注重過程　啟迪思維　落實目標——“多邊形的內角和與外角和（1）”教學感悟與思考

☉浙江省義烏市江東中學　吳月仙

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注重過程啟迪思維落實目標——“多邊形的內角和與外角和（1）”教學感悟與思考

☉浙江省義烏市江東中學吳月仙

一、背景介紹

“多邊形的內角和與外角和（1）”是在學習了三角形內角和定理后，嘗試進一步認識多邊形角的特征的研討探究課.就知識的應用價值來看，本節課內容既是三角形內角和的自然延伸，也是進一步探究多邊形問題的基礎.通過添加輔助線將多邊形問題轉化為三角形問題進行解決，不僅是探索內角和的關鍵，而且也是今后解決四邊形及多邊形問題的通法，是初中學生數學邏輯思維發生、發展的重要環節.通過這節課的學習，一方面培養學生的觀察、探究能力，另一方面讓學生學會轉化思想的應用，從特殊到一般嘗試進行轉化.就內容的人文價值來看，多邊形內角和的探索需要學生猜想、實驗、證明、探索，對學生掌握觀察、比較、類比、轉化、歸納等方法有重要作用，有助于培養學生的創新思維和探索精神.在本節課的教學過程中，筆者從三方面入手，即注重過程變化，啟發學生思維，落實教學目標，希望通過這樣的嘗試，演繹一節精彩的數學研討課.

二、教學準備

課前，筆者進行了細致分析，剖析了本堂課可能出現的困難，學生通過對三角形內角和定理和平行四邊形性質的學習，初步具備了一定的分析與歸納能力，為本節課的學習奠定了基礎，但是學生對新的數學問題的探究有一定困難，尤其是為什么要轉化，怎么把新問題轉化為已知問題進行解決是現階段學生學習的攔路虎，邏輯推理能力和用數學工具進行探索和歸納的能力還有待進一步提高，而這節課探究性較強，學生探究問題和添加輔助線的經驗還不夠豐富，本課的學習還可能存在以下困難：

（1）探究四邊形的內角和時，在探究三角形內角和的啟發下，可能會想到度量法、拼圖法，卻想不到添加輔助線的方法.

（2）學生在探究五邊形、六邊形、七邊形的內角和時，可能出現從不同的點出發去分割圖形，卻不一定能求出它們的內角和.

（3）學生在探究過程中，很容易發現多邊形的內角和，如五邊形、六邊形、……卻在得到結論以后歸納規律時發生一定的困難.猜想或者歸納n邊形的內角和公式成為難點之一.

三、教學分析

1.創設情境，提出問題

引入：同學們，就像一份快樂，如果兩人分享就會得到更多的快樂一樣，有的事物去掉一部分，剩下的部分反而有可能變得更大、更多，你們相信嗎？也許大家還覺得不可思議，可是，今天我們要學習的多邊形的內角和就是一個典型的例子.

2.實踐探索，去偽存真

實踐：每個組的資料盒里都準備了一些長方形的卡紙，請取出一張，任意剪掉一個角，可以有幾種不同的剪法，剪出可能的圖形，并思考以下問題：剪出的圖形內角和是多少？你是怎么計算的？結果比原來的長方形內角和是增加了還是減少了？剪好的小組請派代表將圖形貼在黑板上，準備交流對以上問題的思考.讓學生進行動手嘗試，以開放性的問題介入這節課的學習，從而進入本課的主題教學，引起學生興趣的同時，將學生的吸引力自然而然引到多邊形的內角和上來.通過對長方形的剪裁，認識到多邊形內角和會隨著邊數的變化而變化，建立特殊四邊形與三角形、五邊形的聯系，為類比研究多邊形進行類比研究打下基礎.

3.轉化探究，初步解惑

探究：對于正方形、長方形、平行四邊形、梯形等特殊的四邊形，我們已經能求得其內角和為360°，但畢竟這些都是特殊的四邊形，那對于任意的四邊形能否通過轉化求出內角和？請每個同學都任意畫一個四邊形，嘗試用轉化的方法從不同的角度思考求出它的內角和，做好交流準備.學生可能想到以下添加輔助線的方法，如圖1～圖6.

圖1

圖3

圖4

圖5

圖6

通過多種方式方法的嘗試，任意四邊形求內角和作圖分割的過程中，把研究的對象從特殊引向一般，引導學生把握其內在的規律，滲透轉化的數學思想.達成教學目標，讓學生經歷了解“從特殊到一般”的研究方法，自然地完成本節課難點的突破.

4.類比探究，概括公式

類比：同學們通過不同角度的思考，充分地證明了四邊形內角和為360°，那么五邊形、六邊形、七邊形、…，甚至n邊形的內角和又是多少度呢？請大家運用自己學到的辦法，寫出你的結論.教師參與小組探究，傾聽學生討論，組織小組代表匯報探究成果，總結數學思想和方法.以任意四邊形內角和的研究方法做類比，繼續深化學生對本節課知識的理解，尋找多邊形內角和隨著邊數的變化而變化的規律，從不同的角度理解多邊形的內角和公式，以此進一步鍛煉學生分析和解決問題的能力，實現本節課重、難點的第二次突破.這樣不僅掌握了公式，而且還總結出了類似數學問題的研究方法，進而完成新知識的建構與內化.

5.隨堂鞏固，提煉方法

鞏固：（1）試求20邊形的內角和；

（2）已知一個多邊形的每一個內角都是156°，試求它的邊數；

（3）把一張五邊形的紙片剪掉一個角后，得到的多邊形內角和是多少度？

學生嘗試練習，用本節課學到的多邊形內角和公式解決已知邊數求內角和、已知內角和求邊數等問題；掌握了多邊形內角和公式：（n-2）·180°；轉化的思想；由特殊到一般的研究方法；從不同的角度思考同一個問題會有不同的收獲.

四、教后反思

1.過程設計以問題為驅動

從總體而言，本課的設計實施思路是在教學中充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用，采用“問題驅動”的教學方式，運用問題逐步引導，給學生創造一種具體問題情境、思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，使學生在開放、民主、愉悅、和諧的教學氛圍中發現問題，解決問題，獲取新知識，提高能力，促進思維發展.本節課從開始為學生創設情境，從提出問題——實驗猜想——轉化探究——類比歸納——得出結論——解決問題，讓學生經歷數學知識的發現、發展和應用過程，突出轉化和從特殊到一般的數學思想.使學生成為知識的發現者，讓他們在實踐中發現知識，再將知識運用于實踐，培養學生的創新精神和實踐能力.

2.啟迪學生思維注意情境的導入作用

在創設情景中，以蘊含哲理的數學問題抓住學生的興趣，快速調動學生學習本節課的熱情和激情，形成學生愿意參與的心態.在解決問題過程中遇到困難時，將學生的獨立思考、自主探究和表達交流結合起來，通過老師由淺入深的“問題驅動”，讓學生經歷“不會—會—熟—巧”的學習歷程，并通過問題的創設形成教師與學生，學生與學生的多向交流、多角思考，促進思維火花不斷閃現，通過第2、3、4、5教學環節內容的解決，探索求多邊形內角和的途徑與方法，并從中總結出其核心方法（通法）是把多邊形轉化為三角形.根據學生的實際情況，設計探索活動，讓學生自己動手嘗試不同的方法，讓數學經驗不斷累積，從易到難，也真正使學生形成認識規律，從而順利得到多邊形的內角和定理.

3.落實目標中注意深度挖掘

學習多邊形內角和的過程其實是知識的內化和加深的過程，通過轉化思想，讓學生感受解決和探索數學問題的樂趣；同時，體會類比的方法.而歸納、猜想n邊形的內角和如何表示，教師則指導學生從數的角度去發現規律，或者用同一種較簡單的方法去探究.學生在討論多邊形的內角和時各持己見，展開了積極的交流，交流是學生之間相互學習、相互提高、思維相互碰撞的過程，盡管交流中發現學生的想法有錯誤，還沒有討論出最正確的結果，這樣的教學等待是我們教師應該提供給學生的.教師甘心沉默才會有后來學生的精彩發言，這樣的“沉默”還有好幾處，同時筆者真擔心執教教師在這個環節后進行總結，得出結論有些操之過急了，會把這個難得的精彩扼殺了.筆者注重實際的把握，在課堂教學中，全面的信息反饋、給學生充分發表自己意見的機會是非常重要的，這也充分地說明此節課為高效的課堂，有深度和廣度的課堂.教學作為一門藝術，在教會學生基礎知識和基本技能的同時，也應注重過程、把握課標、啟迪思維的整體引導下，數學課堂教學一定會呈現冰冷的思考下的火熱思維的迸發，從而真正促進學生數學能力和數學水平的提高.