對逼近思想應用的思考

[摘 要] 逼近思想應用在數學的很多方面，同時是高等數學的主要理論。主要對逼近思想在極限、導數以及泰勒公式中的應用以及方法進行了思考和討論，進而在教學中引導學生在探索過程中掌握必備的分析問題的能力。

[關 鍵 詞] 逼近思想；極限；導數；積分；泰勒公式

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）33-0093-01

在科學技術以及數學科學取得巨大進步的背景下，數值逼近理論也得到了越來越重要的應用，而作為基本理論基礎的高等數學這門課程，不僅要幫助學生掌握基本的數學理論，更要引導學生形成辯證的數學思維能力，而逼近的思想正是學生需要形成的基本分析問題的思維方式。

一、逼近思想在極限中的應用

極限主要描述的是變量通過從有限到無限不斷逼近某一常量的過程。在教學實踐中，可結合逼近的思想，引發學生想象思考，積極探索，進而增強抽象思維能力。極限■xn=a蘊涵著豐富的含義，當n無限增大時，xn無限逼近a，也就是說xn和a的距離可以無限小，即無論事先給定多么小的數ε，總存在正整數N，當n>N時，有xn-a<ε。

為了促進學生的理解，教學中可恰當引入實例，1m長的繩子，每天截取它的一半，記錄每日長度■，■，■，■…，■…，當天數n→∞時，■無限逼近0.教學中可通過這些實例滲透逼近的思想，引導學生逐步應用逼近理論，進而深刻理解極限的概念和思想。逼近思想還可以用來求極限。

例1：c1，c2，…，cm為m個正數，則■■

解：設M=max{c1，c2，…cm}，M≤■≤■，

因為■■=■M■=M，

所以■■=M=max{c1，c2，…，cm}

二、逼近思想在微積分中的應用

恩格斯指出，微積分即為變化的數學，其本質是將辯證法應用于數學的體現。[1]因此，要讓學生身臨其境，結合近似與精確等的辯證關系，積極思考并善于應用逼近思想，從而真正理解微積分學知識的本質。

（1）微分學中用平均速度逼近速度：質點沿某一直線做變速運動，軌跡為s=s（t），取[t0，t0+Δt]，則在Δt內v平均=■，若Δt→0，v平均就越逼近t0時刻的v瞬時。

（2）積分學中的用有限和逼近無限和。求曲邊梯形的面積[2]s，將s分割成有限個的小面積s1，s2…，sn，通過以曲代直的方法，將sn近似為有限個長方形An，由無限個An的和逐步逼近s。

教師應將逼近的思想體現在教學課堂中，建立數學模型，再應用數學理論推導計算方法，打破只注重講授方法及其理論的觀念，加強方法的背景及其實際應用的講解，把教學從傳授知識的層次提高到培養學生分析和解決實際問題的能力層次上來，增強學習數學的興趣。

三、逼近思想在泰勒公式中的應用

為了便于研究一些較復雜的函數，常希望借助一些簡單函數近似表達，而多項式函數是各類函數中最簡單的一種，用多項式逼近函數是近似運算和理論分析的一個重要內容。

引理[3]：若函數在區間[a，b]上有n+1階導數，？坌x，x0∈[a，b]，至少存在一點θ∈[a，b]，滿足f（x）=f（x0）+f′（x）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+■（x-x0）n+1

在整個區間上用多項式函數來逼近函數f（x），產生的誤差是Rn（x），如果給定誤差精度，可進行函數近似值的計算。

例2：用泰勒公式逼近cos x，誤差控制在10-4，分析x的取值范圍。

解：cos x=1-■+■+…+（-1）m■+（-1）m+1■x2m+2，θ∈（0，1）

（1）m=1時cos x≈1-■x2，使其誤差滿足（-1）2■x4≤■<10-4

只需x<0.22134（弧度），即大約在原點左右12.6883度。

（2）m=2時cos x≈1-■x2+■，使其誤差滿足（-1）3■x6≤■<10-4

只需x<0.51800（弧度），即大約在原點左右29.6943度。

如果進一步用更高次的多項式來逼近cos x，x能在更大范圍內滿足同一誤差。

泰勒公式在數學中的應用還有很多，比如研究函數的極值和拐點、求行列式的值、求初等函數的積分等。本文著重對泰勒公式的應用技巧和數值近似的應用進行探討，也對逼近的數學思想有了更深層次的領悟。

逼近理論[4]包還包含著多種數學思想，例如近似、離散、逐項迭代的思想等，它的應用有插值法、求解線性方程組等，但這些數學思想隱藏在知識的背后，留待學生自己去探索和發現，這有利于增強學生的抽象思維能力和創新思維能力，進而提高數學應用能力。

參考文獻：

[1]包春雷.淺談微積分中的辯證思想[J].阜陽師范學院學報（自然科學版），2004（2）：32-34

[2]張永安.定積分概念的教學方法探究[J].農家科技（下旬刊），2014（10）：208.

[3]朱開永.王升瑞高等數學[M].同濟大學出版社，2014：136-141.

[4]李小林.對數值逼近課程教學改革的思考[J].四川教育學院學報，2012，28（7）：99-102.