教學活動中發揮著重要的作用。但在實際教學活動中，教師通常注重的是習題的外顯價值——利用數學習題幫助學生在知識和技能方面獲得提高，而忽視了它的“潛在價值”。那么，如何充分挖掘習題的潛在價值呢？

知識聯系的拓展

教科書中例題所包含的知識點只是本節課中的重點，猶如一棵大樹的樹干，還有很多細小的知識點，隱藏在練習的小小習題里，需要教師去挖掘，對知識點間的聯系進行拓展。

案例：六年級下冊“圓柱和圓錐”練習四第6題，相信很多教師在處理這一題時通常采用以下的教學方法：一是讓學生先觀察這一組圖，猜一猜圓錐與哪些圓柱的體積相等；二是說一說自己是怎樣得出圓錐體積和第三個圓柱的體積相等的；三是動筆算一算每一個形體的體積，驗證自己的結論是否正確；四是再次思考：如果不計算，如何判斷圓錐體積和第三個圓柱的體積相等呢？

根據以上的教學環節，這一道題目基本上處理得很得當了，圓錐和圓柱的體積計算得到了訓練，體積和底面積相等的圓錐和圓柱，圓錐的高是圓柱的高的三倍這一關系也得到了拓展。但是筆者以為，這一題還可以再充分挖掘一下，引申出新的知識點間的聯系。

追問：觀察后面的四個圓柱，你又有什么新的發現呢？小組交流。小組一得出的結論是：第1個圓柱和第3個圓柱的底面積相等，它們高的比是3∶1，體積的比也是3∶1；第2個圓柱和第4個圓柱也存在同樣的關系。小組二得出的結論是：第1個圓柱和第2個圓柱的高相等，它們直徑的比是3∶1，底面積的比就是9∶1，體積的比也就是9∶1；第3個圓柱和第4個圓柱也存在同樣的關系。小組三得出的結論是：圓錐和第二個圓柱，雖然它們的高相等，圓錐的直徑是圓柱的3倍，但它們的體積卻不相等，圓錐的體積是圓柱體積的3倍，那是因為圓錐的底面積是圓柱的9倍，要想圓錐與和它高相等的圓柱體積相等，圓錐的底面積必須是圓柱3倍。

學生在討論中，對于圓柱、圓錐的體積與底面積和高之間的聯系有了進一步的拓展。

數學思想的感悟

《數學課程標準》中提出：課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。數學思想是一種形而上的東西，對于小學生來講，如果教師直接告訴他什么是數學思想，他會猶如聽天書一般，不知所以然，所以課標中用的是“感悟”數學思想，把知識悟到位了，自然就涉及到思想。教師就需要認真地吃透教材，把知識的形成過程、豐富過程、運用過程充分讓學生經歷。除了例題的教學可以感悟數學思想，習題也同樣發揮著不可小覷的作用。

案例：六年級下冊“圓柱和圓錐”第19頁“動手做”。很多教師覺得這樣的題目沒有必要花時間去做，只要說一下就可以了，學生都會的。其實這里面就蘊涵著一種數學思想：等量替換。學生對于“曹沖稱象”的故事很熟悉，也都知道利用水來測量土豆的體積，可是這些都是聽來的，他們會說卻不會運用，因為這些都是教師強加給他們的，是教師的一種自以為的“學生會呢”。學生對于等量替換的思想方法只是一些若隱若現的感受，缺少的是讓這種思想附上實實在在的形，所以在解決下面的思考題時會出現無助的現象。（此題即第19頁“動手做”上面的思考題。）講了故事，再花一定的時間做一做，然后再運用到解決上述的思考題中，經過這一系列的過程，“等量替換”就不再是生硬的名詞了，它就會在學生的頭腦中扎根。

創新思維的培養

創新意識的培養是現代數學教育的基本任務。數學教學活動應激發學生的興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維。練習不是機械性地讓學生做，循規蹈矩的解題雖然能使學生的知識技能得以鞏固，但是長此以往會使學生失去對習題的興趣。小小習題中不乏一些有趣的題目，稍作變動，就會激起學生創新意識火花。

案例：六年級上冊“整理與復習”第24題。作如下的修改后呈現給學生：把長26厘米、寬16厘米的長方形紙，角上剪去一些4厘米的正方形，把它折成一個無蓋的長方體紙盒，它的容積最大是多少立方厘米？

學生往往想到的就是書上的那種方案，從四個角上各剪去一個邊長為4厘米的正方形。

這時，告訴學生，老師還有一種方法，折出來的長方體的容積比他們的還要大，但是卻不告訴他們方案，讓他們自己動手用長方形紙去剪一剪，折一折。學生骨子里那股不服輸的勁頭被調動起來了，四人小組立馬一起討論、操作，還真有鬼靈精得出了有創意的方法。

只需要在寬所在邊的兩個角剪兩個邊長為4厘米的小正方形，然后用膠帶粘到另一條寬所在邊的中間，這樣所做成的長方體的容積便是最大的。其他學生也為這位同學的方法所折服，也感嘆解決問題不能墨守成規。

至此并沒有結束，還可以讓學生進行深度思考：什么情況可以用這種方法呢？學生發現寬的一半正好等于兩個小正方形的邊長時才可以適用。

教師只要做有心人，尋找出習題中潛在價值的一面，創設一定的問題情境，讓學生改變做習題的方式，可以保持學生對數學學習的一份熱情和期望。