排列組合應(yīng)用題十種解題策略

[摘 要] 排列組合應(yīng)用題在高考數(shù)學(xué)中占據(jù)了舉足輕重的地位，題型千變?nèi)f變，是教學(xué)中的一大難點(diǎn)。通過(guò)整理和歸納，發(fā)現(xiàn)其解題思路卻萬(wàn)變不離其宗，可用十六個(gè)字來(lái)概括：分類相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合。

[關(guān) 鍵 詞] 數(shù)學(xué)；排列組合；解題策略

[中圖分類號(hào)] G718 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2016）20-0031-01

排列組合是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，解排列組合應(yīng)用題首先，要認(rèn)真審題，分清這一問(wèn)題是有序還是無(wú)序，這是區(qū)別排列與組合的依據(jù)；其次，利用兩個(gè)基本原理進(jìn)行合理地分類與分步.常見(jiàn)的解題策略有以下幾種：

一、特殊元素，優(yōu)先策略

例1.有4名男生和3名女生排隊(duì)拍照，甲不站在兩頭，有多少種不同排法？

分析：甲是特殊元素，先考慮甲，再排其他六人，甲不站在兩頭，故有種P15再排其余六人，有種P66，分步相乘得種P15P66=3600.

二、直接繁雜，間接策略

如果先不考慮題目中的約束條件，求出所有排列數(shù)，再排除不符合約束條件的排列數(shù)，這種方法叫做間接法，采用此法，以避免重復(fù)和遺漏.

例2.5個(gè)人站成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排P33法？

分析：此題用直接法分析學(xué)生不易理解，而換用間接法，則會(huì)十分簡(jiǎn)單，得P55-2P44+P33=78種，這里甲站最左邊的P44種和乙站最右邊的P44種都含有甲站最左邊同時(shí)乙站最右邊的情形，所以，減去2P44后要加上P33.

三、相鄰問(wèn)題，捆綁策略

排列中經(jīng)常遇到要求某些元素相鄰的問(wèn)題，可以用“捆綁法”來(lái)解決.

例3.有7人排隊(duì)拍照，甲乙兩人要排在一起，有多少種排法？

分析：將甲乙捆綁起來(lái)，看作一個(gè)元素與剩下的5人進(jìn)行排列，有P66種排法，然后甲乙這個(gè)捆綁后的元素本身也有排列P22種，根據(jù)相乘原理得P66P22=1440種.

四、相間問(wèn)題，插空策略

排列中要求某幾個(gè)元素不相鄰（相間）的問(wèn)題，可以用“插空法”來(lái)解決.

例4.有4名男生和3名女生排隊(duì)拍照，女生不能相鄰，有多少種排法？

分析：第一步，4男全排列，有P44種；第二步，在4男之間包括兩端共5個(gè)空位中插入3女，有P35種，由分步計(jì)數(shù)原理，得P44P35=1440種.

五、元素相同，隔板策略

例5.10個(gè)體育生名額，分配給6個(gè)班級(jí)，每班至少1名，有多少種分法？

分析：將10個(gè)體育生排成一行，在形成的9個(gè)間隙（不包括兩端）中，任意插入5塊隔板，把10名體育生分成6組，有C59=126種.

六、定序問(wèn)題，倍縮或插空策略

例6.7人排隊(duì)拍照，甲乙丙三人順序一定，有多少種排法？

分析：法一采用倍縮法，先計(jì)算出全部排列數(shù)有P77種，除以甲乙丙這個(gè)整合后的內(nèi)部本身排列數(shù)P33，故得種P77/P33=P47=840種.

法二采用空位插入法，即先排甲乙丙三人，共1種，再把其余4人依次插入到甲乙丙三人間的間隙（包括兩端）中，故有種4×5×6×7=840種.

七、混合問(wèn)題，先選后排策略

例7.從4名男生和3名女生中選2男2女，擔(dān)任不同的班干部，有多少種分法？

分析：此題有順序，首先考慮到用排列的知識(shí)，但P24P23的做法遺漏了男女生和女生混排的情形，因此這類問(wèn)題需采用先選后排法，先選出兩男兩女，有C24C23種，再讓選出的學(xué)生分別去擔(dān)任不同的職位，有P44種，故有C24C23P44=432種.

八、重排問(wèn)題，求冪策略

例8.把7名學(xué)生分配到6個(gè)車間實(shí)習(xí)，有多少種分法？

分析：7個(gè)人中的每一個(gè)人都可以在6個(gè)車間中選擇一個(gè)車間實(shí)習(xí)，每人有6種選擇，根據(jù)“分步相乘”，得6×6×6×6×6×6×6=67種不同的分法.

九、環(huán)排問(wèn)題，線排策略

例9.5個(gè)學(xué)生圍桌而坐，共有多少種排法？

分析：圍桌坐成圓形，沒(méi)有首位之分，所以固定其中任意一人甲，并從此位置把圓展開(kāi)成一條直線，只要讓其余4人進(jìn)行全排列，就得到答案，有P44種.

十、平均分組問(wèn)題

平均分組，無(wú)論分出的組順序如何，都是一種情況，所以分組后都要除以P mm，其中m表示組數(shù)，但具體解題時(shí)還要考慮有無(wú)分配對(duì)象的情況.

例10.12本不同的書(shū)，按平均分成3堆，有多少種分法？

分析：先從12本書(shū)中選出4本為一組，有C412種；再?gòu)挠嘞碌?本書(shū)中選出4本為一組，有C48種；最后余下的4本為一組，有C44種，得C412C48C44種.因?yàn)榫趾蟮慕M沒(méi)有順序之分，還要除以P mm，其中m表示組數(shù).得種.

以上把常見(jiàn)的幾類排列組合應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行了歸納小結(jié)，解排列組合應(yīng)用題的思路非常靈活，在學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)不斷積累模式，以便快速準(zhǔn)確地求解，更重要的是，希望學(xué)生能努力打破固有的思維模式，讓自己的思想騰飛.

參考文獻(xiàn)：

[1]萬(wàn)有平.解排列組合應(yīng)用題十四法[J].數(shù)理化解題研究研究，2003（4）：20-21.

[2]星金梅.排列組合問(wèn)題的解題策略[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2011（15）：202.