平面機構全變量優化設計方法研究

路遵友， 殷昌貴， 石　鈺， 李愛蓮， 黃建龍

(1.山東輕工職業學院 機電工程系， 山東 淄博 255300；

2.山東理工大學 農業工程與食品科學學院, 山東 淄博 255049；

3.蘭州理工大學 機電工程學院, 甘肅 蘭州 730050)

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平面機構全變量優化設計方法研究

路遵友1， 殷昌貴2， 石鈺1， 李愛蓮1， 黃建龍3

(1.山東輕工職業學院 機電工程系， 山東 淄博 255300；

2.山東理工大學 農業工程與食品科學學院, 山東 淄博 255049；

3.蘭州理工大學 機電工程學院, 甘肅 蘭州 730050)

摘要：以曲柄搖桿機構為例，將全部桿長作為設計變量，根據各變量在設計范圍內的不確定性，使從動件搖桿在主動件曲柄運動規律一定的前提下能準確按預定軌跡運動，以理論和實際運動軌跡之間偏差值的平方和最小為優化設計目標，建立了數學模型，并給出了兩種優化設計方法——序列二次規劃法和均勻設計法的優化過程.研究結果表明：兩種方法均能達到更加良好的優化目標，設計精度均有大幅提高，優化過程也更加簡便、可行.

關鍵詞：優化設計； 序列二次規劃法； 均勻設計法； 四桿機構

為確保運動的穩定性，平面機構設計中常要求主動件和從動件在運動軌跡上較多位置處都能最佳地逼近期望值，因此對機構進行優化設計顯得非常重要. 由于傳統和常用的優化設計方法中存在設計規范和設計參數經驗取值的不確定性，就導致了設計的多解性，致使設計方案難以更好地符合客觀實際規律. 針對這個問題，作為典型的平面四桿機構，曲柄搖桿機構的優化設計得到廣泛的研究. 以曲柄搖桿機構的理論和實際運動軌跡之間偏差的平方和最小為設計目標，劉惟信利用懲罰函數法對曲柄搖桿機構的搖桿和連桿兩個桿長作為設計變量進行了優化設計，并計算得到理論和實際運動軌跡間偏差的平方和最小為0.058 3[1]；而王富民等利用遺傳算法與懲罰函數結合的方法對連桿和搖桿兩個設計變量優化設計后得到的偏差的平方和最小數值為0.012 0[2];黃建龍等利用模糊理論進行的連桿和搖桿兩個設計變量優化后得到的偏差的平方和最小數值為0.051 1[3];龔水明和尹君馳等各自利用MATLAB軟件編程對連桿和搖桿兩個設計變量優化后得到的偏差的平方和最小數值為0.068 8和0.067 8[4-5]. 為深化機械優化設計方法，本文將曲柄搖桿機構的全部4個桿長都作為設計變量，并分別給出利用目前較先進的序列二次規劃法和從統計學領域引申出來的均勻設計法[6-7]進行優化的過程和結果分析，提出更加簡單實用的設計思路和方法，以期得到理想的結果.

1優化設計數學模型

圖1　曲柄搖桿機構簡圖

(1)

式中：θ0為曲柄的位置角；φ0為搖桿的位置角.

1.1選取優化設計變量

由文獻[1-5]知，由圖1可得如下關系式：

(2)

(3)

式中l1、 l2、 l3、l4均未知，則設計變量為

(4)

1.2確定優化設計目標函數

由設計變量的分析可知，對于本問題涉及到4個獨立參數，因此，只能最大程度上近似實現設計要求，故目標函數可根據已知的運動規律和實際運動規律之間偏差值的平方和最小為目標來建立，即

(f)x=∑(φi-φni)2

(5)

式中：φi為搖桿l3的期望輸出角， φni為實際輸出角，其中

φni=π-αi-βi

(6)

(7)

(8)

(9)

1.3建立優化設計約束條件

優化設計所要考慮的約束主要是機構的傳動性和設計變量的邊界性. 因此，各設計變量的邊界性應滿足如下約束條件：

(1)桿長約束條件：l1≥0 ，l2≥0，l3≥0，

l4≥0.

(2)曲柄存在條件

(10)

(3)對于4個桿長變量，在進行設計前應根據曲柄存在條件設定其變化范圍，不妨任意取

1≤l1≤2

2≤l2≤4

3≤l3≤5

4≤l4≤6

2序列二次規劃法的優化設計分析

序列二次規劃法是MATLAB軟件優化工具箱中的一種算法，該算法適合求解非線性約束優化問題，其原理是將原非線性約束優化問題轉化為一系列的二次規劃子問題，再構造變尺度矩陣，最后調用fmincon函數來求解出該約束優化問題的最優解.本文將四桿長均作為變量進行優化，為得到優化結果，先通過MATLAB軟件編寫名為fourbarfun.m的程序文件，內容如下：

function f=fourbarfun(x)

f=0

a0=acos(((x(1)+x(2))^2-x(3)^2+x(4)^2)/(2*x(4)*(x(1)+x(2))))

b0=acos(((x(1)+x(2))^2-x(3)^2-x(4)^2)/(2*x(4)*x(3)))

fora=a0:pi/18:(a0+1.5707)

b=b0+2*(a-a0)^2/(3*pi)

r=sqrt(x(1)^2+x(4)^2-2*x(1)*x(4)*cos(a))

m=acos((r^2+x(3)^2-x(2)^2)/(2*r*x(3)))

n=acos((r^2-x(1)^2+x(4)^2)/(2*x(4)*r))

bb=pi-m-n

i=(bb-b)^2

f=f+i

end

編寫名為fourbarcon.m的程序文件，內容如下：

function [c,ceq]= fourbarcon(x)

c=[x(2)^2+x(3)^2-1.414*x(2)*x(3)-(x(1)-x(4))^2;(x(1)+x(4))^2-x(2)^2-x(3)^2-1.414*x(2)*x(3)];

ceq=[]

編寫好上面的兩個文件并打開后，再根據約束條件及優化目標函數在MATLAB軟件的Command Window窗口輸入如下優化計算的程序語句：

x0=[2,3,4,5];

A=[11 -1 -1;1 -1 1 -1;1 -1 -1 1];

b=[0;0;0];

lb=zeros(3,1);

options=optimset('largescale','off');

[x,fval]=fmincon(@fourbarfun,x0,A,b,[],[],lb,[],@ fourbarcon,options)

運行后結果如下

x =1.53183.04264.09605.0755

fval =0.0018

結果顯示對于四變量的曲柄搖桿機構，SQP算法優化后的四桿長分別為l1=1.531 8，l2=3.042 6，l3=4.096 0，l4=5.075 5，滿足約束條件要求，此時得到的偏差值的平方和為f(x)=0.001 8.

3均勻設計法的優化設計分析

均勻設計法是當前統計學領域最先進的試驗設計方法，該設計方法適用于多因素和多水平的試驗設計條件，利用該方法能使試驗點在多維空間內均勻分散，并讓有限的數據有較強的代表性，從而大幅減少試驗次數.均勻設計法的基本設計思路是根據預定試驗的因素數和水平數，利用好格子點法構造均勻設計表，再選用“均勻設計表”，最后確立各次試驗的條件和順序并進行試驗，獲得試驗數據.

試驗次數n變量因素1x1因素2x2因素3x3因素4x4偏差值的平方和f(x)11(1.0000)3(2.4444)4(3.6667)5(4.8889)0.023522(1.1111)6(3.1111)8(4.5556)10(6.0000)0.048433(1.2222)9(3.7778)1(3.0000)4(4.6667)0.001844(1.3333)1(2.0000)5(3.8889)9(5.7778)—55(1.4444)4(2.6667)9(4.7778)3(4.4445)0.017566(1.5556)7(3.3333)2(3.2222)8(5.5556)0.079077(1.6667)10(4.0000)6(4.1111)2(4.2222)0.006288(1.7778)2(2.2222)10(5.0000)7(5.3333)0.004499(1.8889)5(2.8889)3(3.4444)1(4.0000)0.09581010(2.0000)8(3.5556)7(4.3333)6(5.1111)0.0224

通過表1中數據可以看出，當進行到第3次試驗時，即可得到試驗方案中最小的目標函數值，即在x1=1.222 2，x2=3.777 8，x3=3.000 0，x4=4.666 7時，此時偏差值的平方和f(x)=0.001 8.

試驗次數n變量因素1x1因素2x2因素3x3因素4x4偏差值的平方和f(x)11(1.0000)3(2.4444)7(4.3333)9(5.7778)0.034122(1.1111)6(3.1111)4(3.6667)8(5.5556)0.011333(1.2222)9(3.7778)1(3.0000)7(5.3333)0.001344(1.3333)2(2.2222)8(4.5556)6(5.1111)0.011855(1.4444)5(2.8889)5(3.8889)5(4.8889)0.118366(1.5556)8(3.5556)2(3.2222)4(4.6667)0.595877(1.6667)1(2.0000)9(4.7778)3(4.4445)0.158788(1.7778)4(2.6667)6(4.1111)2(4.2222)0.010099(1.8889)7(3.3333)3(3.4444)1(4.0000)0.2946

通過表2中數據可以看出，當進行到第3次試驗時，即可得到試驗方案中最小的偏差值，即在x1=1.222 2，x2=3.777 8，x3=3.000 0，x4=5.333 3時，此時偏差值的平方和為f(x)=0.001 3，得到的目標函數值更小，結果更好.

4結束語

通過序列二次規劃法對本文的數學模型進行四變量優化設計，從優化結果可以看出，該方法能使得機構理論運動軌跡和實際運動軌跡之間偏差的平方和達到0.001 8，相對于文獻[1-5]中對于兩參數的設計優化最小結果0.012 0，設計精度提高了85%，效果明顯.

均勻設計法能將設計變量的試驗數據在設計范圍內高度均勻分散，并能大幅度減少試驗次數.從優化結果上可以看出，采用均勻設計法來優化產生設計變量的初始群體的數值，通過試驗的方法將數值帶入目標函數進行計算能達到優化設計變量的目的，本文對于同一個數學模型，僅僅通過有限的試驗次數就能使得機構已知運動軌跡和實際運動軌跡之間偏差的平方和達到0.001 8，甚至達到0.001 3的設計精度，不但比遺傳算法和懲罰函數法結合的方法設計精度提高了89.2%，還比本文應用的序列二次規劃法的優化設計精度提高了27.8%，更加充分體現了均勻設計法的優越性.

參考文獻:

[1] 劉惟信.機械最優化設計[M]. 北京：清華大學出版社，1994.

[2] 王富民,張揚,田社平.遺傳算法與懲罰函數法在機械優化設計中的應用[J]. 中國計量學院學報， 2004(4)：290-293.

[3] 黃建龍,路遵友. 基于模糊集理論的四桿機構優化設計[J]. 蘭州理工大學學報，2007，33(1)：37-39.

[4] 龔水明,詹小剛.基于MATLAB優化工具箱的機械優化設計[J]. 機械工程師，2008(10)：92-94.

[5] 尹君馳,黃勇.MATLAB在機械優化設計中的應用[J]. 科技創新與應用，2012(17)：65-66.

[6] 方開泰.均勻設計與均勻設計表[M]. 北京：科學出版社，1994.

[7] 方開泰.均勻設計及其應用[J]. 數理統計與管理，1994(1)：57-63.

[8] 鄭文緯，吳克堅.機械原理[M]. 北京：高等教育出版社，2002.

[9] 陳水利，李敬功.模糊集理論及其應用[M]. 北京：科學出版社，2005.

[10] 邱宣懷. 機械設計[M]. 北京：高等教育出版社，1997.

(編輯：郝秀清)

All design variables optimization of the plane mechanism

LU Zun-you1, YIN Chang-gui2, SHI Yu1, LI Ai-lian1, HUANG Jian-long3

(1. Department of Mechanical and Electrical Engineering, Shandong Vocational College of Light Industry, Zibo 255300, China;2. School of Agricultural Engineering and Food Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China;3. College of Mechano-Electronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Abstract:Taking crank and rocker mechanism as an example and according to the uncertainty of design variables of the mechanism to be designed, all the rod length were used as the design variables with uncertainty in their each range, the driven rocker was made move exactly in accordance to a definite pattern specified by the motion pattern of driving crank. Taking the minimized sum of squares of deviation between theoretical and actual motion patterns as designing objective, a mathematical model was set up, and sequential quadratic programming method and uniform design method were used to design and optimize the model. Compared with other optimization methods, the results showed that sequential quadratic programming method and uniform design method used in this paper were simple and feasible to get better optimization objective and greatly improve the precision of design.

Key words:optimization design; sequential quadratic programming method; uniform design; four-bar linkage

中圖分類號：TH122

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)04-0075-04

作者簡介：路遵友，男，sdlivclzy@126.com

收稿日期：2015-04-27