考慮彈流潤滑效應的高速角接觸球軸承剛度特性研究

余永健, 陳國定, 李濟順

(1.西北工業大學 機電學院, 陜西 西安　710072; 2.河南省機械設計及傳動系統重點實驗室, 河南 洛陽　471003)

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考慮彈流潤滑效應的高速角接觸球軸承剛度特性研究

余永健1, 陳國定1, 李濟順2

(1.西北工業大學 機電學院, 陜西 西安710072; 2.河南省機械設計及傳動系統重點實驗室, 河南 洛陽471003)

摘要：高速角接觸球軸承的剛度特性對航空發動機轉子系統的動態特性有著重要影響。為獲得油潤滑條件下角接觸球軸承剛度特性,需要考慮彈流潤滑效應對軸承剛度的影響。基于Jones擬靜力學模型,建立了考慮彈流潤滑影響的耦合滾動體/套圈接觸剛度和油膜剛度的滾動軸承剛度計算模型。應用滾動軸承剛度計算模型分析了彈流潤滑效應對角接觸球軸承剛度的影響規律。研究結果表明:與不考慮彈流潤滑效應的情況相比,考慮彈流潤滑效應的角接觸球軸承剛度有較明顯的降低;較之軸承軸向剛度,軸承徑向剛度對彈流潤滑效應更為敏感;在考慮彈流潤滑效應的情況下,潤滑油動力黏度和黏壓系數的增大均使得軸承剛度減小,黏溫系數的增大僅使得軸承徑向剛度增大,但對軸向剛度幾乎沒有影響;隨著轉子轉速的升高,彈流潤滑效應對軸承徑向剛度的影響愈加明顯,但對軸向剛度的影響逐漸弱化;隨著軸向載荷的增加,彈流潤滑效應對軸承剛度的影響緩慢增大;隨著徑向載荷的增加,彈流潤滑效應對軸向剛度的影響緩慢減小,而對徑向剛度的影響則幾乎保持不變。

關鍵詞：高速球軸承;彈流潤滑效應;接觸剛度;油膜剛度;軸承剛度

高速滾動軸承是高速旋轉主軸的關鍵元件,廣泛應用于航空航天領域,其DN值大于0.6×106mm·(r/min)。高速滾動軸承剛度直接影響著主軸轉子系統的穩定性和動態性能[1],是主軸轉子系統的關鍵參數。當主軸轉子系統的共振頻率與其所受的激勵頻率相近時,轉子系統將產生強烈振動,導致主軸轉子系統的損壞。因此,精確計算滾動軸承剛度,為主軸轉子系統合理設計提供參數依據,保證主軸轉子系統運行時的可靠性和穩定性,是十分重要的。

有關滾動球軸承的剛度分析,國內外學者已進行了廣泛研究。Jones等通過其提出的滾動軸承擬靜力學模型[2-4],根據滾動控制理論分析了離心力和陀螺力矩對軸承剛度的影響;文獻[5-9]基于Jones擬靜力模型和Hertz接觸理論,建立了角接觸球軸承的剛度計算模型,考慮了軸承過盈量、離心膨脹和軸承溫升導致的內圈徑向變形,研究了這些因素對角接觸球軸承剛度的影響;袁幸等建立了考慮內外圈表面波紋度的滾動軸承擬靜力學模型,計算了考慮波紋度的軸承剛度[10];黃浩等建立了角接觸球軸承擬靜力學模型,在軸承幾何相容方程中考慮了油膜厚度的影響,分析了主軸轉速和載荷對軸承剛度的影響[11];Kang等把軸承的幾何尺寸和工況參數與角接觸球軸承的剛度之間復雜的函數關系通過神經網絡來表征,從而計算出軸承剛度[12];文獻[13-14]基于Jones擬靜力學模型和Hertz接觸理論,對軸承剛度進行了計算;Guo等利用有限元軟件建立了滾動軸承的有限元模型,計算了各類滾動軸承的剛度[15],但沒有考慮離心力和潤滑等的影響。Hagiu等建立了高速軸承動力學模型,給出了軸承的剛度計算方法,其中考慮了進油口油膜剛度和接觸區油膜剛度的影響[16]。

縱觀已有軸承剛度計算的研究工作,大多數的研究沒有考慮彈流潤滑效應的影響,僅有個別文獻

的分析雖考慮了潤滑因素,或僅是在滾動軸承力學模型的幾何相容方程中考慮了油膜厚度,以此形式將潤滑影響反映到軸承剛度的計算中;或是通過經典的Hamrock-Dowson彈流潤滑油膜厚度公式計算出彈流油膜剛度,并將其嵌入到軸承剛度計算模型中。由于滾動體/套圈間的油膜厚度影響軸承載荷分布,進而影響滾動體/套圈的接觸剛度,而軸承載荷分布又反過來影響油膜厚度的大小,進而影響到油膜剛度大小,但迄今同時包含考慮油膜厚度影響的滾動體/套圈接觸剛度和油膜剛度在內的滾動軸承剛度計算模型和方法尚未見報道,亦即現有的滾動軸承剛度計算難以反映軸承實際剛度。

本文以Jones擬靜力學模型為基礎,建立了基于油膜厚度影響的軸承幾何相容方程,提出了考慮油膜厚度影響的鋼球/套圈接觸剛度計算模型,通過計入彈流油膜剛度形成了鋼球與套圈的等效剛度,并最終提出了滾動軸承徑向剛度和軸向剛度的計算公式。基于上述計算流程開展了球軸承剛度分析,探討了潤滑油性能參數(動力黏度、黏溫系數和黏壓系數)、主軸轉速和載荷對球軸承剛度的影響規律,以體現彈流潤滑效應對球軸承剛度的影響。

1滾動球軸承剛度計算模型

基于考慮油膜厚度的滾動軸承擬靜力學模型,計算鋼球/套圈的接觸剛度和油膜剛度,把鋼球/套圈的接觸剛度與油膜剛度串聯,從而計算出鋼球/套圈的等效剛度,結合Harris軸承剛度計算方法,最終獲得滾動軸承的軸向剛度和徑向剛度。

1.1鋼球/套圈的接觸剛度

圖1所示為滾動球軸承任意位置處的鋼球(定義為第q個鋼球)球心與內外溝道曲率中心受載前后的位置關系。圖1中n點表示外溝道曲率中心,分析中假設其固定不動。滾動軸承旋轉時,在載荷、離心力和陀螺力矩共同作用下,內溝道曲率中心由受載前的位置m點移至受載后的m′點,球心則由受載前的位置C點移至受載后的C′點。

對于圖1所示的第q個鋼球,考慮鋼球與套圈之間的油膜厚度和彈性變形,內外溝道曲率中心與受載后球心之間的距離Δiq和Δeq分別為

(1)

(2)

式中,ri和re分別為內圈溝道曲率半徑和外圈溝道曲率半徑;Dw為鋼球直徑;δiq和δeq分別為第q個鋼球與內圈和外圈之間的彈性變形;hicq和hecq分別為第q個鋼球與內圈接觸區域、外圈接觸區域的中心油膜厚度。

圖1　任意位置鋼球球心與內外溝道曲率中心相對位置

受載后內溝道曲率中心的坐標為

(3)

(4)

式中：Ri=dm/2+(fi-0.5)Dwcosα0,B=fi+fe-1,其中,fi、fe分別為內、外圈的溝曲率半徑系數;ψq為第q個鋼球的位置角;θ為軸承內圈的傾角;δa為軸承內圈軸向位移量;δr為軸承內圈徑向位移量;α0為受載前的接觸角。

由公式(1)～(4),結合圖1所表示的幾何關系,考慮油膜厚度的變形幾何相容方程可表示為

(5)

(6)

圖2　鋼球受力圖

根據圖2所示的第q個鋼球的受力情況,鋼球的受力平衡方程為

(7)

(8)

式中,Qiq和Qeq分別為鋼球/內圈、鋼球/外圈的接觸法向上的載荷;Mgq為鋼球承受的陀螺力矩;Fcq為鋼球承受的離心力;αiq和αeq分別為鋼球與內圈的接觸角和鋼球與外圈的接觸角;λiq和λeq分別為內圈和外圈的修正系數。

當軸承承受軸向力Fa和徑向力Fr時,軸承內圈的受力平衡方程為

(9)

(10)

公式(5)～公式(10)構成了一個非線性方程組,在已知軸承幾何參數和工況參數的條件下,求解此方程組可以獲得軸承的載荷分布,并進而獲得每個鋼球/套圈的接觸載荷。

根據Hertz接觸理論,鋼球與套圈之間的接觸載荷和彈性變形關系為[17]

(11)

式中,E、F分別為第一類完全橢圓積分和第二類完全橢圓積分;∑ρ為鋼球/套圈接觸點主曲率和;k為鋼球/套圈橢圓接觸率;E′為鋼球/套圈的等效彈性模量;Q為鋼球/套圈的接觸載荷。

對方程(11)中的Q關于δ求導,可得鋼球與套圈的接觸剛度為

(12)

1.2鋼球/套圈的油膜剛度

鋼球/套圈的油膜剛度是根據鋼球/套圈接觸載荷與接觸區最小油膜厚度的關系推導出來的。如果認為鋼球/套圈之間的潤滑狀態是彈性流體動壓潤滑狀態,則考慮熱效應彈流潤滑最小油膜厚度公式為[18-19]

(13)

式中:P0為鋼球與套圈的最大接觸壓應力;S為鋼球與套圈接觸點的滑滾比;L為熱承載系數,L=βη0u2/λ,β為潤滑油的黏溫系數;E′為鋼球與套圈的等效彈性模量;k為鋼球與套圈的橢圓接觸率;η0是潤滑油在大氣壓下的動力黏度;Rx是當量曲率半徑;u是接觸點卷吸速度;α是潤滑油黏壓系數;λ為潤滑油的熱導率。

對方程(13)中的Q關于hmin求導,從而計算出鋼球/套圈間的油膜剛度,即

(14)

1.3鋼球/套圈的等效剛度

鋼球/套圈的等效剛度是其接觸剛度與油膜剛度的串聯,這樣,第q個鋼球與套圈的等效剛度表示為

(15)

根據Harris推導的滾動軸承等效剛度計算公式,第q個鋼球與套圈的等效剛度在徑向和軸向上的剛度分量分別為[20]

(16)

(17)

式中,αq為第q個鋼球與套圈的受載后的接觸角。

對于滾動軸承而言,其軸向剛度和徑向剛度可以通過每一個鋼球/套圈的等效剛度疊加而獲得,即表示為[22]

(18)

(19)

式中:Ka和Kr分別為軸承的等效軸向剛度和等效徑向剛度;Kr-iq和Ka-iq分別為第q個鋼球與內圈的徑向等效剛度和軸向等效剛度;Kr-eq和Ka-eq分別為第q個鋼球與外圈的徑向等效剛度和軸向等效剛度;Z為鋼球的個數。

2計算結果及分析

本文算例高速角接觸球軸承的主要結構及潤滑參數為:外溝道曲率系數為0.515,內溝道曲率系數為0.52,軸承節圓直徑為168.4 mm,鋼球直徑為22.225 mm,鋼球個數為20;潤滑油參數為:動力黏度為0.036 4 Pa·s,黏壓系數為1.85×10-8Pa-1,黏溫系數為0.031 5 ℃-1。

2.1潤滑油動力黏度對球軸承剛度的影響

圖3給出了內圈轉速為10 000 r/min、軸向載荷為10 000 N和徑向載荷為4 000 N時,潤滑油動力黏度對軸承軸向剛度和徑向剛度的影響。由圖3可以看出,在考慮彈流潤滑效應的情況下,潤滑油動力黏度的增大使軸承軸向和徑向剛度都呈現出減小的趨勢。當潤滑油動力黏度增大時,鋼球與套圈間的油膜厚度增大,從而使油膜剛度減小,進而使鋼球與套圈的等效剛度減小,最終使軸承的軸向和徑向剛度減小。

圖3　動力黏度對軸承剛度的影響

2.2潤滑油黏溫系數對球軸承剛度的影響

圖4給出了內圈轉速為10 000 r/min、軸向載荷為10 000 N和徑向載荷為4 000 N時,潤滑油黏溫系數對軸承軸向剛度和徑向剛度的影響。

圖4　黏溫系數對軸承剛度的影響

由圖4可以看出,隨著潤滑油黏溫系數的增大,彈流潤滑效應對軸承軸向剛度影響很小,而徑向剛度則呈現出逐漸增大的趨勢。這是因為潤滑油黏溫系數的增大使鋼球與套圈間油膜厚度減小,從而導致鋼球與內圈接觸角減小,同時使鋼球與套圈等效剛度增大,上述2個因素的共同作用使得徑向剛度隨著黏溫系數的增大而明顯增大,而使軸向剛度隨著黏溫系數的增大而變化較小。

2.3潤滑油黏壓系數對球軸承剛度的影響

圖5給出了內圈轉速為10 000 r/min、軸向載荷為10 000 N和徑向載荷為4 000 N時,潤滑油黏壓系數對軸承軸向剛度和徑向剛度的影響。由圖5可以看出,隨著潤滑油黏壓系數的增大,彈流潤滑效應使軸承軸向和徑向剛度均呈現出近似直線的下降趨勢。這是由于黏壓系數的增大使鋼球與套圈間油膜厚度增大,從而使鋼球與套圈間等效剛度減小,進而使軸承軸向剛度和徑向剛度隨之減小。

圖5　黏壓系數對軸承剛度的影響

2.4主軸轉速對球軸承剛度的影響

圖6給出了軸向載荷為10 000 N和徑向載荷為4 000 N下主軸轉速對軸承軸向剛度和徑向剛度的影響。圖6中可以看出,隨著主軸轉速的增加,軸向剛度先迅速減小后又逐漸趨于穩定,而對徑向剛度的影響則是逐漸增大。與不考慮潤滑時計算的軸承剛度相比,考慮潤滑后軸向剛度和徑向剛度都減小。這是由于鋼球與套圈間Hertz接觸剛度與油膜剛度串聯后的等效剛度小于Hertz接觸剛度所導致的結果。圖6中還可以看出,徑向剛度較軸向剛度對潤滑效應敏感。這是由于彈流潤滑效應使鋼球與套圈接觸角增大,同時也使鋼球與套圈等效剛度減小,鋼球與套圈接觸角增大使得等效剛度軸向分量增大,而鋼球與套圈等效剛度減小使得等效剛度軸向分量減小,上述2個因素的共同作用使得軸向剛度對潤滑效應不敏感;同理,可以解釋軸承徑向剛度對潤滑較敏感。隨著轉速的增加,彈流潤滑效應對軸向剛度的影響越來越小,而對徑向剛度的影響則越來越大。

圖6　主軸轉速對軸承剛度的影響

2.5載荷對球軸承剛度的影響

圖7給出了主軸轉速為10 000 r/min和徑向載荷為4 000 N時,軸向載荷對軸向剛度和徑向剛度的影響。圖7中可以看出,軸向剛度和徑向剛度都隨著軸向載荷的增加而逐漸增大。與不考慮潤滑時的軸承剛度相比,隨著軸向載荷的增加,彈流潤滑效應對軸承剛度的影響緩慢增大,且彈流潤滑效應對徑向剛度較軸向剛度敏感。這是由于彈流潤滑效應使鋼球與套圈間的等效剛度減小,同時使鋼球與套圈接觸角增大,兩者共同作用使彈流潤滑效應對徑向剛度較軸向剛度影響大。

圖7　軸向載荷對軸承剛度的影響

圖8給出了在主軸轉速為10 000 r/min和軸向載荷為10 000 N時,徑向載荷對軸向剛度和徑向剛度的影響。圖8中可以看出,軸向剛度隨著徑向載荷的增加而減小,而徑向剛度則隨之逐漸增大。與不考慮潤滑時的軸承剛度相比,隨著徑向載荷的增加,彈流潤滑效應對軸向剛度的影響緩慢減小,而對徑向剛度的影響則幾乎保持不變,且彈流潤滑效應對徑向剛度較軸向剛度敏感。這是由于彈流潤滑效應使鋼球與套圈間的等效剛度減小,同時使鋼球與套圈接觸角增大,兩者共同作用使彈流潤滑效應對徑向剛度較軸向剛度影響大。

圖8　徑向載荷對軸承剛度的影響

由圖7和圖8可以看出,潤滑效應對軸承徑向剛度影響較大,對軸承徑向剛度影響較小。

3結論

本文給出了計及軸承鋼球/套圈間潤滑油膜和油膜剛度,建立了基于彈流潤滑的球軸承剛度計算方法,分析了潤滑油動力黏度、黏溫系數和黏壓系數對球軸承剛度的影響,同時還分析了不同工況參數下彈流潤滑對球軸承剛度的影響,其主要結論如下:

1) 在考慮彈流潤滑效應的情況下,潤滑油動力黏度和黏壓系數的增大均使得軸承剛度減小,黏溫系數的增大僅使得軸承徑向剛度增大,但對軸向剛度幾乎沒有影響。

2) 與不考慮彈流潤滑效應的情況相比,考慮彈流潤滑效應的角接觸球軸承剛度有較明顯的降低;較之軸承軸向剛度,軸承徑向剛度對彈流潤滑效應更為敏感。

3) 隨著轉子轉速的升高,彈流潤滑效應對軸承徑向剛度的影響愈加明顯,但對軸向剛度的影響逐漸弱化;隨著軸向載荷的增加,彈流潤滑效應對軸承剛度的影響逐漸增強;隨著徑向載荷的增加,彈流潤滑效應對軸向剛度的影響逐漸減弱,而對徑向剛度的影響則幾乎保持不變。

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Research on Stiffness Characteristics of High Speed Angular-Contact Ball Bearing Considering Elastohydrodynamic Lubrication Effect

Yu Yongjian1, Chen Guoding1, Li Jishun2

(1．Department of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China 2．Henan Key Laboratory of Modern Mechanical Design and Transmission System，Luoyang 471003，China)

Abstract:The stiffness characteristics of high-speed angular contact ball bearing have important influence on the dynamic characteristics of an aero-engine′s rotor system. To obtain them under oil lubrication condition, the elastohydrodynamic lubrication (EHL) effect on the stiffness characteristics of the ball bearing needs to be considered. Based on Jones pseudo-static mechanical model, a ball bearing stiffness calculation model is established by coupling the contact stiffness between ball and ring and its oil film stiffness, taking into consideration the EHL effect. The ball bearing stiffness calculation model is used to study the influence of EHL effect on the ball bearing stiffness. The exploration results show that the ball bearing stiffness with the EHL effect considered is obviously lower than the ball bearing′s stiffness without considering the EHL effect. The ball bearing′s radial stiffness is more sensitive to the EHL effect than the ball bearing′s axial stiffness. With the EHL effect considered, the ball bearing stiffness decreases with increasing dynamic viscosity coefficient and pressure viscosity coefficient respectively. The ball bearing′s radial stiffness increases with its temperature viscosity coefficient, but temperature viscosity coefficient has no effect on its axial stiffness. The influence of the EHL effect on the ball bearing′s axial stiffness becomes more obvious when the rotor speed increases, but its influence on the ball bearing′s radial stiffness is waning. Its influence on the ball bearing stiffness does not change with the load variation.

Keywords:ball bearings, calculations, elastic deformation, elastohydrodynamic lubrication, film thickness, geometry, liquid films, pressure, stiffness, temperature, viscosity; bearing stiffness, contact stiffness, elastohydrodynamic lubrication effect, high-speed ball bearing, oil film stiffness

中圖分類號：TH133

文獻標志碼：A

文章編號:1000-2758(2016)01-0125-07

作者簡介：余永健(1979—)，西北工業大學博士研究生，主要從事滾動軸承性能分析及理論研究。

基金項目：國家自然科學基金(51375148)資助

收稿日期：2015-09-10