用微元法巧解軟繩下落過程的能量損失

吳海娜劉 順公衛江謝成浩易光宇（東北大學理學院，遼寧沈陽 089；東北大學機械學院，遼寧沈陽 089；吉林大學交通學院，吉林長春 00）

?

用微元法巧解軟繩下落過程的能量損失

吳海娜1劉 順2公衛江1謝成浩3易光宇1
（1東北大學理學院，遼寧沈陽 110819；
2東北大學機械學院，遼寧沈陽 110819；
3吉林大學交通學院，吉林長春 130012）

摘 要很多教科書涉及均質軟繩（或者鏈條）下落或提升的問題．軟繩類的問題更具有迷惑性．當求解軟繩從桌面掉下等問題時，發現用機械能守恒定律求解和用動量定理求解此問題，得到的結果不一樣．文章對這種情況進行了分析，指出軟繩下落過程中實際上機械能不守恒，利用微元法嚴格計算了軟繩下落過程中的能量損失，得到其解析表達式．根據能量守恒定律，外力所做的功減去能量損失就是機械能的增量，所得結果與動量定理求解一致．通過具體推導過程澄清了軟繩下落過程中的能量損失問題．

關鍵詞軟繩問題；動量定理；機械能守恒定律；能量損失

1 問題的提出

文獻［1］的例子為（圖1（a））：一軟繩長為L，單位長度的質量為λ．軟繩放在桌子上，桌子上有一個小孔，軟繩一端位于小孔處，其余部分平堆在小孔周圍．受到某種擾動后，軟繩由于自身的重量開始下落，求軟繩下落速度與落下距離之間的關系．軟繩與各處的摩擦均不計，且認為軟繩柔軟得可以自由伸開．

圖1　軟繩在桌面上下落示意圖

方法一：利用動量定理求解［1］

選桌面上一點為坐標原點，豎直向下為Oy正方向．設在某時刻，軟繩下落部分長度為y，此時在桌面上的軟繩長度為L－y，它們之間的作用力為內力．作用于系統的外力有：下落部分軟繩所受的重力m1g，桌面上的軟繩所受的重力m2g和支持力FN，且FN＝－m2g，故作用在系統上的外力為

由動量定理可得

設在t時刻，軟繩下落的長度為y，下落速度

將式（1）和式（3）代入式（2），計算可得軟繩下落的速度和落下的距離的關系為則完全下落時的瞬間速度為

方法二：用機械能守恒定律求解［2，3］

建立坐標系，坐標原點設在桌面處．把軟繩和地球看成一個系統，系統機械能守恒．以坐標原點為重力勢能零點，以剛釋放為系統的初態，初態時動能為零，勢能為零，以軟繩下落y時為終態，終態動能為

從式（4）和式（7）可以看出，用動量定理和用機械能守恒定律求解所得的結果不一樣，事實上，軟繩下降過程可以看成是下降主體與待下降微元的完全非彈性碰撞，機械能并不守恒，損失的能量到底是多少呢？文獻［6，7］提出在鏈條拉動過程中，鏈條由靜止并入運動部分時類似于碰撞，其動能的變化必須用外力的功與碰撞內力的功的代數和去量度．在下文中將假設軟繩為環的數目是無限多的鏈條．

本文從能量守恒的角度出發，采用微元法，認為軟繩下降過程可看成是下降主體與待下降微元的完全非彈性碰撞，則下落過程中重力所做的功減去能量損失就是系統動能的增量，得出結果與動量定理求解的完全一致．下面對此問題進行詳細分析并得出結論．

2 軟繩下落過程中的能量損失計算

假設軟繩的總質量為M，長度為L，將軟繩均勻分成N段（N→∞），每段的質量為M／N，長度為L／N．我們認為軟繩的下落過程，是軟繩下降主體與待下降微元之間完全非彈性碰撞后再以同一速度向下運動．先來考慮這樣一個問題：質量為am的軟繩（其中a為正整數），速度為v0，與另一靜止且質量為m的物體發生完全非彈性碰撞，碰撞后的共同速度為v1，求碰撞過程中損失的能量．該運動過程滿足動量守恒定理

則碰后速度與碰前速度有如下關系

在此碰撞過程中系統損失的能量為

將式（9）代入式（10）可得能量損失與初動能和末動能的關系

下落過程如圖1（b）、（c）和（d）所示．我們設想一種情況：第一段落下后，與第二段（后一段）發生碰撞，而第三段依然靜止．對于第一段下落，重力所做的功等于動能的增量，設第一段得到的速度為v0，動能為Ek1，

第一段下落后，第二段和第一段發生完全非彈性碰撞，碰撞后第一段和第二段組成的系統總動能設為Ek2，碰撞過程中能量的損失為

由式（11）可得

第二段和第一段碰后一起下落，重力勢能轉化成動能，末動能E′k2為

第三段與第二段和第一段的結合體碰撞，根據式（11）可知能量損失為將式（15）代入該結果可得

第四段與第三段、第二段、第一段的結合體碰撞，能量損失為

依次類推，可以得到第n次碰撞過程中能量的損失E損n為

由于軟繩被均勻分成N段，共發生了N－1次碰撞，則整個過程中總的能量損失為

從式（18），提取出一個數列表達式如下

以此類推，易得

由推導過程易知當n＝n時，有n－1項（除a1項外），當n＝2時，有1項（除a1項外），據此即可求出n取不同值時的值．

令bn＝2（n－1）＋3（n－2）＋…＋

當N→∞，可只求bn中的立方項，忽略平方項、一次項和常數項，可得

而整個下落過程中重力勢能的變化量為

根據能量守恒定律

將式（21）、（22）代入式（23），得

這與單純由動量定理所得結果式（4）是完全一致的．

由以上討論，不難看出：起決定性作用的是數列bn中的立方項（與初始值a1無關），而數列bn中的立方項由關系式決定，而得到上述關系式的物理模型是軟繩微元與主體之間的完全非彈性碰撞，而物理模型是在滿足軟繩自身性質的前提下提出的（軟繩是鐵鏈的極限形式）．至于損失的能量則以熱能的形式散失或轉化成分子能等等．

綜上，我們用微元法得到軟繩下落過程中能量損失的具體表達式，形象地闡明了正確的物理過程，利用數學方法得到了定量的結果，澄清了利用動量定理和機械能守恒定律求解同一問題結果不一致的困惑，這對學生如何正確地理解和分析物理問題有積極的借鑒作用，并有利于學生不再對鐵鏈、軟繩等線狀物體參與運動的部分逐漸變化此類的變質量問題畏難．

3 結語

本文用微元法計算了軟繩下落過程中機械能的損失，所得軟繩下落的速度和落下距離的關系與按動量定理的計算結果一致．在軟繩下落過程中微元與主體之間無時無刻不在發生著的完全非彈性碰撞，嚴格算出下落過程中的能量損失，最終得出的結果與動量定理求解是完全一致的．

參考文獻

［1］ 高法金．大學物理［M］．北京：清華大學出版社，2012：37－38．

［2］ 吳百詩．大學物理學（上冊）［M］．北京：高等教育出版社，2012：111－112．

［3］ 許麗萍，田瑞生．物理學原理簡明教程（上冊）［M］．北京：高等教育出版社，2013：96－97．

［4］ 上海交通大學物理教研室．大學物理學（簡明版）［M］．上海：上海交通大學出版社，2013：67－69．

［5］ 趙凱華，羅蔚茵．新概念物理教程：力學［M］．2版．北京：高等教育出版社，2004：126．

［6］ 路峻嶺，秦聯華，王長江．對用動量定理理解柔繩問題陷阱的探究［J］．大學物理，2011，30（2）：5－8．

［7］ 石東平．變質量質點的動能定理與軟繩問題［J］．大學物理，1999，18（3）：22－23，27．

A DIFFERENTIAL ELEMENT METHOD OF SOLVING THE ENERGY LOSS DURING SOFT ROPE DROP PROCESS

Wu Haina1Liu Shun2Gong Weijiang1Xie Chenghao3Yi Guangyu1
（1College of Sciences，Northeastern University，Shenyang，Liaoning 110819；2Mechanical College，Northeastern University，Shenyang，Liaoning 110819；
3Traffic College，Jilin University，Changchun，Jilin 130012）

AbstractMany textbooks mentioned homogeneous soft rope（or chain）drop or promotion problem．Soft rope problem is more confusing．When solving such problems as the soft rope drop from the desktop，people may find that the results are different by solving this problem with the energy conservation law and the momentum theorem of mechanical．This article analyzes this kind of situation，and points out that mechanical energy is not conserved during the soft rope drop process．Through the micro element method，we have calculated the energy loss in the process of soft rope drop exactly，and have obtained the analytic expression．According to the law of conservation of energy，the work done by external force minus the energy loss is the increase of the mechanical energy．The results are agreement with the momentum theorem of solution．This paper clarifies the problem of the energy loss in the soft rope drop process through the specific derivation process．

Key wordssoft rope problem；theorem of momentum；mechanical energy conservation law；energy loss

作者簡介：吳海娜，女，講師，研究方向是凝聚態物理理論．wuhainana＠163．com；劉順，男，在讀本科生；公衛江，男，教授，研究方向是介觀物理；謝成浩，男，在讀本科生；易光宇，男，講師，研究方向是介觀物理．

基金項目：2014年度遼寧省普通高等教育內涵發展—專業建設專項（跨校修讀學分專項），大學物理跨校修讀學分課程建設與資源共享（項目編號UPRPI2014024）．

收稿日期：2015－04－16