HPM視角下“第二個(gè)重要極限”的教學(xué)設(shè)計(jì)

繆燁紅

(蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 太倉(cāng) 215400)

HPM視角下“第二個(gè)重要極限”的教學(xué)設(shè)計(jì)

繆燁紅

(蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 太倉(cāng) 215400)

本文從HPM的視角，通過(guò)歷史中數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出，借助計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，幫助學(xué)生了解第二個(gè)重要極限的來(lái)源及其應(yīng)用。

數(shù)學(xué)史；高職數(shù)學(xué)；第二個(gè)重要極限

0 引言

隨著數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，數(shù)學(xué)教育思想已發(fā)生了重大改變。“培養(yǎng)學(xué)生的首創(chuàng)精神，克服數(shù)學(xué)教育的各種障礙，重視數(shù)學(xué)思想方法的傳播”已成為數(shù)學(xué)教育界的共識(shí)。而所謂重視數(shù)學(xué)思想方法的傳播，就是要求重視數(shù)學(xué)教育中對(duì)數(shù)學(xué)史的研究。高職教育中的數(shù)學(xué)不能稱為嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)科學(xué)教育，除提供給學(xué)生掌握和運(yùn)用必需的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，更多的應(yīng)該是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史、數(shù)學(xué)家們奮斗的過(guò)程，讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，用不同時(shí)空間的數(shù)學(xué)思想的對(duì)比，擴(kuò)寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生全方位的認(rèn)識(shí)能力。

HPM 是指數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系。HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)，需從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)發(fā)展史、學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知出發(fā)，不能簡(jiǎn)單地重復(fù)歷史，切入點(diǎn)是數(shù)學(xué)概念形成發(fā)展的歷史背景，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

1 “第二個(gè)重要極限”的教學(xué)現(xiàn)狀

近幾年，高職數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是本科高等數(shù)學(xué)“壓縮餅干型”的狀態(tài)已有所改觀，但仍然是知識(shí)的簡(jiǎn)單遷移，特別是一些概念的引入或公式、定理的介紹，教師仍依照教材中的編排順序依次講解，學(xué)生會(huì)感覺(jué)很突兀，不知道為什么要引入這個(gè)概念，更不能深層次地去理解概念，所以也不知道其究竟有什么用。

其次，學(xué)生學(xué)習(xí)目的性不明確,部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)沒(méi)有什么用，加上課程本身的抽象性，缺乏歷史背景，沒(méi)有鮮活的應(yīng)用，更加深了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高職數(shù)學(xué)的恐懼。

“第二個(gè)重要極限”是極限計(jì)算中的重要內(nèi)容，它是一種非常典型的未定式求極限類型，可以用來(lái)推導(dǎo)一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，進(jìn)行冪指函數(shù)1∞型極限的運(yùn)算，同時(shí)公式中還蘊(yùn)含了一個(gè)重要的無(wú)理數(shù)e，有著廣泛的應(yīng)用背景。

2 “第二個(gè)重要極限”的教學(xué)設(shè)計(jì)

美國(guó)數(shù)學(xué)史家M﹒克萊因指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要問(wèn)題是動(dòng)機(jī)問(wèn)題，他將“為所教的數(shù)學(xué)提供動(dòng)機(jī)和目的”作為課程的四個(gè)原理之一，他認(rèn)為如果讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到所引入的新主題是解決問(wèn)題之需要，就能讓他們產(chǎn)生足夠的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，而歷史名題的引入能有效創(chuàng)造動(dòng)機(jī)，同時(shí)為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì)。

2.1 導(dǎo)入新課

提出問(wèn)題：公元前1700年的巴倫比泥版上有一道復(fù)利問(wèn)題：年息20%，問(wèn)何時(shí)本利和翻一番？

接下來(lái)通過(guò)Excel表格計(jì)算觀察，如果分別按每月、每天、每小時(shí)、每分、每秒復(fù)利，第一年的本利和會(huì)怎樣變化。

期數(shù)n利息1+0.2/n第一年的本利和s121.0166666671.21939108493651.0005479451.221335858387601.0000228311.22139996965256001.0000003811.221402711631536001.0000000631.2214027505

2.2 獲得新知

問(wèn)題解決： 假設(shè)經(jīng)過(guò)t年后，本利和翻一番，每年的計(jì)息期數(shù)是n，即有

2.3 應(yīng)用舉例

細(xì)菌繁殖問(wèn)題：在培養(yǎng)基充足等條件下，某種細(xì)菌繁殖的速度與當(dāng)時(shí)已有的數(shù)量A0成正比，即v=kA0(k>0，k為比例常數(shù))，問(wèn)經(jīng)過(guò)時(shí)間t以后細(xì)菌的數(shù)量是多少？

由于假設(shè)每一時(shí)間段上細(xì)菌繁殖速度不變，在各個(gè)時(shí)間段上只繁殖一次，因而得到的細(xì)菌總量為近似值，當(dāng)時(shí)間段分得越細(xì)，即n越大時(shí)，這個(gè)近似值越接近精確值。如果對(duì)時(shí)間段進(jìn)行無(wú)限細(xì)分，令n→∞，近似值的極限值就是細(xì)菌總數(shù)的精確值，即

在自然界，很多以固定比例保持周期性連續(xù)增長(zhǎng)的現(xiàn)象都與第二個(gè)重要極限有關(guān)。

3 結(jié)語(yǔ)

在很多高職學(xué)生心中，數(shù)學(xué)似乎是門(mén)無(wú)趣甚至可怕的科目，到處都是定義、定理、公式，令人望之生畏，學(xué)生會(huì)害怕一個(gè)學(xué)科的原因之一是有距離感，教師在講授“第二個(gè)重要極限”的過(guò)程中，如果先給學(xué)生引入歷史上連續(xù)復(fù)利的例子，并借助于計(jì)算機(jī)讓學(xué)生直觀體會(huì)隨著n無(wú)限增大數(shù)列的變化趨勢(shì)，讓學(xué)生了解第二個(gè)重要極限的起源和應(yīng)用，意識(shí)到它不僅僅是一個(gè)抽象的等式，而是有豐富的歷史和應(yīng)用背景，引入公式也不會(huì)顯得突兀，距離感就應(yīng)該會(huì)減少甚至消失。

[2]汪曉勤.HPM視角下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)[J].高等理科教育，2003(5)，10-12.

[3]汪曉勤.數(shù)學(xué)史與高等數(shù)學(xué)教學(xué)[J].高等理科教育，2009(2)，20-24.

[4]常心怡.“閑談”兩個(gè)重要極限[J].?高等數(shù)學(xué)研究，2008,11(4),83-85.

(編輯 趙欣宇)

The Teaching Design of “the Second Important Limit” in the Perspective of HPM

MIAO Yehong

(Suzhou Chien-Shiung Institute of Technology, Taicang 215400, China)

From the perspective of HPM, this paper intends to help students to understand the source and applications of the second important limit, through raising the problems of mathematics in history, with computer assisted teaching.

history of mathematics; higher vocational mathematics; the second important limit

2015-12-21

HPM視角下高職數(shù)學(xué)教育的探索與研究(2013qnjj06)；中高職銜接的高職數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革研究(JG201508)

繆燁紅(1982-)，女。碩士研究生，講師。主要研究方向： 高職數(shù)學(xué)教學(xué)。

G712

B

1672-0601(2016)03-0064-03