兩邊空間分數階對流-擴散方程的一種加權顯式有限差分方法

馬亮亮,　劉冬兵

(攀枝花學院 數學與計算機學院, 四川 攀枝花 617000)

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兩邊空間分數階對流-擴散方程的一種加權顯式有限差分方法

馬亮亮,劉冬兵

(攀枝花學院 數學與計算機學院, 四川 攀枝花 617000)

摘要：考慮兩邊空間分數階對流-擴散方程的初邊值問題,基于Grünwald公式和移位Grünwald-Letnikov公式,提出一種加權顯式有限差分解法.利用傅里葉變換和特征值法,得到差分格式的穩定性.然后使用最大模估計法證明在相同的條件下,所提出的差分格式是收斂的.最后通過數值例子說明所提出的差分格式是可靠和有效的,并對方程的數值解與精確解進行比較,驗證了文中的理論結果.

關鍵詞：分數階對流-擴散方程; 空間分數階導數; 加權差分格式; 收斂性; 穩定性; 有限差分法

1預備知識

分數階微分方程中含有非整數階的導數,能夠有效地描述各種各樣物質的記憶和遺傳性質,在工程、物理、金融、水文、地理、材料等領域發揮了愈來愈重要的作用[1-14].遺憾的是,大多數分數階微分方程的解析解都含有復雜的級數或者特殊函數,不利于進行近似計算,于是對分數階微分方程進行數值求解變得尤為重要.目前,許多學者致力于其中一類分數階微分方程的-(時間、空間、空間-時間)分數階對流-擴散方程的研究[15-23].

本文主要研究下列兩邊空間分數階對流-擴散方程的數值解法

(1)

(2)

其中,0≤n-1<α

兩邊空間分數階對流-擴散方程(1)是一種反常擴散方程,在地下水溶質運移方面,該方程可用來描述含水層中溶質運移過程中的反常擴散現象[24].關于這類問題的數值解法,前人已做了一些研究.蘇麗娟等[24]給出了雙邊空間分數階對流-擴散方程的一種隱式有限差分解法.M. Meerschaert等[25-26]分別對單邊和雙邊對流-擴散方程利用改進型Grünwald-Letnikov差分方法進行了求解,但結果表明用Grünwald得到的顯式差分格式是不穩定的,因此數值解不會收斂于方程的精確解.夏源等[27]對單邊的時間和空間分數階對流-彌散方程給出了類似的算法.F. Liu等[28]用此類算法對空間分數階福克-普朗克方程進行了離散計算.馬維元等[29]對空間-時間分數階擴散方程的初邊值問題提出了一種加權平均差分格式.張紅玉等[30]給出了一類空間分數階對流-擴散方程的加權平均有限差分解法.本文在標準Grünwald公式的基礎上,利用移位Grünwald-Letnikov公式,構造出一種新的加權顯式有限差分格式,并對其穩定性和收斂性進行理論分析,最后通過數值例子驗證了該差分格式的有效性和可靠性.

2加權顯式有限差分法

(5)

(6)

(7)

(9)

(10)

(9)～(10)式在時間和空間上都只有一階精度,為了提高空間上的精度,對Grünwald公式和移位Grünwald-Letnikov公式進行加權處理得

于是得到下面的加權顯式有限差分格式

(11)

其中,i=1,2,…,M-1,n=0,1,…,N-1;ε是權參數,且0<ε<1.

(12)

(13)

3穩定性和收斂性分析

定義 1對于任意的u∈R,(iu)α=sign(u)|u|αe(iπα)/2.

借助于定義1和2,對(14)和(15)式做傅里葉變換得

或

因此對任意的x∈R,|φ(x,h)|≤C3h2.

為半徑的圓盤上,因此要使顯式有限差分格(11)式穩定,需|λ-Ai,i|

現要使顯式有限差分格(11)式穩定,只需證明Ai,i-ri≥-1即可.而要使

由泰勒展開式定理和定理1得

令R=O(τ+h2)(1,1,…,1)T,結合(2)、(3)和(13)式,(16)式可寫成矩陣形式

所以

進而

4數值實例

考慮如下兩邊空間分數階對流-擴散方程

表1給出了當t=0.5時不同時間和不同空間步長下數值解與精確解之間的最大模誤差及其誤差比率,其中誤差比率是由前一行的最大模誤差與該行的最大模誤差相比而得到.

表 1　t=0.5時的最大模誤差和收斂階

表 2　t=0.5時方程數值解與精確解的比較

5結語

本文考慮了兩邊空間分數階對流-擴散方程的數值逼近問題,首先采用Grünwald公式和移位Grünwald-Letnikov公式近似空間分數階導數,得到一種加權顯式有限差分解法;然后利用傅里葉變換和特征值法給出差分格式的穩定性分析,借助于最大模估計方法驗證差分格式的收斂性,最后通過數值實例驗證了文中方法的精確性、可靠性和實用性.

致謝攀枝花學院校級培育項目(2012PY08)、攀枝花學院校級科研項目(2013YB05和2012YB21)、攀枝花學院院級科研創新項目(Y2013-04)和攀枝花學院教育教學研究與改革青年項目(JJ1376)對本文給予了資助,謹致謝意.

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2010 MSC：35R11; 39A99

(編輯鄭月蓉)

A Weighted Explicit Finite Difference Method for Two-Sided Space Fractional Advection Diffusion Equation

MA Liangliang,LIU Dongbing

(CollegeofMathematicsandComputer,PanzhihuaUniversity,Panzhihua617000,Sichuan)

Abstract：Based on Grünwald formula and the shifted Grünwald-Letnikov formula, a weighted explicit finite difference method is proposed to solve initial boundary value problems of two-sided space fractional advection diffusion equation. Their stability is analyzed by means of Fourier transform and eigenvalue analysis. Using the technique of maximum norm analysis, it is proved that the scheme convergent under the same condition. Illustrative example is included to demonstrate the validity and applicability of the scheme, and a comparison between the exact analytical and the numerical prediction is made to demonstrate the theoretical results.

Key words：fractional advection diffusion equation; space fractional derivative; weighted difference scheme; convergence; stability; finite difference method

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.013

中圖分類號：O241.82

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0076-07

作者簡介：馬亮亮(1986—),男,講師,主要從事模型優化和微分方程的研究,E-mail:mllpzh@126.com

基金項目：國家自然科學基金(10671132和60673192)、四川省科技廳項目(2013JY0125)和攀枝花市市級應用技術研究與開發資金項目

收稿日期:2014-05-14

(2014CY-G-22)