任意形狀的三角形電流的磁場分布

姜海麗 孫秋華 劉艷磊 馬伯洋（哈爾濱工程大學理學院，黑龍江哈爾濱 150001）

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任意形狀的三角形電流的磁場分布

姜海麗 孫秋華 劉艷磊 馬伯洋
（哈爾濱工程大學理學院，黑龍江哈爾濱 150001）

摘 要本文根據畢奧－薩伐爾定理先求出任意三角形一條邊所產生的磁場，再利用矢量場旋轉求出另外兩條邊產生的磁場，最終利用矢量疊加求得任意形狀的三角形電流的磁場分布．這種方法可以推廣到求任意形狀多邊形電流的磁場求解．

關鍵詞任意形狀三角形電流；磁場分布；矢量場旋轉

在電磁學和磁測量中最常見的一種計算就是根據電流的分布求解其所激發的磁場的分布［1、2］．對于磁場的求解大學物理教學中經常用到的方法是畢奧－薩伐爾定律和安培環路定理．安培環路定理的積分形式一般只能運用于求解電流的分布具有高度對稱性的情況，如果遇到任意形狀的電流分布時就只能采用畢奧－薩伐爾定律來進行求解了．原則上任意形狀的載流導線周圍磁場分布問題的求解可以歸納為：畢奧－薩伐爾定律加上磁場疊加原理即為所求的磁場．但實際上由于數學上的難度，一般只討論特殊形狀或特殊位置的磁場分布，對于任意形狀的多邊形電流的磁場分布的研究較少［3－7］．本文根據畢奧－薩伐爾定理先求出任意三角形一條邊所產生的磁場，再利用矢量場旋轉求出另外兩條邊產生的磁場，最終利用矢量疊加求得任意形狀的三角形電流的磁場分布．

如圖1所示，假設三角形電流ABC，電流I的流向為逆時針方向，O為三角形的外心（即三條邊的垂直平分線的交點），建立如圖所示的坐標系Oxyz，其中x、y軸在三角形線圈平面內，z軸垂直于線圈平面．x軸與AB邊的交點為O′，三條邊的長度為別為l1，l2，l3．

在l1邊上距離O′為y′處取一寬為dy′的電流元Idy′，則該電流元在點P產生的磁場為

利用磁場矢量疊加原理可得整個l1邊在點P的磁場為

圖1　三角形線圈激發的磁場

式中ρ1為點O到l1邊的距離．如圖設點P到l1邊的距離為d，α為電流元Idy′到點P的矢徑r與電流元的夾角，則有

代入式（1）可得

其中，由幾何關系可得

將這些幾何關系代入式（2）中，式（2）即為

如果將l2，l3分別轉動到l1所在的位置，類比可得

對于轉動后的l2和l3在點P的磁場分別為

式（4）、（5）中ρ2、ρ3分別為外心O到l2和l3的距離．

式（4）和式（5）所得到的僅是假設把l2和l3兩段電流轉動到l1所在位置時產生的磁場，并不是l2和l3兩段電流真正產生的磁場，要想求出l2和l3兩段電流所產生的真正的磁場，就需要利用矢量場旋轉的方法把l2和l3兩段電流轉動到l1所在位置時激發的磁場B′l2（x，y，z），B′l3（x，y，z）進行旋轉，從而可得l2和l3兩段電流產生的磁場分別為

利用式（3）、（6）、（7）可得整個三角形線圈在點P的合磁場為

為了更加直觀地看到三角形電流激發的磁場分布的特點，為此我們利用Mathematica對磁場的分布進行討論及分析．為方便起見，選取電流I＝10A，μ0＝4π×10－7N／A2，三角形中較短的兩條邊l1和l2分別取為3和4，這兩條邊之間的夾角為q，分別仿真了θ＝80°、90°、105°的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的磁場等高圖．圖2為z＝0即三角形電流平面內的情形，圖3為z＝0．2即三角形電流平面內的情形，圖4為z＝0．5即三角形電流平面內的情形．

圖2　z＝0時磁場等高圖

圖3　z＝0．2時磁場等高圖

在圖2、圖3、圖4等高線圖中，相鄰等高線之間的間距為2×10－7I，I為載流導線中電流強度的大小．相同顏色的區域代表磁場相同，顏色淺的區域磁場強，顏色越深磁場越弱．由圖2可知，在三角形電流平面內所產生的磁場等高線的形狀接近于三角形電流的形狀，與三角形的形狀有關．離電流越近的區域磁場越強，等高線也越密集；離電流越遠的地方磁場越弱，等高線越稀疏，仿真結果與理論是完全相符的．從圖3、圖4可看出，隨著研究區域離三角形電流平面越來越遠時，等高線的區域越來越寬泛，相同磁場的區域面積也相應變大．

圖3（續）

圖4（續）

圖4　z＝0．5時磁場等高圖

本文利用畢奧－薩伐爾定律、磁場疊加原理以及矢量場旋轉求得任意形狀的三角形電流的磁場分布，同時借助于Mathematica對計算結果進行仿真，最終對任意形狀的三角形電流的磁場分布有了較為直觀的了解．將這種求解方法進行推廣，可以用來求解平面內任意形狀多邊形電流激發的磁場，可實現用物理學的理論來指導實際的應用，有一定的實用價值．

參考文獻

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THE MAGNETIC FIELD DISTRIBUTION OF AN ARBITRARY TRIANGULAR ELECTRIC CURRENT

Jiang Haili Sun Qiuhua Liu Yanlei Ma Boyang
（College of Science，Harbin Engineering University，Harbin，Heilongjiang 150001）

AbstractIn this article we introduce an novel method to calculate the magnetic field distribution of an arbitrary triangular electric current．Firstly the magnetic field of any edge can be gotten according the Biot－Savart Law．Then the magnetic field of other two edges could be obtained by using vector field rotation．At last we can get the total magnetic field of an arbitrary triangular electric current through principal of vector field superposition．This method could also be extended to other cases about any shape polygon electric current．

Key wordsarbitrary triangular electric current；magnetic field distribution；vector field rotation

作者簡介：姜海麗，女，副教授，主要從事物理教學科研工作，研究方向為光纖傳感器．jianghaili＠hrbeu．edu．cn

基金項目：黑龍江省高等教育教學改革項目（項目編號：JG2013010198）．

收稿日期：2015－07－26