“整體觀”視角下的函數教學實踐——以“一次函數與方程（組）、不等式”教學為例

☉江蘇省如皋市吳窯初中　夏紅蘭

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“整體觀”視角下的函數教學實踐——以“一次函數與方程（組）、不等式”教學為例

☉江蘇省如皋市吳窯初中夏紅蘭

一次函數是在一次方程（組）、一次不等式之后學習的，不僅需要用到之前的數式運算、方程不等式的解法基礎，而且可以從一次函數視角反觀方程（組）、不等式，獲得高觀點下的結構認識，使學生對數學知識的理解更加深刻，特別是感受到數學知識、不同分支之間的關聯與和諧一致.基于上述認識，筆者認真設計了八年級“一次函數與方程（組）、不等式”新課教學，取得較為理想的教學效果，本文整理該課教學設計，并跟進解讀教學立意，提供研討.

一、教學設計與意圖解讀

1.開課階段

復習提問：一次函數y=kx+b的圖像是什么？你在畫一次函數的圖像時有什么經驗？

設計意圖：通過引入問題揭示本堂課所研究的內容和一次函數的圖像有關，并為后續學習做好鋪墊.

2.新知探究

活動1：研究一次函數與一元一次方程的聯系.

問題2：觀察圖像，找出圖像與x軸交點的橫坐標，并求對應的方程x+1=0的解.

問題3：討論圖像與方程的解之間的聯系.

設計意圖：通過實踐、引導、對比，讓學生總結出一次函數與一元一次方程之間的聯系.

跟進練習1：

（1）平面直角坐標系中，直線y= kx+b與x、y軸的交點如圖1所示，則關于x的方程kx+b=0的解為（）.

A.x=2B.y=2

C.x=-1 D.y=-1

（2）方程3x+1=7的解是__________，若函數y=3x+1的函數值是7，則相應的自變量x等于____________.

圖1

（3）函數y=-x+2的圖像如圖2，并利用圖像回答：

①當x=-1時，對應的y的值是____；

②當y=1時，對應的x的值是_____.

探究一次函數與不等式之間的聯系.

圖2

活動2：畫出函數y=2x-3的圖像，接著觀察圖像并回答下列問題：

問題1：x取何值時，y=0？問題2：x取何值時，y＞0？問題3：x取何值時，y＜0？

教學互動：學生作出函數圖像后觀察，先小組內交流他們的解答，接著安排學生走上講臺全班展示，比如，以（1.5，0）為界，右邊函數圖像在x軸的上方，所以當x> 1.5時，y>0，左邊函數圖像在x軸的下方，所以當x<1.5時，y<0.據此引導學生總結一次函數圖像與不等式之間的關系.

跟進練習2：

（1）一次函數y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的圖像如圖3所示，則不等式kx+b＞0的解集是（）.

A.x＞-2 B.x＞0C.x＜-2 D.x＜0

圖3

圖4

（2）如圖4，一次函數y=kx+b的圖像交坐標軸于A（-2，0）、B（0，3）兩點，則不等式kx+b＞0的解集是_____.

（3）已知函數y=kx+b的圖像如圖5所示，利用函數圖像回答：

①方程kx+b=0的解是_______；

②不等式kx +b＜0的解是________；

圖5

③不等式-0.5＜kx+b＜2.5的解是_________.

活動3：在“活動2”中的平面直角坐標系中再畫一次函數y2=x+3的圖像，也就是在同一坐標系下出現兩條直線y1=2x-3與y2=x+3，并解答下列問題：

（1）x取何值時，y1=y2？

（2）x取何值時，y1＞y2？

（3）x取何值時，y1＜y2？

預設互動：讓學生在同一坐標中畫出兩條直線，觀察圖像找到當y1=y2、y1y2時x的取值范圍，發現y1= y2即找交點，y1y2即y1的圖像在y2的圖像上方.

引導學生確認如下發現：一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間有密切的關系，當函數值等于0時即為方程，當函數值大于或小于0時即為不等式.

跟進練習3：

（1）如圖6，函數y=2x和y=ax+4的圖像相交于點A（m，3），則不等式2x＜ax+4的解集為______.

3.深化認識，研究“兩直線交點”與二元一次方程組之間的關系

圖6

活動4：探究一次函數與二元一次方程（組）的關系.

問題1：二元一次方程2x+5y=7可以變形為y= ________.（用含x的式子表示）

問題3：是否直線上任意一點的坐標都是它所對應的二元一次方程的解？

設計意圖：這組問題主要是讓學生看出二元一次方程與一次函數之間的關系，為接下來探究一次函數與二元一次方程組之間的關系預熱一下.

教學預設：此時讓學生畫圖、思考、發現兩條直線與二元一次方程組之間的關系，為進一步歸納出方程組的解與兩條直線交點提供必要的理解時間.

教學預設：引導學生進一步歸納出，從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這個函數值是何值.

跟進練習4：

（1）以方程2x-y=3的解為坐標的所有點都在一次函數y=_____的圖像上.

4.課堂小結

在黑板上畫出如圖7這樣的小結，推介“藤蔓之美”的數學隱喻，讓學生站在函數高處俯看之前所學代數式、方程與不等式.

圖7

二、教學立意的進一步闡釋

1.基于單元教學，讓學生感受到數學的整體一致與和諧美妙

熟悉不同版本初中數學教材的同行應該知道，不少教材上對函數觀點看方程、不等式的教學常常安排了2～ 3個課時，并且把上述課例中三個內容割裂開來，各個擊破，大量練習訓練，這樣固然使學生對某一個知識的深化理解有一定的好處，然而學生在初次接觸這樣的教學內容時，缺少整體思維，不能感受到數學整體觀，我們在一課中通過恰當的問題設計，引導學生依次思考了一次函數與一次方程，與不等式、方程組之間的關系，就如最后我們提供的那幅“藤蔓之美”的圖形一樣，學生不僅有了整體觀，而且對不同知識或數學分支之間的整體一致與和諧美妙也有了更深的理解.順便提及，《中學數學》（下）近年來刊發了大量以專家教師李庾南老師的課例為主的“單元教學”教學設計，值得我們深入理解和踐行.

2.重視跟進訓練，讓學生在變式練習中鞏固雙基與深化理解

函數學習不僅需要理解概念生成的合理，更重要的是具體問題情境中能抽象出函數模型，在具體的數學習題中有函數解題的視角，所以在引導學生思考了一次函數與方程的關系之后，我們就及時跟進了一組變式練習，讓學生在練習和解題中鞏固雙基，同時也是通過不同習題表征的呈現，讓學生洞察問題的結構，達到數學概念或方法技能的“深刻理解”.這里的“深刻理解”也是指旅美學者馬立平博士所指出的對數學知識的關聯度、貫通度、廣度、深度等方面的認知程度.

三、結束語

華東師大鐘啟泉教授指出，要從“教教材”走向“用教材教”，這是教師專業精進的標志之一.我們在上文基于數學整體觀構造了一節“三個一次”的單元教學起始課，初步實踐下來效果不錯，但對教師課堂組織也提出了較高的要求，既可引導學生辨析難點，又要兼顧教學進度和教學時間，還有很多值得深入思考的話題，比如，單元教學的定位、劃分，課堂時間如何把控等.這些都有待有識之士積極實踐、反思提高.

參考文獻：

1.李庾南，劉東升.藤蔓之美：從數式方程走向變量函數——以八年級“函數（第1課時）”教學為例［J］.數學通報，2015（2）.

2.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

3.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

4.馬立平，著.小學數學的掌握和教學［M］.李士锜，吳穎康，等，譯.上海：華東師范大學出版社，2011.

5.章建躍.課堂教學要注重數學的整體性［J］.中小學數學（高中版），2013（5）.