實(shí)例教學(xué)對高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的影響

茍敏磷

【摘 要】本文針對高等數(shù)學(xué)中的多元函數(shù)、常微分方程和彈性理論教學(xué)這三個方面的實(shí)例教學(xué)進(jìn)行論述，指出實(shí)例教學(xué)對于提高教學(xué)質(zhì)量的效果，希望對高等數(shù)學(xué)教育工作者有所助益。

【關(guān)鍵詞】實(shí)例教學(xué) 高等數(shù)學(xué) 教學(xué)質(zhì)量 影響

高等數(shù)學(xué)是理工科專業(yè)學(xué)生的一門基礎(chǔ)課，且該課程具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，教學(xué)內(nèi)容又枯燥、空洞、抽象，故而在教學(xué)中必須講究方法。實(shí)例教學(xué)可以將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為具體生動的形象，增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，提高教學(xué)質(zhì)量。

一、多元函數(shù)中的實(shí)例教學(xué)

高等數(shù)學(xué)課程講解多元函數(shù)最大值、最小值內(nèi)容時，可將應(yīng)用問題都轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，并運(yùn)用生活中的實(shí)例讓學(xué)生認(rèn)識到函數(shù)的最大值問題、最小值問題在日常生活中的應(yīng)用。

例如：在講解拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)極值時可運(yùn)用蜂巢結(jié)構(gòu)實(shí)例。見圖1，蜂巢結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是：每個巢正面都是六邊形，六面柱的底則是由3個全等的菱形組成，最后交匯于底部的中心點(diǎn)G。在該蜂巢結(jié)構(gòu)中，蜂房底的3個菱形鈍角=109°28′，銳角則為70°32′。法國學(xué)者雷奧姆猜想蜜蜂選擇這兩個角是有一定的原因的，可能是在固定容積基礎(chǔ)上使表面積最小，也就是說用最少的蜂蠟做出容積最大的蜂巢。這一猜想被柯尼格進(jìn)行理論證明，發(fā)現(xiàn)理論計(jì)算的結(jié)果與實(shí)測值僅相差2′。

該案例在高等數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用可以分成如下幾個步驟：假設(shè)正六邊形的邊長為2a，G到平面B1D1F1的距離為x，GC1=2y。1.與高中數(shù)學(xué)知識聯(lián)系，在同等容積下，一個六面柱由怎樣的三個完全相同的菱形做底才能使表面積最小。2.將上一步驟的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，當(dāng)，求解的極大值，這就與高等數(shù)學(xué)的條件極值知識點(diǎn)聯(lián)系起來。3.綜合上述條件，運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法，可求解出極值的銳角和鈍角分別為70°32′、109°28′。與數(shù)學(xué)中的拉格朗日乘數(shù)法知識點(diǎn)對應(yīng)起來。簡單來說，該實(shí)例就是通過提煉模型、分析模型、求解模型來將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為模型并進(jìn)行求解，學(xué)生對多元函數(shù)極值求解知識點(diǎn)的認(rèn)識也更加深刻。

二、常微分方程中的實(shí)例教學(xué)

常微分方程是高等數(shù)學(xué)中的教學(xué)難點(diǎn)，傳統(tǒng)課堂多是直接向?qū)W生介紹各種類型的一階、二階常系數(shù)線性微分方程的求解方法，但是這種教學(xué)很容易使學(xué)生產(chǎn)生一種錯覺：該部分的教學(xué)就是計(jì)算，實(shí)用性差。實(shí)際上，我們?nèi)粘Ｉ钪杏泻芏鄦栴}需要用常微分方程來解決。

例如：設(shè)計(jì)一個我們生活中常見的實(shí)例，某產(chǎn)品在某地區(qū)進(jìn)行推廣營銷中，該產(chǎn)品的銷售速率較高，若該地區(qū)的潛在消費(fèi)有限，且購買人數(shù)已接近于潛在消費(fèi)人數(shù)，那么銷售速率就會放緩，廠家則需要更新商品。現(xiàn)假設(shè)消費(fèi)人數(shù)總量為N，在任一時刻銷售的商品總量為x（t），那么如何建立起x（t）的常微分方程呢？并對該常微分方程性態(tài)進(jìn)行分析，針對結(jié)果對該廠家的產(chǎn)品市場營銷和生產(chǎn)策略提出建議。

該實(shí)例涉及高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)概念，教師在講授導(dǎo)數(shù)概念后，通過小組合作、案例教學(xué)、課下獨(dú)立思考等方式使學(xué)生深刻吸收導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，從而在實(shí)例中在師生合作或小組合作的情況下正確建立實(shí)例中的數(shù)學(xué)模型。在實(shí)例中，涉及微分方程、微分方程的階數(shù)、微分方程的求解等，通過實(shí)例讓學(xué)生對相關(guān)概念有深入理解，認(rèn)識到常微分方程在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際應(yīng)用。采用小組合作教學(xué)法，將全班學(xué)生分成4-6人的小組，在教師的引導(dǎo)下和小組合作下，學(xué)生用微分、積分的方式進(jìn)行方程的求解。最后，派代表發(fā)言，各個小組之間交流經(jīng)驗(yàn)，教師做出客觀性評價(jià)，課后給學(xué)生布置類似實(shí)例，讓學(xué)生以小組方式完成。

三、彈性理論中的實(shí)例教學(xué)

彈性理論是高等數(shù)學(xué)課程的一個重要內(nèi)容，其在社會生活中應(yīng)用廣泛，如：利用彈性理論進(jìn)行產(chǎn)品的需求、供給和效益的分析，為決策者提供相關(guān)理論依據(jù)。

現(xiàn)假設(shè)y=f（x）在x點(diǎn)可導(dǎo)，那么該函數(shù)的相對改變量、自變量的相對改變量的商的極限則為函數(shù)在x點(diǎn)的彈性，需求函數(shù)一般為減函數(shù)，所以邊際函數(shù)（x）<0，那么需求價(jià)格的彈性值就要取負(fù)值。但是實(shí)際上經(jīng)濟(jì)學(xué)中的需求價(jià)格彈性值一般取正值，在理解中則需要理解為：需求量的變化與價(jià)格變化是呈現(xiàn)反方向趨勢的。經(jīng)濟(jì)學(xué)中對需求價(jià)格的彈性值有如下規(guī)定，若>1，則說明該產(chǎn)品的價(jià)格富有彈性；若<1，則說明缺乏彈性；若=1，則說明該產(chǎn)品具有單位彈性。在課堂教學(xué)活動中，筆者設(shè)計(jì)如下問題讓學(xué)生進(jìn)行分組討論：市場上某產(chǎn)品因市場需求的變動而降低價(jià)格，是否會降低經(jīng)濟(jì)效益呢？教師引導(dǎo)各個小組學(xué)生從上述三個方面對該產(chǎn)品進(jìn)行研究，通過對彈性值>1、=1和<1的討論研究，指出該產(chǎn)品在這三種情況下應(yīng)該做出如何的提價(jià)或降價(jià)決策方能達(dá)到最大效益，讓學(xué)生深入思考社會生產(chǎn)生活中的經(jīng)濟(jì)規(guī)律，認(rèn)識到經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的不確定性和隨機(jī)性，并學(xué)會如何用定性的方法來解決一些帶有不確定性的問題。

四、結(jié)束語

綜上所述，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合學(xué)生的素質(zhì)正確選用實(shí)例，不可難度過大，也不可過于簡單，以免影響學(xué)生的自主探究興趣和欲望。通過分析與學(xué)生實(shí)際生活聯(lián)系的案例、經(jīng)典案例等，促使學(xué)生跟隨教師的步伐一步步學(xué)習(xí)，營造活潑、開放的教學(xué)氛圍，提高教學(xué)質(zhì)量。

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