全平面上q-級隨機Dirichlet級數的Borel線

李云霞

(楚雄師范學院 數學與統計學院, 云南 楚雄 675000)

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全平面上q-級隨機Dirichlet級數的Borel線

李云霞

(楚雄師范學院 數學與統計學院, 云南 楚雄 675000)

摘要：研究由全平面上收斂的q-級隨機Dirichlet級數表示的整函數F(s,ω)的值分布性質,得到了q-級隨機Dirichlet級數表示的整函數幾乎必然(a.s.)每條水平直線是F(s,ω)的沒有有限例外值的q-級Borel線.

關鍵詞：隨機Dirichlet級數; q-級; Borel線

1預備知識與主要結果

Dirichlet級數表示的整函數的增長性和值分布是復分析的重要研究方向之一,是由S. Mandelbrojt[1]及G. Valiron[2]首先研究的.相關的研究被推廣到更一般的隨機Dirichlet級數的情形,文獻[3-5]在這方面做了重要工作.對于隨機Dirichlet級數表示的整函數,在文獻[1-5]中介紹了一些關于整函數的系數、級及值分布的有趣結果,文獻[6-8]中分別討論了隨機Dirichlet級數表示的整函數的無窮級和零級的Borel線.本文在文獻[9-17]的基礎上進一步完善他們的結果,討論對于獨立、非同分布的隨機Dirichlet級數表示的整函數F(s,ω)的值分布問題,獲得了幾乎必然(a.s.)每條水平直線是F(s,ω)的沒有有限例外值的q-級Borel線,推廣了文獻[6-8]中隨機Dirichlet級數表示的整函數的值分布的結果.

考慮輔助Dirichlet級數

(1)

其中,{an}?C,0<λn↑∞,s=σ+it(σ,t為實變量).另外,設級數(1)滿足

(2)

由條件(2)和Valiron公式[2],Dirichlet級數(1)的一致收斂橫坐標為-∞,則F(s)定義了一個全平面收斂的整函數.

令

表示F(s)的最大模.另記exp[0]x=ln[0]x=x;當k>1,

ln[k]x=ln(ln[k-1]x).

Dirichlet級數q-級ρ的定義為

(3)

其中,q=2,3,4,….

設隨機Dirichlet級數

(4)

令

表示F(s,ω)的最大模,其中{Xn(ω)}是概率空間(Ω,A,P)中獨立、一致非退化隨機變量序列,且不一定是同分布的序列,且滿足下列條件:E{Xn(ω)}=0,

(5)

(6)

其中,d>0是常數.記σn為E|Xn|2,因此條件(5)和下面的條件等價

(7)

本文涉及到的值分布的記號均與文獻[5,12]相同.

引理 1[8]設隨機變量{Xn(ω)}是非退化,系統和非獨立的復隨機變量,滿足條件(6)及(7)式,那么:

(i) 對任何Ω∈ω,a.s.,存在N(ω)∈N,

(ii) 對{Xn}的任何子列{Xnk},

其中,d和σnk滿足條件(6);

(iii) 存在β∈(0,1)使得

引理 2[9]設Dirichlet級數(1)是滿足條件(2)的整函數,其中ρ由(3)式定義,則有

(8)

其中q=2,3,….

定理 1設由(4)式定義的隨機Dirichlet級數

滿足引理1的條件及

那么F(s,ω)a.s.是ρ級整函數,且a.s.每條水平直線{s:Ims=t0(t0∈R)}是F(s,ω)的沒有有限例外值的q-級Borel線,即?t0∈R,a∈C,η>0有

(9)

其中

為了證明定理,需要給出一些引理.

引理 3[5]設{Xn(ω)}是概率空間(Ω,A,P)中的復隨機變量列,它們的數學期望E(Xn(ω))=0,且方差

(10)

則對任意H∈Λ,P(H)>0,存在正數B=B(d,H),K=K(H,{Xn})∈N,使得對任何復數列{bn}∈C,及任何自然數p與q,p>q≥K恒有

(11)

引理 4設由(4)式定義的隨機Dirichlet級數

滿足引理3的條件及

則?t∈R有

證明由(3)式知隨機Dirichlet級數的級為

令

故有m0和n0使P(H′)>0,其中

記

(12)

由引理3,存在自然數N=N(H′,{Xn}),正數B=B(d,H′)使得

由(12)式

所以

其中C為一正常數.

因此對任意n有

于是

令

則有

于是

與條件(ii)矛盾.故引理4得證.

系在引理4的條件下,?E∈λ,P(E)=1,?ω∈E,及任何實數β<γ有

仿照引理4可以證明.

為了討論由(4)式所表示的隨機整函數F(s,w)的值分布問題,需要將帶形上的解析函數轉化為單位圓盤上的解析函數.

引理 5[5]設{Xn(ω)}是滿足引理1的隨機變量,設它及函數列

定義{z:|argz-θ|

eiθa.s.是gω(z)的一個ρ(ρ>1)級Borel點,那么eiθa.s.是gω(z)的沒有有窮例外值的Borel點.

由引理4的系知,?E∈A,P(E)=1,對?ω∈E,t0∈R,η>0有

(13)

考慮單射

和

(14)

記其逆映射為s=φ1(z)和z=φ2(W),

令

那么

(15)

和

(16)

引理 7[5]設函數f(z)、f1(z)、f2(z)在單位圓內亞純、兩兩互異,并且

那么對于任意給定的常數m>0,

其中,A是絕對常數,B是賴于函數f(z)、f1(z)、f2(z)的常數.

在引理4的條件下,由映射(14)把級數

變成D(1)上隨機級數

(17)

引理 8關于在D(1)內的級數ψ(W,ω)有

(18)

表明ψ級為ρa.s.,并且對所有a∈C有

(19)

從而

其中

R0是(0,1)中一個固定的數.引理8根據文獻[10]的引理4可以證明.

2定理1的證明

證明(i) 首先證明F(s,ω)a.s.是整函數,根據引理1的(i)及(ii)容易證得.

(ii) 其次證明(9)式成立.由引理4及系,得(13)式成立.又由

結合(15)及(16)式有

故(18)式成立,即

由Navalinna第二定律

對任何a∈C(至多有一個例外)成立.由引理8知

那么

(20)

是D(1))上q-級為ρ的解析函數.

(21)

其中

令E∞={c:c∈C∞},記

記(c,B,μn)為Xn(ω)產生的概率空間,令

由引理1得

故P(S)=0,這就證明了對所有的a∈C,(19)式成立.又

其中

因此由上式及引理8可得(9)式成立.

致謝楚雄師范學院校級科研項目(2012)對本文給予了資助,謹致謝意.

參考文獻

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2010 MSC：30B50

(編輯李德華)

Borel Lines of the Random Dirichlet Series ofq-order on the Whole Plane

LI Yunxia

(SchoolofMathematicsandStatistics,ChuxiongNormalCollege,Chuxiong67500,Yunnan)

Abstract：In this paper, the value distribution of the random entire function F(s,ω) defined by some random Dirichlet series of q-order on the whole plane is obtained. It is proved that, for some random Dirichlet series of q-order, almost surely every horizontal line is a Borel line of q-order without finite exceptional values.

Key words：random Dirichlet series; q-order; Borel line

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.017

中圖分類號：O174.52

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0098-05

作者簡介：李云霞(1970—),女,教授,主要從事復分析的研究,E-mail:cxliyunx@126.com

基金項目：云南省應用基礎研究面上項目(2007A229M)

收稿日期:2014-09-07