廣義半整數不完全伽瑪函數及其應用

劉國興， 呂成軍， 秦惠增

(1. 山東理工大學 理學院, 山東 淄博 255049； 2. 齊魯醫藥學院 公共教學部, 山東 淄博 255213)

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廣義半整數不完全伽瑪函數及其應用

劉國興1，2， 呂成軍1， 秦惠增1

(1. 山東理工大學 理學院, 山東 淄博 255049； 2. 齊魯醫藥學院 公共教學部, 山東 淄博 255213)

摘要：對廣義不完全伽瑪函數Γ(α,z;b)的性質進行了研究并得到一系列結果.特別是Γ(α,z;b)的閉形式僅由誤差函數表示.通過遞推公式,給出了Γ(α±n,z;b),n=1,2,…的顯式表示.

關鍵詞：伽瑪函數； 廣義不完全伽瑪函數； 貝塞爾函數； 修正貝塞爾函數

廣義不完全伽瑪函數定義為

(1)

其中α∈R,x≥0,b≥0或者 α≤0,x,b≥0,xb≠0,b. 對于這類特殊函數,已有許多結論[1-8]. 特別當α=n-1/2(n=0,1,2,…)時,文獻[1]給出了半整數貝塞爾函數有限閉形式的表示

(2)

其中Iα和Kα是第一類和第二類修正貝塞爾函數.本文中,考慮廣義不完全伽瑪函數的幾種其他表示形式.

1關于Γ(α±n,x;b)的遞推性質

對于Γ(α±n,x;b)的遞推性質,需要引入下面的性質.

引理1[1]1) 遞推關系

Γ(α+1,x;b)=αΓ(α,x;b)+bΓ(α-1,x;b)+xαe-x-b/x

(3)

2) 函數關系

(4)

給出如下形式

Γ(α+n,x;b)=An(α,b)Γ(α,x;b)+Bn(α,b)Γ(α-1,x;b)+Pn(α,b,x)xαe-x-b/x

(5)

進而得到An(α,b),Bn(α,b),Pn(α,b,x)的表達式.

由(3)式得到

Γ(α+n,x;b)=(α+n-1)Γ(α+n-1,x;b)+bΓ(α+n-2,x;b)+xα+n-1e-x-b/x

(6)

結合(5)式和(6)式,可以看出An(α,b),Bn(α,b)和Pn(α,b,x)滿足以下遞推關系：

An(α,b)=(α+n-1)An-1(α,b)+bAn-2(α,b),A0(α,b)=1,A1(α,b)=α

(7)

Bn(α,b)=(α+n-1)Bn-1(α,b)+bBn-2(α,b),B0(α,b)=0,B1(α,b)=b

(8)

Pn(α,b,x)=(α+n-1)Pn-1(α,b,x)+bPn-2(α,b,x)+xn-1,P0(α,b,x)=0,P1(α,b,x)=1

(9)

由(7)式～(9)式,給出下面的引理.

引理2當n=0,1,2,…時，An(α,b)可以表示為如下形式

(10)

其中[u]表示向下取整函數,(α)n是Pochhammer符號,即

(α)0=1,(α)n=α(α+1)…(α+n-1)

(11)

證明(I) 由(7)式,有

A0(α,b)=1,A1(α,b)=α,

(12)

這表明對于n=0,1,(10)式成立.

(II) 假設當n≤k(k=1,2,…)時(10)式成立, 對于n=k+1,將n=k+1代入(10)式,有

Ak+1(α,b)=(α+k)Ak(α,b)+bAk-1(α,b)

(13)

將(13)式中的m替換為j-1,得到

(14)

其中

(15)

將(15)式代入(14)式,得到

(16)

所以當n=k+1時(10)也成立.這樣證明了(10)式成立.

引理3 當n=1,2,…時，Bn(α,b)可以表示為如下形式

(17)

證明(I) 由(8)式,有

B1(α,b)=b=bA0(1+α,b),B2(α,b)=(α+1)b=bA1(1+α,b)

(18)

這表明對于n=1,2,(17)式成立.

(II) 假設當n≤k(k=2,3,…)時(17)式成立,對于n=k+1,將n=k+1代入(8)式,有

Bk+1(α,b)=(α+k)Bk(α,b)+bBk-1(α,b)=b(α+k)Ak-1(1+α,b)+b2Ak-2(1+α,b)

(19)

利用(7)式、(19)式變為

Bk+1(α,b)=bAk(1+α,b),

(20)

這表明當n=k+1時(17)式成立.這樣證明了(17)式成立.

引理4當n=1,2,…時,Pn(α,b,x)可以表示為如下形式

(21)

證明(I)當n=1,2時,(9)式變為

P1(α,b,x)=1,P2(α,b,x)=(α+1)+x,

(22)

所以,對于n=1,2,(21)式成立.

(II)假設當n≤k時(21)式成立 ,對于n=k+1,將n=k+1代入(9)式,有

(23)

通過變量替換m=j-1和z=j-2得

bAj-2(α+k+1-j,b))

(24)

利用(7)式,有

(25)

這表明當n=k+1時(21)式成立.這樣證明了(21)式成立.

由引理2～4, 有下面的定理.

定理1當n=0,1,2,…,0≤α<1并且b>0時,下面的關系成立

Γ(α+n,x;b)=An(α,b)Γ(α,x;b)+Bn(α,b)Γ(α-1,x;b)+Pn(α,b,x)xαe-x-b/x

(26)

其中B0(α,b)=0,P0(α,b,x)=0,Bn(α,b),Pn(α,b,x)(n≥1)和An(α,b)(n≥0)分別由(17)式,(21)式和(10)式給出.

證明(I)利用(3)式,有

Γ(α+1,x;b)=αΓ(α,x;b)+bΓ(α-1,x;b)+xαe-x-b/x=

A1(α,b)Γ(α,x;b)+B1(α,b)Γ(α-1,x;b)+P1(α,b,x)xαe-x-b/x

(27)

這表明對于n=0,1,(26)式成立.

(II) 假設當n≤k(k=1,2,…)時(26)式成立,對于n=k+1,利用(6)式,(7)式,(8)式和(9)式,得到

Γ(α+k+1,x;b)=xα+ke-x-b/x+(α+k)Γ(α+k,x;b)+bΓ(α+k-1,x;b) =

Ak+1(α,b)Γ(α,x;b)+Bk+1(α,b)Γ(α-1,x;b)+Pk+1(α,b,x)xαe-x-b/x

(28)

這表明當n=k+1時(26)也成立.證明(26)成立.

引理5[1]

(29)

(30)

推論1對于n=0,1,2,…,下面的關系成立

(31)

按照上面的討論,給出下面的定理,因證明過程基本相同,這里省略.

定理2當n=0,1,2,…,-1<α≤0,b>0時,下面的關系成立

Γ(α-n,x;b)=Qn(α,b)Γ(α,x;b)+Rn(α,b)Γ(α+1,x;b)-Sn(α,b,x)xαe-x-b/x

(32)

其中R0(α,b)=0,S0(α,b,x)=0,

(33)

(34)

(35)

推論2當n=0,1,2,…時,下面的關系成立

(36)

2應用

推論3當n=0,1,2,…,z>0時,下面的關系成立

(37)

(38)

(39)

由式(38),式(39)以及式(4),得到

(40)

參考文獻:

[1]Chaudhry M A, Zubair S M. Generalized incomplete gamma functions with applications[J]. Comput Appl Math, 1994, 55(1): 99-123.

[2]Chaudhry M A, Zubair S M. On the decomposition of generalized incomplete gamma functions with applications to fourier transforms[J]. Comput Appl Math, 1995, 59(3):253-284.

[3]Chaudhry M A, Temme N M, Veling E J M. Asymptotics and closed form of a generalized incomplete gamma function[J]. Comput Appl Math, 1996, 67(2): 371-379.

[4]Miller A R, Moskowitz I S. On certain generalized incomplete gamma functions[J]. Comput Appl Math, 1998, 91(2): 179-190.

[5]Boudjelkha M T, Chaudhry M A. On the approximation of a generalizedincomplete gamma function arising in heat conduction problems[J]. Math Anal Appl, 2000, 248(2): 509-519.

[6]Chaudhry M A, Zubair S M. Extended incomplete gamma functions with applications[J]. Math Anal Appl, 2002, 274(2):725-745.

[7]Veling E J M. The generalized incomplete gamma function as sum over modified bessel functions of the first kind[J]. Comput Appl Math, 2011, 235(14): 4 107-4 116.

[8]Ebaid A, Alhawiti H S. New application for the generalized incomplete gamma function in the heat transfer of nanofluids via two transformations[J]. Comput Eng, 2015(2015), Article ID 293105: 1-6.

(編輯：劉寶江)

The generalized incomplete Gamma function for half-integers and its application

LIU Guo-xing1,2, LYU Cheng-jun1, QIN Hui-zeng1

(1. School of Science, Shangdong University of Technology, Zibo 255049, China;2. Public Teaching Department, Qilu Medical University, Zibo 255213, China)

Abstract:In this paper, a study is conducted on the series expansion of the generalized incompl-ete Gamma function Γ(α,z;b), the findings of which shows that the new closed form of Γ(α,z;b),n=0,±1,±2,…is only represented by the error function. Finally, through the recurrence formula,the explicit representation of Γ(α±n,z;b),n=1,2,… is brought forth.

Key words:Gamma function; generalized incomplete Gamma function; Bessel function; modified Bessel function

中圖分類號：O174.6

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)04-0028-05

作者簡介：劉國興，男，lgx_001180@163.com; 通信作者：秦惠增，男，qinhz@sdut.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金項目(61379009)

收稿日期：2015-12-16