從間接設元中培養學生的發散思維——以華東師大版教材習題為例

☉海南省華僑中學　王明照

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從間接設元中培養學生的發散思維——以華東師大版教材習題為例

☉海南省華僑中學王明照

筆者剛剛教完華東師大版七年級下冊第六章一元一次方程及第七章方程組，對于其中難點應用題的講授有了更深一步的認識，以前最多教學生要按以下步驟列方程解應用題：審題—找等量關系—列方程—檢驗—作答，這樣基本就可以把一個實際問題轉化為數學問題，從而也實現了一次數學建模的過程，同時也強調了轉化的數學思想，但在今年的教學中，筆者關注了學生容易忽略的地方，以往也容易一筆帶過的地方，那就是在審題后，如何設立適當的未知數的問題，一般題目都是問什么設什么，直接設元，但是設立適當的未知數可以使所列的方程大大簡化，就是說當直接設元很難列方程或列的方程很復雜時，我們可以采用間接設元，設對了未知數會給問題的解決帶來很大的方便.下面以華東師大版教材上的習題為例進行說明.

例1（教材13頁練習1）學校田徑隊的小剛在400米跑測試時，先以6米/秒的速度跑完了大部分路程，最后以8米/秒的速度沖刺到達終點，成績為1分零5秒，問：小剛在沖刺階段花了多少時間？沖刺的路程是多少米？

分析：這道題里面有兩個等量關系：大部分的路程+沖刺路程=總路程400米；跑大部分路程的時間+沖刺的時間=65秒.根據哪個等量關系都可以，不過有難易之分.

解法1：設沖刺階段用了x秒，則原先用（65-x）秒，根據題意可得8x+6（65-x）=400，解得x=5.則沖刺路程為8× 5=40米，經檢驗符合題意.

解法2：如果設沖刺的路程為x米，則大部分路程為（400-x）米，根據題意可得=65，解得x=40.經檢驗符合題意.

點評：從這道題來看，間接設元列的方程比直接設元列的方程簡潔得多.

例2（教材22頁復習題B組12題）從甲地到乙地公共汽車原需行駛7個小時，開通高速公路后，路程近了30千米，而車速平均每小時增加了30千米，只需4個小時即可到達.求甲乙兩地之間高速公路的路程.

分析：這里面仍然有兩個等量關系：高速公路路程=普通公路路程-30；高速公路速度=普通公路速度+30.

解法1：設原來公共汽車的速度為x千米/小時，根據題意可得7x=4（x+30）+30，解得x=50.經檢驗符合題意.則現在高速公路的長度為4（x+30）=320（千米）.

解法2：設高速公路路程為x千米，則原路程為（x+ 30）千米，根據題意可得+30，解得x=320.經檢驗符合題意.

例3（教材20頁第4題）一輛汽車從A地駛往B地，前三分之一的路段為普通公路，其余路段為高速公路，已知汽車在普通公路上行駛的速度60km/h，在高速公路上行駛的速度為100km/h，汽車從A地到B地一共行駛了2.2h.請你根據以上信息，就該汽車行駛的“路程”或“時間”，提出一個用二元一次方程組解決的問題，并寫出解答過程.

分析：這道題就是近年來很流行的開放性問題，可以求高速公路路程，也可以求在高速公路上跑的時間.假設本道題求高速公路的長度.

解法1：設在普通公路行駛的時間為xh，則在高速公路上行駛的時間為（2.2-x）h，普通公路的長度為60x，高速公路的長度=100（2.2-x）.

根據等量關系：高速公路的長度（占全長三分之二）=普通公路的長度（占全長三分之一）×2，得到2×60x= 100×（2.2-x），解得x=1h.經檢驗符合題意故普通公路行駛時間為1h，長度為60km.高速公路的行駛時間為1.2h，長度為1.2×100=120 km.

點評：此題還可以用二元一次方程組來求解..

例4（教材22頁復習題16題）一批樹苗按下列方法依次由各班領取：第一班取100棵和余下的，第二班取200棵和余下的，第三班取300棵和余下的，……最后樹苗全部被取完，且各班的樹苗數都相等.求樹苗總數和班級數.

解法1：設樹苗總數為x棵，則第一班取走的樹苗數為100+（棵）.

根據題意中各班的樹苗數量相等的條件可列式得班級數為8100÷900=9.即有9個班.

解法2：設有x個班，則第（x-1）個班取走了100（x-1）棵樹和剩下的，而第x個班剛好取完沒有剩下，于是第x個班一共取走了100x棵樹，剛好是第（x-1）個班取走了100（x-1）棵樹后剩下的，于是根據每個班取得樹木棵樹相等得到等量關系，列方程100（x-1）+×100x=100x，解得x=9.每班取走樹苗數為900.

點評：有時候直接設元在充分理解題意的基礎上列的方程反而更簡單直接.

例5（教材17頁問題2）某校是三個年級為地震災區捐款，經統計，七年級捐款數占全校三個年級捐款總數的，八年級捐款數是全校三個年級捐款數的平均數，已知九年級捐款1964元，求其他兩個年級的捐款數.

解法2：若設八年級捐款x元，則全年級捐款3x元，七年級捐款×3x=x元，根據題意可得x+x+1964=3x，解得x=2455.

點評：可以看出，設未知數的方法是靈活的，是道訓練思維靈活度的好題.

例6（一道中考題）一次越野賽跑中，當李明跑了1600米時，小剛跑了1450米，此后兩人勻速跑的路程s（米）與時間t（秒）的關系如圖1所示，結合圖像解答下列問題：

（1）根據圖中信息，直接寫出EF與GD的比值：_____；

（2）求圖中s1和s0的值.

圖1

（2）解法1：由圖可知EF∥DG，則△CEF∽△CDG，所以，即3（s0-1600）=s1-1600①.

由①、②得s0=1750（米），s1=2050（米）.

教學反思：從上述的例題不難看出，設立一個適當的未知數會給問題的解決帶來很大的方便，另外讓學生在解題結束后都要反思：能不能設另外的未知數求解？能不能有更好的解法？教師一點撥，學生思維一打開，不同的解題思維在交流中碰撞，就會可能產生比教師設想的最優解法還要好，在有時間的情況下大膽讓學生去嘗試，不要怕麻煩，這樣他們的數學思維會越來越活躍，思考就會越來越深入，對培養他們的發散思維是個很好的訓練途徑.

所以s1=2050（米）.

s0=1450+