次數(shù)分別為81和82的對稱群的OD-刻畫

余大鵬,　晏燕雄,　李金寶,　張良才

(　　　1. 重慶文理學院 數(shù)學與財經(jīng)學院, 重慶 402160;　2. 西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 重慶 400715;

3. 重慶大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 重慶 401331)

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次數(shù)分別為81和82的對稱群的OD-刻畫

余大鵬1,晏燕雄2,李金寶1,張良才3

(1. 重慶文理學院 數(shù)學與財經(jīng)學院, 重慶 402160;2. 西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 重慶 400715;

3. 重慶大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 重慶 401331)

摘要：利用群的階和群的素圖度數(shù)序列分別刻畫次數(shù)為81和82的對稱群,證明對稱群S(81)和S(82)均可3-重OD-刻畫的.值得指出的是,該結(jié)論對文獻(Y. X. Yan, G. Y. Chen, L. C. Zhang, et al. Chinese Annals Math.,2013,34:777-790.)中提出的公開問題給予肯定的回答.

關(guān)鍵詞：素圖; 單群; 頂點的次數(shù); 素圖度數(shù)序列; 對稱群

1預備知識及主要結(jié)果

設G是有限群,用πe(G)表示群G中元素所有階的集合;用π(G)表示群G的階的全體互異素因子之集;與群G有關(guān)的Gruenberg-Kegel圖記為Γ(G),其中,Γ(G)的頂點集為π(G),Γ(G)中兩不同頂點r、s相連當且僅當rs∈πe(G),并記為r～s[1-2];用π(n)表正整數(shù)n中所有互異素因子的集合;用Soc(G)表示群G的基柱,它由群G的所有極小正規(guī)子群組成;用Sylp(G)表示群G的所有Sylowp-子群的集合,其中,p∈π(G);用Pr表示群G的Sylowr-子群,其中,r∈π(G);用An和Sn分別表示次數(shù)為n的交錯群和對稱群.其它未說明的符號見文獻[3].

定義 1.2[4]群M稱為可k-重OD-刻畫,如果恰好存在k個不同構(gòu)的群G使得|G|=|M|且D(G)=D(M).特別地,稱可1-重OD-刻畫群為可OD-刻畫的.

文獻[1,4-14]等中證明了許多(幾乎)單群都是可n-重OD-刻畫的,其中n≥1.

命題 1.1設p為素數(shù),如果G同構(gòu)于下述群之一,則群G是可OD-刻畫的.

1) 除Aut(J2)和Aut(McL)之外的散在單群的自同構(gòu)群;

2) 對稱群Sp、Sp+1及交錯群Ap、Ap+1、Ap+2;

3) 除A10以外的所有K4-單群;

4) 李型單群L2(r)、U3(r)、L3(r)、2B2(r)及2G2(r),其中r為某素數(shù)的方冪;

5) 所有C2,2-群;

6) 交錯群Ap+3,這里7≠p∈π(100!);

7) 除Aut(A6)和Aut(U4(2))外的K3-單群的自同構(gòu)群.

命題 1.2設p為素數(shù),如果G同構(gòu)于下述群之一,則群G是可3-重OD-刻畫的.

1) 對稱群Sn,其中,n≠p,p+1且10

2) 對稱群Sp+3,其中,101

命題 1.3有限群G滿足|G|=|S10|且D(G)=D(S10),則G是可8-重OD-刻畫的.

由上所述,對稱群Sp和Sp+1是可OD-刻畫的;當n≠p,p+1且10

公開問題[1]除S10外,是否所有對稱群Sn(n≠p,p+1)都是可3-重OD-刻畫的？

對于素數(shù)p,由于Sp和Sp+1是可OD-刻畫的,現(xiàn)不考慮這些系列的可OD-刻畫的對稱群,則剩下對稱群群列如下:

容易看到對稱群列(*)中的每個群的素圖都是連通的.對稱群S10為8-重OD-刻畫群(見命題1.3),而S10是第一個被證明不是可OD-刻畫的對稱群.命題1.2的研究表明了許多對稱群也不是OD-刻畫的.因此究竟有多少對稱群不是可OD-刻畫的,還沒有人能給出正面的回答.本文將繼續(xù)這一問題的研究,并就對稱群S81和S82對文獻[1]中的猜想作出肯定的回答,主要結(jié)果如下.

定理 1.1設有限群G滿足|G|=|S81|且D(G)=D(S81),則G同構(gòu)于下列群之一:S81,Z2·A81或Z2×A81,即S81是可3-重OD-刻畫的.

定理 1.2設有限群G滿足|G|=|S82|且D(G)=D(S82),則G同構(gòu)于下列群之一:S82,Z2·A82或Z2×A82,即S82是可3-重OD-刻畫的.

2主要引理

引理 2.2[3,16]令F79為最大素因子不超過79的有限非交換單群全體所成之集.若S∈F79,則S同構(gòu)于表1所述的群之一.特別地,若|π(Out(S))|≠1,則π(Out(S))?{2,3,5}.

引理 2.3[17]設S=S1×S2×…×Sk,其中,Si(i=1,2,…,k)是ni個同構(gòu)非交換的單群Hi的直積且如果i≠j,有HiHj,則有

Aut(S)=Aut(S1)×Aut(S2)×…×Aut(Sk)

且Aut(Si)=Aut(Hi)Sni,其中,Sni是ni次對稱群.進一步

Out(S)=Out(S1)×Out(S2)×…×Out(Sk)

且Out(Si)=Out(Hi)Sni.

3定理的證明

下面分別證明定理1.1和1.2.

定理1.1的證明設有限群G同時滿足:

1) |G|=|S81|=278·340·519·712·117·136·174·194·233·292·312·372·41·43·47·53·59·61·67·71·73·79和D(G)=D(S81)=(21,20,20,20,18,18,17,17,15,14,14,13,12,12,11,9,8,8,6,4,4,1).由假設和引理2.1知有{p}∪{pq|p+q≤81}?πe(G)和{pq|p+q>81}∩πe(G)=?成立,其中,p,q∈π(G).由于deg(2)=21且|π(G)|=22,故G的素圖是連通的.應用計算群論軟件Magma并根據(jù)D(G)的結(jié)構(gòu)進行簡單驗算,可知Γ(G)=Γ(S81).

下面將定理的證明分解為3個主要引理來證明.

引理 3.1若K是群G的極大可解的正規(guī)子群,則K是{2,3}-群.特別地,G不可解.

證明首先斷言K是79′-群.否則,群K必包含79階元素,不妨設為x.因為deg(79)=1以及2+79≤81,由引理2.1知CG(x)是{2,79}-群.由N/C定理有

因此,NG(x)是{2,3,13,79}-群.由Frattini論斷,有G=KNG(x),因而有{5,11,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79}?π(K).因為K是可解群,故K中存在71·73階Hall{71,73}-子群L.顯然,L是交換的,故71·73∈πe(G).又由引理2.1有71+73>81,知71·73?πe(G),矛盾.故斷言成立.

下面證明K是p′-群,這里的素數(shù)p∈{5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79}.設p∈π(K)并且p∈Sylp(K).又由Frattini論斷可得G=KNG(P),因此79||NG(P)|.現(xiàn)設T是NG(P)的79階子群.因T正規(guī)化P,應用Magma軟件簡單的計算知:當素數(shù)p≠23時,79?|Aut(P)|;故對于每個素數(shù)p且p≠23,有79p∈πe(G).但是由引理2.1知79+p>81,因此79p?πe(G),矛盾.如果p=23且79||Aut(P)|,通過簡單的驗算,此時有

表 1　有限非交換單群S且π(S)?{2,3,5,7,…,79}

若73||NG(P)|,則73∈π(CG(P)).從而23·73∈πe(G),這矛盾于引理2.1.因此73∈πe(K).因為K是可解,從而K中存在23i·73階Hall{23,73}-子群,其中,i=1,2或3.因為73?Aut(Syl23(K)),故23·73∈πe(G),這矛盾于引理2.1.綜上,證明了K是{2,3}-群.因為K≠G,所以G是不可解的.

引理 3.2設K是群G的極大可解的正規(guī)子群,則商群G/K是幾乎單群,即存在有限非交換單群S使得SG/KAut(S).

因此m=1,即S=B1∈F79.由N/C定理有

引理 3.3G?S81,Z2·A81或Z2×A81,即S81是可3-重OD-刻畫的對稱群.

證明根據(jù)引理3.1和引理3.2,不妨假設|S|=|S81|=2a·3b·519·712·117·136·174·194·233·292·312·372·41·43·47·53·59·61·67·71·73·79,其中,2≤a≤78,1≤b≤40.根據(jù)表1,則知S只可能同構(gòu)于下列群之一:A79、A80、A81或A82.

由引理2.2及|G|3=40,通過比較這些群的階,則SA79或A80.再由|G|41=1知,SA82.因此只能是S?A81.此時,A81G/KAut(A81)?S81.

若G/K?S81,比較階可知K=1且G?S81.

若G/K?A81,此時|K|=2,因此K≤Z(G)∩G′.故G是Z2被A81的中心擴張,且G同構(gòu)于2·A81(Z2被A81的非可裂中心擴張)或者2:A81?Z2×A81(Z2被A81可裂的中心擴張).進一步,無論G同構(gòu)于2·A81還是2:A81,由文獻[3]簡單的驗算知有限群2·A81和2:A81均滿足條件|G|=|S81|和D(G)=D(S81).因此,S81是可3-重OD-刻畫的.

定理1.2的證明設有限群G滿足|G|=|S82|=279·340·519·712·117·136·174·194·233·292·312·372·412·43·47·53·59·61·67·71·73·79和D(G)=D(S82)=(21,21,20,20,19,18,17,17,16,15,14,13,12,12,11,10,9,8,6,5,4,2).由假設和引理2.1,可得到{p}∪{pq|p+q≤82}?πe(G)和{pq|p+q>82}∩πe(G)=?,其中,p,q∈π(G).因為頂點3的次數(shù)deg(3)=21=|π(G)|-1,故群G的素圖是連通的.再次根據(jù)D(G)的結(jié)構(gòu)及計算群論軟件Magma的驗算,可知Γ(G)=Γ(S82).

令K是群G的極大的可解的正規(guī)子群,用完全類似于引理3.1的證明方法,可證K是{2,3}-群,且有A82G/KAut(A82)?S82.如果G/K?S82,比較階得K=1且G?S82.如果G/K?A82.此時|K|=2,故K≤Z(G).從而G是Z2被A82的中心擴張.并且G同構(gòu)于下述群之一:2·A82(Z2被A82的非可裂中心擴張);2:A82?Z2×A82(Z2被A82可裂的中心擴張).由于定理1.2的證明方法完全類似于定理1.1,因此略去了詳細的證明過程.故S82是可3-重OD-刻畫的對稱群.

參考文獻

[1] YAN Y X, CHEN G Y, ZHANG L C, et al. Recognizing finite groups through order and degree pattern[J]. Chinese Annal Math,2013,34:777-790.

[2] WILLAMS J S. Prime graph components of finite groups[J]. J Algebra,1981,69(2):487-513.

[3] CONWAY J H, CURTIS R T, NORTON S P, et al. Atlas of Finite Groups[M]. London,New York:Clarendon Press,1985.

[4] MOGHADDAMFAR A R, ZOKAYI A R, DARAFSHEH M R. A characterization of finite simple groups by the degrees of vertices of their prime graphs[J]. Algebra Colloquium,2005,12(3):431-442.

[5] MOGHADDAMFAR A R, ZOKAYI A R. OD-characterization of alternating and symmetric groups of degrees 16 and 22[J]. Frontiers of Mathematics in China,2009,4(4):669-680.

[6] HOSEINI A A, MOGHADDAMFAR A R. Recognizing alternating groupsAp+3for certain primespby their orders and degree patterns[J]. Frontiers of Mathematics in China,2010,5(3):541-553.

[7] ZHANG L C, SHI W J. OD-characterization of simpleK4-groups[J]. Algebra Colloquium,2009,16(2):275-282.

[8] YAN Y X, CHEN G Y, XU H J. A new characterization of certain symmetric and alternating groups[J]. Adv Math,2013,42(5):601-610.

[9] YAN Y X, XU H J, CHEN G Y, et al. OD-characterization of the automorphism groups of simpleK3-groups[J]. J Ineq Appl,2013,2013:1-13.

[11] YAN Y X. OD-characterization of the symmetric groupS28[J]. Adv Mater Research,2011,396-398:140-143.

[12] YAN Y X, CHEN G Y. OD-characterization of alternating and symmetric groups of degree 106 and 112[J]. Proc Inter Conf Algebra,2010,2011:690-696.

[13] 晏燕雄. 與Chevalley群F4(2)有關(guān)的幾乎單群的OD-刻畫[J]. 西南大學學報(自然科學版),2011,33(5):112-115.

[14] 余大鵬,李金寶,張良才,等. Lie型單群D6(2)和D6(3)的OD-刻畫[J]. 西南師范大學學報(自然科學版),2014,39(12):1-5.

[15] ZAVARNITSINE A, MAZUROV V D. Element orders in covering of symmetric and alternating groups[J]. Algrbra and Logic,1999,38(3):159-170.

[16] ZAVARNITSINE A V. Finite simple groups with narrow prime spectrum[J]. Siberian Electronic Math Reports,2009,6:1-12.

[17] ROBINSON D J S. A Course in the Theory of Groups[M]. New York:Springer-Verlag,2001.

2010 MSC：20B30

(編輯李德華)

OD-Characterization of Symmetric Groups of Degree 81 and 82

YU Dapeng1,YAN Yanxiong2,ZHANG Liangcai3,LI Jinbao1

(1.DepartmentofMathematicsandFinance,ChongqingUniversityofArtsandSciences,Chongqing402160;2.SchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715;3.SchoolofMathematicsandStatistics,ChongqingUniversity,Chongqing401331)

Abstract：In this paper, it is proved that the symmetric groups S(81) and S(82) can be characterized by their orders and degree patterns. In fact, the symmetric groups S(81) and S(82) are 3-fold OD-characterizable. This result gives a positive answer to an open problem in (Y. X. Yan, G. Y. Chen, L. C. Zhang, et al. Chinese Annals Math.,2013,34:777-790.)

Key words：prime graph; simple group; degree of a vertex; degree pattern; symmetric group

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.015

中圖分類號：O152.1

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0088-05

作者簡介：余大鵬(1971—),男,副教授,主要從事代數(shù)學群論的研究,E-mail:yudapeng0@sina.com

基金項目：國家自然科學基金(11171364、11271301和11471266)、國家自然科學基金數(shù)學天元基金(11426053)、中國博士后科學基金(2014M562264)、重慶市博士后科學基金(XM2014029)、中央高校基本業(yè)務費專項基金(XDJK2014C162)、重慶市自然科學基金(CSTC2015JCYJA00052、CSTC2013JCYJA00034和CSTC2014JCYJA00010)和重慶市教委自然科學基金(KJ131204)

收稿日期:2014-04-28