有限長螺線管的磁場分布和漏磁現象的再探索

于欣峰劉義東劉普生王建東吳 喆（電子科技大學微電子與固體電子學院，四川成都 60054；電子科技大學物理電子學院，四川成都 60054）

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有限長螺線管的磁場分布和漏磁現象的再探索

于欣峰1劉義東2劉普生2王建東2吳 喆2
（1電子科技大學微電子與固體電子學院，四川成都 610054；2電子科技大學物理電子學院，四川成都 610054）

摘 要為了輔助大學物理電磁學教學，加深學生對螺線管模型的理解，本文采用畢奧－薩伐爾定律給出有限長螺線管在空間的磁場的具體數學表達式，并繪制出磁力線和磁感應強度分布．在獲得磁場分布的基礎上，本文還深入研究螺線管側壁的漏磁，并提出相對磁通量的概念來描述漏磁．本文的研究結果表明，螺線管長度約等于直徑時側壁的漏磁最嚴重，約為螺線管中心橫截面上最大磁通量的40%．本文結論對螺線管的工程應用和大學物理電磁學教學中螺線管的模型的深入理解有一定的價值．

關鍵詞大學物理教學；有限長螺線管；磁場分布；漏磁

1 問題的提出

螺線管是大學物理電磁學中的重要模型［1］，但是在大學物理電磁學的教學中常常將螺線管視為無限長以方便計算，此時忽略了螺線管的邊緣效應．而學生往往期望知道有限長螺線管的磁場分布．另外，很多大學物理教材常常用圖1所示的有限長螺線管的磁力線圖形來定性描述磁力線與電流的關系，缺乏更深入的分析．雖然目前已經有很多論文［2－5］研究有限長的螺線管的電磁場分布，但幾乎沒有給出螺線管磁感應強度的數學表達式（非積分式），也很少對螺線管的漏磁現象進行深入的分析．另外電磁仿真軟件也可以輕松地對螺線管的磁場分布和磁力線進行仿真，但其“黑盒子”般的功能對學生的學習并無太多益處．因此本文除了導出有限長螺線管磁場分布表達式以外，還將深入分析有限長螺線管的漏磁現象．

圖1　教材中有限長螺線管磁力線和電流關系的示意圖

2 模型的建立和磁場計算

圖2為有限長螺線管的示意圖．設長螺線管長度為L，半徑為R．建立坐標系，z軸與螺線管軸線重合，xOy平面將螺線管分為上下對稱的兩部分．為了分析方便，不妨將螺線管考慮成密繞螺線管，其電流流動方向與z軸正方向呈右手螺旋關系，設軸向單位長度上的電流為j．

考慮到螺旋管的旋轉對稱性，不妨研究其剖面yOz平面上的磁場分布，即點P（0，y，z）處的磁感應強度．在螺線管側壁上坐標z′處取寬度為dz′的環形電流jdz′，再在此環形電流上坐標A（Rcosθ，Rsinθ，z′）處取一個長度為Rdθ的電流元jdz′Rdθ．點A與點P的距離為r＝［（z－z′）2＋R2＋y2－2Rysinθ］1／2．根據畢奧－薩伐爾定律可給出電流元在P處的磁感應強度為

圖2　有限長螺線管示意圖

經過復雜的積分，可以得到上述3個方程的表達式如下：

其中，

F（＊，＊）和K（＊）分別是第一類不完全和完全橢圓積分，E（＊，＊）和E（＊）分別是第二類不完全和完全橢圓積分，Π（＊，＊，＊）和Π（＊，＊）分別是第三類不完全和完全橢圓積分．

方程（5）給出Bx＝0，意味著磁場在螺線管的任意剖面上沒有垂直于縱剖面的分量，這也說明磁場分布的中心旋轉對稱特性．By和Bz均由橢圓積分組成，比較復雜，需要進一步進行數值分析．

3 磁場的分布和磁力線

根據圖2所示的模型，我們得到公式（5）、（6）和（7）所示的磁場分布．下面將采用Matlab軟件，對這3個公式進行編程計算，并獲得磁場強度的分布特征和磁力線分布特征．磁感應強度分布為

圖3　縱剖面上有限長螺線管的磁力線和磁感應強度分布（a）L／R＝0．002，（b）L／R＝1，（c）L／R＝3

圖3給出任意縱剖面（即過z軸的平面，如yOz面）上有限長螺線管的磁力線和磁感應強度分布．為了繪制方便，這里圖形繪制的是4πB／μ0j ∝B，這里的單位長度上的電流j僅僅影響磁感應強度的絕對數值，而不影響其分布特征．

由圖3（a）、（c）和（e）可以看出，公式（5）、（6）和（7）給出了人們熟識的有限長螺線管的磁力線分布特征，即電流與磁力線相互套合，磁力線并不相交．從圖3（e）中還可看到，磁力線將從螺線管側壁上穿出，這是因為螺線管的有限長度引起側壁某處的上下段在該處產生的磁場的矢量和不為零所致．這也是螺線管的邊緣效應的具體體現，而在大學物理教學中很多師生在關注無限長螺線管時往往忽略了磁力線也是可以穿透螺線管壁的．對比圖3（c）和（e）可知，隨著螺線管的加長，螺線管外側的磁力線越來越稀，這說明外側的磁場越來越小，邊緣效應也越來越小．

圖3（b）、（d）和（f）給出磁感應強度分布圖．當螺線管長度遠遠小于螺線管半徑時，如圖3（b），此時螺線管可以看成是單圈環形電流，此時磁場主要集中在環形電流附近，在圖3（b）中表現為兩個亮斑．當螺線管的長度較大時，如圖3（d）和（f），螺線管內縱剖面上的磁感應強度分布呈馬鞍狀分布，沿著軸線（z軸）正負方向磁感應強度逐漸減小，而背離軸線方向磁感應強度逐漸增加，到螺線管側壁達到最大．螺線管外磁感應強度由近及遠逐漸減小．需注意的是螺線管邊緣，即圖3（d）和（f）中心矩形區域的4個角上，出現很小但很亮的較亮區域，說明此處磁感應強度較大．這是因為螺線管電流對磁力線的“約束”導致磁力線在螺線管邊緣的劇變，反映磁力線密度變大，磁感應強度變大．

圖3（c）和（e）還表明，隨著螺線管長度的增加，螺線管中磁力線區域平行和均勻，同時如圖3（d）和（f）所示，中心磁感應強度的鞍點區域越來越大，越來越平．這說明螺線管中部的磁場趨近于勻強磁場．另外，隨著螺線管增長，螺線管內靠近兩端的磁場不均勻區域相對于整個螺線管內的區域越來越小．當螺線管區域無限長時，兩端內有明顯側邊緣效應的區域趨于零，此時整個螺線管內都為勻強磁場．

4 漏磁現象

由于螺線管的旋轉對稱特性，其橫截圓面上的磁場分布是中心對稱的，磁通量為

為了研究漏磁現象，我們定義Φ（z）／Φ（0）為螺線管橫截面的相對磁通量，即沿軸向不同位置處的橫截圓面上的磁通量與xOy處橫截圓面上的磁通量的比值．相對磁通量越小，螺線管側壁的漏磁越嚴重．圖4給出不同長度螺線管的相對磁通量的變化曲線（實線）和螺線管端面的相對磁通量隨螺線管長度的變化關系．這里螺線管長度與半徑的比為L／R＝2－4，2－3，…，25，26，27，相應于螺線管端面的軸向坐標z／R＝2－5，2－4，…，24，25，26。

圖4中任意一條實線表明，隨著螺線管長度的增加，沿著螺線管軸線方向的橫截面上的相對磁通量將逐漸減小，這說明在側壁上漏掉的磁通量逐漸增加．另外，實線先是平緩變化然后在靠近端面時迅速減小，這說明螺線管側壁的漏磁主要出現在螺線管兩端，其中部的漏磁很少．這與圖3的顯示的規律是吻合的．

值得注意的是，螺線管端面的相對磁通量（如圖4中實線的線端所示）將會隨著螺線管長度的變化而變化．其規律是，隨著螺線管長度的增加，端面相對磁通量不會一直減小或增加，而會先減小后增加，在z／R＝2附近有極小值（約為0．6）．另外在z／R→∞時端面相對磁通量將向1靠近，這表明螺線管足夠長時，其上環形電流可以束縛磁力線以使得螺線管內任何地方的磁通量趨于相同．圖4中虛線出現極小值給我們一個有用的提示，在需要其側面漏磁越多的場合（如利用螺線管作為信號傳感元件），則可以設計螺線管的長度約等于螺線管的直徑，此時泄露的磁通量將近其最大磁通量的40%．反之則最好增加螺線管的長度或者減小螺線管直徑．

圖4　相對磁通量隨坐標z的變化曲線，a～l分別對應螺線管長度與半徑的比為L／R＝2－4，2－3，…，25，26，27．其中虛線為螺線管端面相對磁通量隨著螺線管長度的變化規律

5 結語

本文對常見的有限長螺線管作了再探索．利用畢奧－薩伐爾定律推導出空間磁感應強度的數學表達式，并用Matlab進行數值仿真繪制出不同螺線管長度和半徑比時的磁力線分布和磁感應強度分布．特別地，本文還給出相對磁通量的概念用以研究側壁漏磁的特征，一個是側壁漏磁主要發生在靠近螺線管兩端的地方，二是螺線管端面的相對磁通量存在一個極小值，此極小值表明螺線管側壁的漏磁在螺線管長度約等于直徑時達到最大（接近40%）．本文結論對螺線管的工程應用和大學物理教學中螺線管模型的深入理解有一定價值．

參考文獻

［1］ Serway R A，Jewett J W．Physics for scientists and engineers with modern physics［M］．8th ed．Belmont：Brooks／Cole，2010．

［2］ 李建華，羅祎存．有限長螺線管磁場的全空間解［J］．青海師范大學學報：自然科學版，1988（03）：79－84．

［3］ 任俊剛，趙春旺．有限長螺線管磁場的全場分布［J］．物理通報，2010（10）：23－25．

［4］ 惠小強，陳文學．有限長通電螺線管空間的磁場分布［J］．物理與工程，2004，14（02）：22－25．

［5］ 邰愛東．有限長直密繞螺線管的自感系數［J］．物理與工程，2003，13（06）：8－9．

FURTHER EXPLORATION OF THE DISTRIBUTION OF MAGNETIC FIELD AND THE MAGNETIC FLUX LEAKAGE PHENOMENON OF THE FINITE LENGTH SOLENOID

Yu Xinfeng1Liu Yidong2Liu Pusheng2Wang Jiandong2Wu Zhe2
（1School of Microelectronics and Solid－State Electronics，University of Electronic Science and Technology，Chengdu，Sichuan 610054；2School of Physical Electronics，University of Electronic Science and Technology，Chengdu，Sichuan 610054）

AbstractIn order to assist the teaching and studying of university physics electro magnetics and deepen the students’understanding of solenoid model，the mathematical formulas of the magnetic field of a finite length solenoid are proposed by using the Biot－Savart Law and the magnetic field lines and magnetic field distribution are also given．Base on the magnetic field distribution，the of magnetic flux leakage on the solenoid’s side wall is further studied and the concept of relative magnetic flux is also put forward to describe the magnetic leakage flux．Following deeper analysis，we find maximun magnetic flux leakage on the side wall of the solenoid when the length of the solenoid approximates its diameter．The maximun magnetic flux leakage is about 40%of that on the central cross section of the solenoid．This conclusion is useful for engineer applications of the solenoid and deeper understanding of the model of the solenoid in teaching and studying of university physics electro magnetism．

Key wordsteaching and studying of university physics；finite length solenoid；magnetic field distribution；magnetic flux leakage

通訊作者：劉義東，男，副教授，主要從事物理教學科研工作，研究方向是激光物理與光信息技術電子．liuyd＠uestc．edu．cn

作者簡介：于欣峰，男，微電子專業在讀本科生．

基金項目：全國大學生學術物理競賽（CUPT）對本科生創新能力培養作用的研究（電子科技大學教學改革研究項目，項目編號：2015XJYYB019）．

收稿日期：2015－01－12