共軸平行圓盤的電容系數

高佳慧 邱為鋼（湖州師范學院理學院，浙江湖州 313000）

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共軸平行圓盤的電容系數

高佳慧 邱為鋼
（湖州師范學院理學院，浙江湖州 313000）

摘 要由泊松方程和邊界條件，給出了共軸平行不同大小圓盤的電勢含兩個待定函數的積分表達式．電勢在圓盤上為定值，電場在圓盤外所在平面上連續，由此得到兩個待定函數的偶合積分方程．利用數值積分中的Gauss－Lobatto公式，得到了圓盤上電荷數值表達式．兩個圓盤上的電荷與圓盤電勢成線性關系，其系數矩陣為電容系數矩陣．給出了電容系數和圓盤半徑與圓盤間距比值得等高線圖．

關鍵詞圓盤；電容系數；積分方程

理想的平板電容器由兩個平行的無限大金屬板組成，板間的電場是勻強電場，所以兩個板之間的電勢差很容易計算，系統的電容也容易給出．實際制作中，平板電容器有兩個修正，一個是兩個平板不可能嚴格平行，有夾角．忽略邊緣效應（即認為是無限大），平板之間的電勢可以求出［1－3］．另一個修正是平板具有有限面積，最簡單的是圓盤形．單個帶電金屬圓盤的電勢分布的解析解已經求出［4，5］，兩個平行共軸金屬圓盤的電勢分布，文獻［6］認為存在解析解，但文獻［7］指出了推導錯誤，文獻［8］給出了數值解．我們沿用文獻［8］的方法，考慮不同大小共軸平行金屬圓盤的電勢分布，給出電勢分布函數滿足的積分方程．數值求解得到了電容系數和圓盤半徑與圓盤間距比值的等高線圖．

設圓盤所在平面與xy平面平行，圓心在z軸上．為討論方便，第一個圓盤圓心在原點，半徑為R1，電勢為V1，第二個圓盤圓心在z＝L處，半徑為R2，電勢為V2．采用柱坐標，在兩個圓盤之外的空間，電勢Φ（ρ，θ，z）所滿足的無源泊松方程為

考慮到圓柱對稱性，即電勢與角度無關．對式（1）采用分離變量法，再考慮無窮遠處的邊界條件，即電勢趨向于零，方程式（1）的一般解是極坐標零階貝塞爾函數和縱坐標指數衰減函數的乘積：

其中k是大于零的參數．由體系的幾何形狀以及電勢的連續性，假設電勢Φ（ρ，z）為式（2）一般解的積分表示，橫截面上極坐標零階貝塞爾函數不變，縱坐標方向是兩個指數衰減函數的線性疊加，即

其中g1（k）和g2（k）是兩個未知的待定函數．兩個金屬圓盤是等勢體，所以有

在圓盤以外平面上，電場的z分量連續，當z＞L時，計算得到電場的z分量為

當0＜z＜L，電場的z分量為

當z＜0時，電場的z分量為

由電場z分量為在z＝0平面上的連續條件，得到

由電場z分量為在z＝L平面上的連續條件，得到

式（4）、（5）、（9）、（10）聯立，理論上解出g1（k）和g2（k）的表達式，就能確定電勢Φ（ρ，z）．

由積分恒等式

可設：

式（12）、（13）反代回（4）、（5）式，定義關聯函數G（r，ρ，L）為

計算得到

由積分方程的阿貝爾轉換公式［8］

參照文獻［8］上的積分公式，計算得到

其中積分核K（r，r′，L）為

式（18）、（19）是積分方程，理論上確定f1（r）和f2（r）就能確定兩個圓盤上的電荷Q1和Q2．由高斯定理和電場的表達式（6）、（7）和（8），計算得到圓盤上的電荷量為

由g1（k）和g2（k）的積分表示式（12）、（13），計算得到

電容系數矩陣Cij定義為

把積分看做是無限個矩形的面積之和，式（18）、（19）就化為無窮大的矩陣乘積形式．把兩個區間［0，R1］和［0，R2］同樣N等分，令矢量V1和V2：

令矢量f1和f2為

以及矩陣A，B為

那么式（18）、（19）形式上化為

式（28）有解

其中I是N×N的單位矩陣．把式（29）的解代入式（23），得到圓盤上電荷量為

對比式（24）和式（30），就能讀出兩個圓盤的電容系數來．從式（30）的關系式中，可以看出電容系數的關系式

取兩個圓盤間距L為距離單位，電容以4ε0L為單位，那么圓盤系統的電容系數矩陣只依賴于兩個圓盤半徑與圓盤間距比值參數R2／L，定義兩種等效電容為數值計算得到兩種等效電容等高線圖如圖1和圖2所示，圖中坐標單位是0．1L．

由圖1可以看出，對于第一種等效電容，圓盤半徑越大，數值越大；對于第二種等效電容，圓盤半徑越大，數值越小．

本文中的圓盤，由于共軸平行，所以很自然采用柱坐標系和分離變量法．對于兩個共軸平行的正方形金屬盤，缺乏圓柱對稱性，就不能采用柱坐標方法來解決．我們希望能找到數學物理和計算物理相結合的方法，求解正方形平板電容系數，將在后文中繼續討論．

圖1　第一種等效電容的等高線圖

圖2　第二種等效電容的等高線圖

參考文獻

［1］ 秦德培．非平行板電容器的電場和電容的簡化計算［J］．大學物理，1995，14（1）：13－14．

［2］ 鄭民偉．非平行板電容器的電容和電場的一種計算［J］．大學物理，2001，20（2）：17－18．

［3］ 葛松華．非平行板電容器的電場和電容的另一種計算［J］．大學物理，2004，23（11）：40－41．

［4］ 斯邁思，戴世強．靜電學和電動力學（上冊）［M］．北京：科學出版社，2081：36－36，177．

［5］ 熊建平．導體薄圓盤的電荷分布［J］．大學物理，1999，18（5）：8－10．

［6］ Atkinson W J，Young J H，Brezovich I A．An analytic solution for the potential due to circular parallel plate capacitor［J］．J．Phys．A：Math Gen，1983，16：2837－2841．

［7］ Hughes B D．On the potential due to circular parallel plate capacitor［J］．J．Phys．A：Math Gen，1984，17：1385－1386．

［8］ Carison G T，Illman B L．The circular disk parallel plate capacitor［J］．Am．J．Phys，1994，62（12）：1099－1105．

簡訊

來自《科學》雜志的近日報道：

CAPACITY COEFFICIENTS OF COAXIAL PARALLEL DISK

Gao Jiahui Qiu Weigang
（School of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou，Zhejiang 313000）

AbstractFrom Poisson equation and boundary condition，the electric potential of two different coaxial parallel disks is derived，which is an integral expression with two undefined functions．Because the electric potential is constant on the disk and the electric field is continuous on the plane outside the two disks，two coupled integrated equations of the undefined functions can be obtained from the boundary conditions．The numerical expression of charges on the disks are got by Gauss－Lobatto method．Relationship between charges and electric potential on two discs are shown to be linear，and the coefficients matrix between the charges and the potentials are defined as capacity coefficients matrix．Contour map of capacity coefficients are drawn as a function of the ratio between the radius and distance of two discs．

Key wordscircular disk；capacity coefficients；integral equation

作者簡介：高佳慧，男，在讀本科生；邱為鋼，男，副教授，主要從事大學物理的教學和研究．wgqiu＠hutc．zj．cn

基金項目：國家自然科學基金（11475062，11275067）；湖州師范學院首屆中青年教師卓越教學能力培養計劃（2014ZYJH017）、數學物理方法課程教學研究項目（JZW－15－SL－03）．

收稿日期：2014－08－07