關于培養學生數學反思能力的思考

孟祥忠

摘 要：反思學習是提高學生素養的重要通道，也是教師提升專業水平的關鍵環節。作者就反思在現實教學中的重要性，提出了自己的觀點。教師要善于激發學生在課堂中積極參與反思，強化學生在解題訓練中的反思，組織學生不斷進行階段性反思。

關鍵詞：反思學習；數學；學生素養

一、問題的提出

反思對教師的專業成長起著至關重要的作用。有的教師雖從教多年，但在專業素養上卻提高甚微，缺少的就是“教學反思”這個環節。同樣，在學生的學習活動中，進行科學而深刻的反思也尤為重要。筆者在近幾年的教學中，做了一些關于培養學生反思意識和反思能力的嘗試，深感反思在學生數學學習過程中的必要性和深遠意義。本文結合數學新課程的教學，淺談在新課程背景下，對培養學生數學反思能力的思考。

新《數學課程標準》賦予了數學課程“使每個學生獲得必需的、與個性發展相適應的數學，從而獲得數學素養的提高”的重大育人功能。數學素養的提高，能使學生形成“數學頭腦”，從而在面對錯綜復雜的問題時，能夠“數學地思考”，因而對學生的終身發展意義深遠。數學課程強大的育人功能，要求每一個學生在教師的指導下，積極主動、充滿自信、富有樂趣地學好數學，從而“讓不同的學生各獲最佳發展”。

然而，在現實教學中，數學卻被相當部分學生視為“很難、無味、無奈”的學科。不少學生經常訴苦：

“上了一節數學課，聽了不少，也練了不少。下課了大腦中留下來的卻太少。”

“老師上課講的例題我能聽懂，但課后的作業我卻不會做。”

“平時實在做了不少習題，但考試時面對‘新題，卻還是找不著北。”

“數學概念、公式、定理太多且難記，很容易混淆、弄錯。”

“作業、考試中的錯題，我更正了。但下次考試時，我又犯了同樣類型的錯誤。”

……

種種跡象表明，相當部分學生學習數學的效率低下，學習活動僅僅局限于記憶、模仿和積累，而缺乏對知識點的自主探究、對知識網絡的主動構建以及對數學的歸納提煉。在緊張而忙碌的數學學習中，由于缺少了培養數學思維能力、提高數學素養的重要環節——數學反思，從而使數學學習僅僅停留在“是什么”的層面上，而忽略了“為什么”“還有什么”“怎么辦”等拓展思維、提高解題能力的維度。

在此，就何謂數學反思、數學反思的必要性以及如何培養學生的數學反思能力等問題，淺談自己的感悟。

二、反思的實質及其必要性

反思，即回顧與思考。古代思想家荀子曾言：“君子博學而日參省乎己，則知明而行無過矣。”可見，反思對于修身治道，其意深矣。

數學思維能力是數學素養的核心。人們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發現直至反思與建構等思維過程。這些過程是數學思維能力的具體表現，同時又有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式做出思考和判斷，在形成理性思維能力中發揮著獨特的作用。

數學反思是這些過程中的一個重要環節。它不僅僅是對所學知識做一般性的回顧或溫習，更是深究知識的形成過程，深究各知識點之間的有機聯系以及知識網絡的構建，深究在數學學習活動中所運用的數學思想、方法和技能，并將其進行抽象、歸納，獲得數學經驗，揭示數學規律，構建數學模型，從而在此基礎上實現“再創造”或創新。

數學學習過程與方法唯有在不斷反思中趨于完善。不斷反思自己的數學學習過程，就能不斷改進學習方法；不斷經歷交流、反思等學習過程，就能逐步深刻感悟到數學思想方法之精美，逐步把握數學探究活動的規律、技能和技巧，從而不斷提高數學思維能力，提高數學素養。

三、如何培養學生的反思能力

1.激發學生在課堂中積極參與反思

“問題是數學的心臟”，在課堂教學中，教師要精心設計問題情境，提出對學生具有挑戰性和吸引力的問題，激發學生的問題意識，激發學生的發散性反思、批判性反思以及構建性反思。

例如，在“多邊形的內角和”教學中，教材以四邊形ABCD為例，用一條對角線AC將其分為兩個三角形，可得四邊形內角和為360°；教師則可設計用兩條對角線AC、BD將四邊形分割成四個共點O的三角形，四邊形內角和等于四個三角形內角和減去一個周角的度數，即360°。

在這一過程之后，學生對結論已基本明了，但他們或多或少地有一些想法或困惑。此時教師可適時逐步引導，鼓勵學生參與反思和感悟：

（1）點O是AC、BD的交點。點O有自由嗎？如果讓點O在AC上動起來，結論還成立嗎？

（2）點O不在線段AC上可以嗎？在四邊形內任意位置可以嗎？

（3）點O在四邊形ABCD邊上可以嗎？

（4）點O在四邊形外部可以嗎？

（5）這些方法有什么共同特點？

通過對以上問題的反思與感悟，學生們加深了對“分割轉化”方法的認識，充分認識了各種探究方法的實質性聯系，經歷了知識的“生長”過程。在此“水到渠成”的基礎上，再由學生自己選擇自己所喜歡的方法合作探究五邊形、六邊形的內角和，則學生們往往會表現得自信積極，課堂將會呈現出和諧的師生互動、生生互動與合作交流的局面。經過這樣的反思與感悟環節，學生們對這一知識點的掌握必將深刻，同時，也感悟了化歸、類比等數學思維方法，其數學素養自然得到了發展。

再如，在學習“共線向量”時，不妨插入這樣一個片段：先引入平行線的性質：“a∥b，b∥ca∥c”，然后很自然地板書，教師稍作停頓，靜觀學生反應。此時則給學生一個反思的時機。當學生恍然大悟地指出此式的錯誤時，“批判性反思”已經起到了平鋪直敘難以達到的效果。

在課堂小結這個環節，教師其實也可以引導學生從知識、技能到數學思想方法等方面進行小結反思。通過設置諸如“這節課你學到了些什么？”“你覺得哪個環節最難？”“最難忘的環節？”“你感悟到了何種數學思想方法？”等問題，引導學生對本節課內容主動進行反思感悟，促進學生的思維參與，從而加深理解的深刻性，培養他們概括提煉和知識建構的能力。

實際上，只要教師精心設計，課堂中的反思無處不在。通過有效的課堂反思，可以激發學生的興趣和熱情，促進學生的思維參與，加強學生的智慧碰撞。日積月累，持之以恒，學生的數學素養將得到實質性的提高。

2.強化學生在解題訓練中的反思

題海茫茫，僅靠多做題來記憶、模仿駕馭題海顯然是不現實的。為了避免學生面對新題找不到北，解題后的反思至關重要。在教學中，教師應指導學生盡早養成解題后認真反思的習慣。每做完一個比較新鮮的數學題后，應該試著從以下幾方面加強反思：①題中的條件信息是以何種形式呈現的？還可以用那些形式呈現？②這個數學題考查了那些知識點？③這個知識點可以用來解決那些問題？④用到了何種數學思想方法？⑤是否還有其他解法或更佳解法？⑥能否把此題作一般性推廣和引申，從而構建數學模型？⑦改變原題的結構或適當改變題給條件，解題又如何變化？⑧我是如何根據題給“信息”聯想“知識點”，從而找到解題思路的？⑨解題過程中出現錯誤的原因在哪里？該吸取怎樣的教訓？今后應該注意什么？

例如，在《高二數學選修（2～3）基礎訓練》中，有這樣一道題：

4名師范學生在畢業后分配至3個學校。每個學校至少分配1人，有多少種分配方案？

我讓學生在課后結合此題思考如下幾個問題：①你能想出幾種辦法？分別體現了何種數學思想方法？②再做一題：設A={1、2、3、4}，B={5、6、7}，B中的元素在A中都有原象，則可建立多少個A→B的映射？③比較前兩題，能否構建一個“問題模式”？④請再編一“同模”習題。在習題課上，大家踴躍回答，設計了很多好題，并逐步歸納出“4個不同的球入3個不同的盒子不空”這一問題模型，并進一步推廣為“m個球入n個不同盒子不空”問題模型。我因勢利導，再提出“m個相同的球入n個相同盒子不空”模型的解法。學生們經過思考討論后，弄清了這兩個模型的區別，從而掌握了“兩串”數學題。當學生們后來見到某省高考題中一道“四個部門任選三個風景區中的一個去旅游（各部門選擇每個景區是等可能的），求三個景區都有部門選擇的概率”一題時，大家馬上能將其得心應手地抽象為“四個不同的球入三個不同盒子不空”問題模型而求解。

再如，在一習題中有一條件為“函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點”。在解完此題后，不如設問請學生反思：這一條件還可以用哪些形式給出？答案很多：①方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根；②若f（x）=ax2 +bx+c，存在實數m，使得af（m）<0；③已知g（x）=a（x-m）2+n，an<0 ；④已知 g（x）=a（x-m）（x-n），（m≠n）……

通過對此問題的思考，拓展了學生的解題思路，實現了“一題多變，一題多用”，培養了他們的思維發散性和深刻性，促進了知識向能力的轉化，從而提高了解題的應變能力。

3.組織學生不斷進行階段性反思

“學而時習之”“溫故而知新”，單元復習或階段回顧非常重要。在這一過程中，尤其需要組織和指導學生進行深刻的數學反思以構建知識網絡，提高解題能力，并改進學習方法。

在平時的學習中，學習往往是知識點的積累和解題經驗的堆積。如何將這些知識點按照科學的線索有機融合為知識模塊并進一步構建清晰的知識網絡，如何將解題經驗上升為“居高臨下，游刃有余”的通法、解題策略或對近段的學習加以整合感悟，以優化適應自己的學習方法？在平時的單元復習或期末復習中，我指導學生做了如下嘗試：

（1）創作“知識點方框結構圖”。讓學生事先熟讀單元知識點后關上書本，按照知識點之間的縱向及橫向聯系，閉卷創作一幅“單元知識方框結構圖”。在結構圖右側，按知識點序號列出相應的重要公式或定理。一學期下來，將各單元知識點結構圖裝訂成冊。

（2）撰寫“單元學習小結”。結合具體的數學問題，將近段時間以來在數學學習中的得意與困惑、解題方法的感悟與思考、學習進步或退步的原因剖析，以及對學習數學的興趣與信心、對老師的教學建議等，寫成一篇簡潔的短文，以作業的形式上交。教師做書面評析指導后再發還給學生保存。

（3）充實“錯題本”。要求學生將一段時間以來在作業、練習、考試中出現的錯題錄入“錯題本”。簡要地表述錯處、錯因以及錄入“錯題本”時的思考，并將“錯處、錯因”用紅筆做出醒目記號。

以上幾種單元復習的形式，實質上是給學生具體的反思渠道。通過“階段性”反思，學生的思維從感性上升到理性，知識印象由知識點集結成知識網絡。同時，對學生的學習態度與情感、學習方法與效率以及教師的教學反饋與調節，都將產生積極有效的促進作用。

生活中有這樣一道選擇題值得我們思考——你最難忘的人是：A.你聽說的人；B.你有時見到的人；C.你天天見到的人；D.你在心中回憶思念著的人。答案不言而喻。要解決學生“難學”的問題，實現學生學習的興趣和信心由“負螺旋”到“正螺旋”的轉變，培養學生的反思意識和能力至關重要。反思是提高學生數學知識與能力素養的重要通道。“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”，但愿古人治學的最高境界在今天的新課程教學中呈現精彩。

（作者單位：湖南省株洲市第三中學）