一類時(shí)滯能源價(jià)格模型解的振動性

薛婷婷,　樊小琳,　李　堅(jiān),　常治國

(1. 新疆工程學(xué)院 基礎(chǔ)部, 新疆 烏魯木齊 830091;　2. 新疆工程學(xué)院 采礦工程系, 新疆 烏魯木齊 830091)

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一類時(shí)滯能源價(jià)格模型解的振動性

薛婷婷1,樊小琳1,李堅(jiān)1,常治國2

(1. 新疆工程學(xué)院 基礎(chǔ)部, 新疆 烏魯木齊 830091;2. 新疆工程學(xué)院 采礦工程系, 新疆 烏魯木齊 830091)

摘要：運(yùn)用2種方法研究一類時(shí)滯能源價(jià)格方程在平衡點(diǎn)處的振動性,運(yùn)用反證法,利用時(shí)滯微分不等式與解的關(guān)系等方法,建立能源價(jià)格方程解的振動準(zhǔn)則,通過判定特征方程有無實(shí)根,得出方程解振動的2個充分條件.

關(guān)鍵詞：時(shí)滯能源價(jià)格方程; 振動性; 反證法; 特征方程

在微分方程的定性理論研究中,振動性理論作為其中一個重要的研究方向,具有廣泛的應(yīng)用背景[1-4].近年來,國內(nèi)外眾多學(xué)者應(yīng)用時(shí)滯微分方程動力學(xué)理論[5-7],對能源價(jià)格模型做出了大量的研究,并取得了不少的成果[8-10].本文將在前人研究的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究一類二階時(shí)滯能源價(jià)格微分方程[11-12]

(1)

解的振動性問題,其中β是常數(shù),μ、a、b、τ、d0、g0都是正常數(shù).

1預(yù)備知識

定義 1.1方程(1)的非零解p(t)是振動的,如果存在序列{tk},滿足tk→∞(k→∞),使得

否則稱p(t)是非振動的.

定義 1.2若方程(1)的所有非零解都是振動的,則稱方程(1)是振動的.

定義 1.3設(shè)x(t,σ,φ)是方程x′(t)=f(t,xt)過(σ,φ)的一個解.若存在τ(σ,φ)≥σ,使得當(dāng)t≥τ(σ,φ)時(shí),x(t,σ,φ)>0(或x(t,σ,φ)<0),則稱x(t,σ,φ)為一最終正解(或最終負(fù)解).

注 1從這個定義可知,我們所說的振動解即不是最終正解,也不是最終負(fù)解.

2主要結(jié)果及證明

(2)

(3)

系統(tǒng)(3)等價(jià)于二階時(shí)滯微分方程

(4)

于是將證明方程(1)所有解振動轉(zhuǎn)化為證明方程(4)所有解振動.下面,介紹2種方法來證明方程(4)所有解振動.

方法1.先消去方程(4)中的一階導(dǎo)項(xiàng),再用反證法[13],其中消去方程(4)中的一階導(dǎo)項(xiàng),有2種方法.

代入(4)式后,化簡可得

(5)

即把證明方程(4)的所有解振動,轉(zhuǎn)化為證明方程(5)的所有解振動.

2) 利用積分因子法把(4)式化成類似(5)式的形式.令

(6)

可見κ是t的一次連續(xù)可微函數(shù).用(6)式乘(4)式的兩端,即可得

(7)

(8)

則有

于是,(7)式簡化為

即

其中,κ2(t)可借(8)式化為ξ的函數(shù),即(4)式變換后的方程中一階導(dǎo)項(xiàng)的系數(shù)為0.

證明因?yàn)榉匠?5)是方程(1)線性代換后的方程,兩者振動性態(tài)一致,所以把證明方程(1)的所有有界解振動的問題轉(zhuǎn)化為證方程(5)的所有有界解振動的問題.若結(jié)論不真,則方程(5)存在一個有界解z(t),使得對充分大的t0,有z(t)>0,t≥t0.令t1=t0+τ,則當(dāng)t≥t1時(shí),有z(t-τ)>0.

因此z′(t)單調(diào)遞減.下面證明z′(t)>0.

若t2≥t1,使z′(t2)<0,則當(dāng)t>t2時(shí),存在ηt∈(t2,t),使得

因?yàn)樯厦嬉炎C出z′(t)單調(diào)遞減,所以z′(ηt)≤z′(t2)<0,故

這與z(t)>0矛盾,故當(dāng)t≥t1時(shí),z(t)>0,z′(t)>0,z″(t)<0.

根據(jù)z(t)是一個有界解,令

(9)

則當(dāng)t充分大時(shí),ω(t)為正,對(9)式兩邊求導(dǎo)可得

顯然ω′(t)<0,因此ω(t)單調(diào)遞減.從而

即

(10)

故由不等式(10)可知

將上式分離變量并從g(t)到t積分有

(11)

又因?yàn)閑x≥ex,對任意的x≥0成立,從而

重復(fù)上述做法,則存在序列{tk},滿足

(12)

再將(10)式從g(t)到t*積分,于是

這意味著

(13)

類似地有

因此

(14)

合并(13)和(14)式,可以得到

(15)

由(12)和(15)式有

(16)

方法2.方程(4)所有解是振動的充要條件是它的特征方程無實(shí)根[14].令方程(4)的解eλt,代入可以得到(4)式的特征方程為

(17)

定理 2.2時(shí)滯微分方程(1)的所有解具有振動性的充要條件是滿足下列條件之一:

為證明該定理,先給出幾個引理[15].

引理 2.1 微分方程(4)所有解是振動的充要條件是它的特征方程(17)無實(shí)根.

(18)

其中

(19)

(20)

則有

(21)

(22)

令F′(λ)=0,則記

(23)

下面討論函數(shù)(23)式的性質(zhì).

為方便觀察,作圖1.

(24)

為函數(shù)F(λ)唯一的駐點(diǎn),即λ0為函數(shù)F(λ)唯一的極小點(diǎn),將(24)式代入方程(17)的右端函數(shù),可得

將μa用(21)式代入,可得

由此及引理2.2,即可得特征方程(17)無實(shí)根的充要條件是

(25)

配方為

(26)

(27)

時(shí),(25)式可化為

等價(jià)為

(28)

(29)

綜合(27)和(29)式知,當(dāng)

(30)

(31)

在條件(31)式下,(28)式等價(jià)于

即

由上文可知,lm+E>0,單調(diào)遞增,再由(20)式知,上式等價(jià)于

簡化為

(32)

合并(31)與(32)式,當(dāng)

時(shí),(25)式成立.

綜合上述兩方面,即得特征方程(17)無實(shí)根的充要條件是滿足下列條件之一:

再根據(jù)引理2.1,即得微分方程(4)所有解振動的充要條件是滿足上述條件之一,又因?yàn)槲⒎址匠?4)是方程(1)線性代換而來,不影響其振動.所以滿足上述條件之一,就可證出方程(1)所有解振動,定理2.2得證,故能源價(jià)格方程(1)是圍繞平衡點(diǎn)作振動的,即價(jià)格是圍繞均衡價(jià)格作振蕩運(yùn)動的,在正常的經(jīng)濟(jì)環(huán)境和市場自身的調(diào)節(jié)下,能源價(jià)格會隨著時(shí)間的推移,圍繞均衡價(jià)格作振蕩運(yùn)動,價(jià)格暫時(shí)性的上升或下降屬于正常現(xiàn)象,最終將趨向于均衡價(jià)格.

致謝新疆工程學(xué)院校內(nèi)科研基金(2013XGY231512)對本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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2010 MSC：34C10

(編輯鄭月蓉)

Oscillation of Solutions for Time-Delay Energy Price Model

XUE Tingting1, FAN Xiaolin1,LI Jian1,CHANG Zhiguo2

(1.DepartmentofBasisTeaching,XinjiangInstituteofEngineering,Urumqi830091,Xinjiang;2.DepartmentofMining,XinjiangInstituteofEngineering,Urumqi830091,Xinjiang)

Abstract：The oscillation of time-delay energy price equation at equilibrium point is researched by two methods. One is proofed by contradiction which uses the measures of time-delay differential relationship between inequality and solutions, and establishes the equations guidelines of energy prices. The other one is to determine whether there exist real roots of the characteristic equation to derive equations with two sufficient conditions.

Key words：time-delay differential equations; oscillation; contradiction; characteristic equation

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.011

中圖分類號：O175.24

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0065-06

作者簡介：薛婷婷(1987—),女,講師,主要從事微分方程動力學(xué)理論的研究,E-mail:15276831953@163.com

基金項(xiàng)目：新疆自治區(qū)高校科研計(jì)劃基金(XJUEDU2013S44)

收稿日期:2014-10-02