“一線三等角”：客從何處來(lái)？——以“相似三角形”習(xí)題課為例

☉江蘇省江陰市青陽(yáng)第二中學(xué)　曹志迅

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“一線三等角”：客從何處來(lái)？——以“相似三角形”習(xí)題課為例

☉江蘇省江陰市青陽(yáng)第二中學(xué)曹志迅

習(xí)題教學(xué)在初中課堂教學(xué)中占有相當(dāng)大的比重，然而各類課堂教學(xué)研討活動(dòng)中鮮見(jiàn)習(xí)題課教學(xué)，不能不說(shuō)是一種避實(shí)就輕.基于上述認(rèn)識(shí)，筆者近期在開(kāi)設(shè)的一節(jié)研討課中，選擇了習(xí)題課教學(xué)開(kāi)展研討，執(zhí)教內(nèi)容是“相似三角形”習(xí)題課，我們挑選了從八年級(jí)學(xué)習(xí)全等時(shí)就熟悉的“一線三等角模型”，將其變式、拓展到相似的學(xué)習(xí)與研究中，取得了較好的教學(xué)效果.本文記錄該課的教學(xué)流程，并給出課后反思，拋磚引玉，敬請(qǐng)批評(píng).

一、相似三角形習(xí)題課教學(xué)流程

（一）開(kāi)課階段

經(jīng)典習(xí)題1：如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH，求證：四邊形EFGH是正方形.

圖1

圖2

經(jīng)典習(xí)題2：如圖2，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且AD=BE=CF，求證：△DEF是等邊三角形.

預(yù)設(shè)互動(dòng)：安排學(xué)生思考后快速回答解題思路，不必寫出，節(jié)約課堂時(shí)間.

設(shè)計(jì)意圖：這兩個(gè)習(xí)題學(xué)生應(yīng)該都很熟悉，待學(xué)生貫通思路之后，從圖1、圖2中分離出學(xué)生熟悉的“一線三等角”模型圖（如圖3、4）.

圖3

圖4

接著，把這兩個(gè)模型發(fā)展成如下兩種“一線三等角”新模型（如圖5、6）！

圖5

圖6

顯然，圖3對(duì)應(yīng)著圖5，圖6對(duì)應(yīng)著圖4，它們體現(xiàn)著相似與全等之間的本質(zhì)不同：形狀相同，大小不等.

（二）典例講評(píng)與變式練習(xí)

例題1：如圖7，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠1=∠B=∠C.

圖7

由題中條件，請(qǐng)寫出三個(gè)正確結(jié)論：（要求：不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過(guò)程中添加的字母不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）

答：結(jié)論一：_______________；

結(jié)論二：_______________；

結(jié)論三：_______________.

思路講解：這是一道開(kāi)放式習(xí)題，如果直接識(shí)別“一線三等角”模型，得出△ABD∽△DCE，進(jìn)而得到比例線段，如，這樣可寫的結(jié)論就很多了﹒

變式練習(xí)：（1）探究.

如圖8，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí)，求證：AD·BC=AP·BP.

（2）應(yīng)用.

請(qǐng)利用（1）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題：

如圖9，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足∠DPC=∠A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)以D為圓心、以DC為半徑的圓與AB相切時(shí)，求t的值.

圖8

圖9

思路簡(jiǎn)述：（1）根據(jù)圖8中的“∠DPC=∠A=∠B”，就可確認(rèn)“一線三等角”模型，從而證得△ADP∽△BPC，問(wèn)題獲得突破.

（2）圖9中，由AD=BD與∠DPC=∠A，代換出∠A= ∠DPC=∠B，于是一線三等角模型得到確認(rèn)，發(fā)現(xiàn)△ADP∽△BPC，得出AD·BC=AP·BP，再得出關(guān)于t的方程：5×1=t（6-t），解得：t1=1，t2=5.值得思考的是，為什么會(huì)有兩解呢？難道點(diǎn)P有兩處嗎？回答是肯定的，教學(xué)時(shí)注意跟學(xué)生確認(rèn)這個(gè)難點(diǎn).

例題2：如圖10，將矩形OACB紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0）、B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，設(shè)BP=x，AQ=y，試用含有x的式子表示y.

圖10

思路講解：由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，容易得出∠OPQ=90°，于是確認(rèn)“一線三等角”模型（如圖11）.

圖11

變式思考：如圖12，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為AB上一點(diǎn)，AE=1.M為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，AM=a（a為大于0的常數(shù)）.直線EM與直線CD交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥EM，交直線BC于點(diǎn)G.記△EFG的面積S.

（1）若點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，求S.

（2）請(qǐng)判斷S是否為a的函數(shù).如果是，求出它們的函數(shù)關(guān)系式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖12

圖13

思路簡(jiǎn)述：（1）若點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，如圖13，根據(jù)“一線三直角”模型，可以確認(rèn)△MAE∽△CDM，得，再代入數(shù)據(jù)，得.解得a=1或a=3.當(dāng)a=1時(shí)，MG=3；當(dāng)a=3時(shí)，MG=.問(wèn)題獲得進(jìn)展，接下來(lái)代入計(jì)算即可.

（2）需要分兩種情形討論，即點(diǎn)M在線段AD上或其延長(zhǎng)線上這兩種不同情形，如圖14、圖15.

圖14

圖15

圖14中，過(guò)G作GH⊥AD于H，根據(jù)一線三直角模型，得△HGM∽△AME.可算出MG=.再利用相似算出FM=，于是EF=EM+FM=.所以

（三）小結(jié)與檢測(cè)

小結(jié)問(wèn)題1：在你近一段時(shí)間所解的數(shù)學(xué)題中，你能找到體現(xiàn)“一線三等角”模型的習(xí)題嗎？

小結(jié)問(wèn)題2：你在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，還積累了哪些常見(jiàn)模型？請(qǐng)?jiān)诮M內(nèi)交流.課后建議擴(kuò)展成數(shù)學(xué)寫作.

聽(tīng)課檢測(cè)題：

在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0）.P是射線AB上一點(diǎn)，PQ⊥x軸，垂足為Q.設(shè) AP=a.

（1）求AB的長(zhǎng).

（2）如圖16，以AP為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C.若⊙C與x軸相切，求a的值.

圖16

（3）M是x軸上一點(diǎn)，連接AM、PM.若△OAM∽△QMP，試探究滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)（直接寫出點(diǎn)M的個(gè)數(shù)及相應(yīng)的a的取值范圍，不必說(shuō)明理由）.

二、教后反思

1.習(xí)題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生提煉和積累模式

在大量習(xí)題教學(xué)課堂中，很多初任教師容易就題講題，訂正一題后就接著講解下一題，對(duì)習(xí)題往往缺少必要的變式拓展，或者缺少啟發(fā)學(xué)生反思回顧習(xí)題的深層結(jié)構(gòu).而這些回顧反思的習(xí)慣往往會(huì)將問(wèn)題的結(jié)構(gòu)揭示出來(lái)，從而提煉和積累重要的模型，也就是陜西師大羅增儒教授所指出的“積累模式”，就如同上文中的課例開(kāi)課階段，從兩道經(jīng)典習(xí)題中分離出兩個(gè)“一線三等角”模型一樣，如果學(xué)生在全等的學(xué)習(xí)時(shí)就沒(méi)有積累這種模型，那么到了相似三角形的學(xué)習(xí)，再介紹“一線三等角”就顯得突兀，沒(méi)有讓學(xué)生看到幾何知識(shí)的前后一致、邏輯連貫.

2.復(fù)雜圖形中要啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和捕捉模式

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不少學(xué)生識(shí)別模式圖形或基本圖形也是靠平時(shí)積累的，他們甚至有專門的課堂筆記本整理了大量的經(jīng)典圖形和性質(zhì)解讀，但是在復(fù)雜圖形下往往不能識(shí)別出模式圖形.這說(shuō)明在習(xí)題教學(xué)過(guò)程中，教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)應(yīng)該花在如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分離、捕捉模式圖形上.比如啟發(fā)學(xué)生思考特殊條件，強(qiáng)化條件的價(jià)值，與題目中的原有條件組合起來(lái)后，有何新的發(fā)現(xiàn)，圖形會(huì)更特殊嗎？哪些是無(wú)關(guān)線條？你想把目光或思路聚焦在哪個(gè)圖形中？等等.通過(guò)有針對(duì)性的追問(wèn)，鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)模式圖形，發(fā)展他們的“模式識(shí)別”能力.

參考文獻(xiàn)：

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4.【美】波利亞著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

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