“充要條件”在數學求解中的錯例分析

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“充要條件”在數學求解中的錯例分析

山東省泰安寧陽一中(271400)林令強

數學題目中的求解(證)結果是題目條件的必要不充分條件或者是充要條件.當題目中的求解(證)結果是題目給出的條件的必要不充分條件時，題目求解(證)結果只是由題目條件推出的多個結果之一，并未完整地表達出題目條件所具有的性質.當題目中的求解(證)結果是題目給出的條件的充要條件時，結果則完整地表達了題目條件所具有的性質.若我們求解(證)的題目結果是條件的充要條件，在求解時，要么保證解題過程等價，要么先求出題目條件的必要條件，然后進行驗證，以保證結果與條件等價.筆者結合教學經驗，談幾例學生因對題目的求解(證)結果與題目條件關系不明確而引發的錯誤，以饗讀者.

錯因：f(0)=0是f(x)是奇函數的必要不充分條件，故得出的結果不能保證f(x)是奇函數.

正解：解法一(解題過程等價)

解法二(先求條件的必要條件，再驗證)

例2定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)+f(x)=0，且函數y=f(x-1)是奇函數，則函數f(x)的圖像可能是().

錯解：由f(x+2)+f(x)=0，可類比得f(x+4)+f(x+2)=0，所以f(x+4)=f(x)，T=4.因為y=f(x-1)是奇函數，即y=f(x-1)的圖像關于點(0,0)成中心對稱，所以y=f(x)的圖像關于點(-1,0)成中心對稱.故選D.

錯因：f(x+2)+f(x)=0能推出T=4，但T=4推不出f(x+2)+f(x)=0，即T=4是f(x+2)+f(x)=0的必要不充分條件，所以由T=4推出的函數圖像并不能完整的表達f(x+2)+f(x)=0所具有的性質.

正解：解法一(解題過程等價)

函數y=f(x-1)是奇函數，所以f(-x-1)=-f(x-1)，由f(x+2)=-f(x)得-f(x-1)=f(x+1)，所以f(-x-1)=f(x+1)，所以f(-x)=f(x)，于是得函數f(x)為偶函數，又由f(x+2)+f(x)=0可類比得f(x+4)+f(x+2)=0，所以f(x+4)=f(x)，T=4，故選A.

解法二(圖像變換)

f(x+2)+f(x)=0，當x∈(-2,0)時，x+2∈(0,2)，因為滿足f(x+2)=-f(x)，顯然只有A滿足條件，故選A.

(1)當a=1時，證明：函數y=f(x)在(0,+∞)上是增函數；

(2)若y=f(x)在(0,+∞)上是增函數，求正數a的取值范圍.

錯因：很顯然“a≥1是y=f(x)在(0,+∞)上是增函數的必要條件”，解法并沒有說明a≥1能使函數y=f(x)在(0,+∞)上是增函數.