簡化·簡至——數學小專題復習的設計與實施策略

☉廣州市天河區教育局教研室　劉永東

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簡化·簡至——數學小專題復習的設計與實施策略

☉廣州市天河區教育局教研室劉永東

一、寫在前面

小專題復習教學一直是筆者倡導的一種復習教學方式，它是對數學知識大基礎復習教學的一種補充，特別是在中考總復習中使用，提升學生思維的效果尤其顯著.學校流行使用“基礎—專題—模擬”的中考三輪復習法，總是以大專題復習來提升學生的思維，然而，思維不可能在不到一個月的簡短時間內得到快速提升，由此，筆者提出專題復習需要穿插到日常階段的基礎復習中，而且是做小專題設計來實施.

小專題指的是：以解決一道中等題目為主基調，先讓學生“退”到解決題目的最基本概念或原理的回歸性學習，再用一條清晰的主線串聯這些概念或原理，“進”到原題中解決問題，即“以退為進”；在設計上，要求簡化原題，通過設計在學生最近發展區內的簡單題目，以突出核心知識和數學思想的思維訓練，即“以小見大”.對此，筆者曾撰兩篇文章做詳細闡述（詳見文獻1和2）.

然而，事物總是在辯證發展中得到完善，兩三年的更進一步研究，筆者又有新的認識，本文以“相似三角形中的分類問題”為例，簡述更新的理念，與同行交流.

二、以“簡化”清晰簡單思維

小專題復習是把數學思想融入到簡單題中去深化核心知識，注重串聯概括以促進思維提升，在簡化中做到簡至.簡至的本意是指治事簡易，思想通達，在此意為教學簡易，自始至終在數學思想引領下通達學生思維.

1.課例設計簡案

環節1：以退為進.

（1）回答下列問題：

①如圖1，△ABC與△DEF相似嗎？為什么？

②如圖2，△ABC與△DEF相似嗎？為什么？

（2）如圖3，已知Rt△ABC，BC=2，AB=3，∠B=90°，在網格內，畫一個Rt△DEF，其中，直角邊DE=6，∠D=90°，且與△ABC相似.

圖1

圖2

圖3

圖4

環節2：以小見大.

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在線段AB上是否存在一點P，使得△PAD與△PBC相似？若不存在，說明理由；若存在，說出這樣的點P有幾個？并求出PA長.

備注：小專題為連堂課，設置以退為進、以小見大、變式遷移和技能訓練四個環節，環節3、4為第二課時練習的內容，主要是設計新的問題情境進行變式遷移，鞏固以小見大的思想意識，讓學生加深對思想的領悟，難度也不大.并通過技能訓練讓不同層次的學生體悟數學思想，更進一步加強解題經驗，此處略.

2.設計實施簡析

從設計上看，前兩個環節體現學生學習數學的四個目標層次，第（1）題的第①問是了解層次，第1題的第②問是理解層次，第（2）題是掌握層次，第（3）題則是應用層次，突出了進退分明的目標層次要求，筆者曾以一對全等三角形的模型組成四組圖形（圖5）表示對四個目標層次的判斷標準，這三題與之完全相吻合.而第（3）題難度雖小，卻蘊藏著豐富的數學思想.例如，抽象思想中的分類、數形結合，推理思想中的計算與證明，模型思想中的方程思想等，同時還包含了幾何直觀等核心概念.三道題目并不難解決，對于成績不理想的學校，也可以上出精彩的數學味.筆者聽了兩個不同層次班級的教學實施，有差異性，本文就中上層次班級的教學實施談談看法，中等或偏下層次可做參考并做適當的調整即可.

圖5

從實施上看，串聯概括和問題拓展是第一課時的主題，獨立練習和局部點撥是第二課時的核心.第一課時如何上？

首先，第（1）題的教學處理.本題解決了相似三角形中的基礎核心問題，即相似三角形的判定方法，原題表面上在于“兩邊對應成比例且夾角相等”的判定方法復習，但教學上還應兼顧整體，先學后問，以問題引出相似的核心基礎知識，做進一步的思考深化.例如，第1題的第①問中，可以增加問題1：如果把直角這個已知條件刪去，則添加一個怎樣的已知條件可證明兩三角形相似.這里復習“三邊對應成比例”的判定方法.又如，第1題的第②問中，可以增加問題2：如果去掉四條邊長度的已知條件，則添加一個怎樣的已知條件可證明兩三角形相似.由此來復習“兩角對應相等”的判定方法.與此同時，通過圖形的變換來引導提升學生認知基本圖形的能力，或讓學生動手操作畫草圖，或教師通過圖形的平移、軸對稱和旋轉變換，以識別一些基本圖形（圖6）來鞏固相關知識.

圖6

其次，第（2）題的處理.本題是開拓學生思維的核心.學生可能會出現多種情況，有畫出一個圖形的，有兩個的，甚至都畫出四個（圖7），教師需結合學生的成品進行有針對性的拓展，讓學生明白，看似簡單的題目，也應進行多層次的思考.例如學生比較熟知的圖8，可證明最大的三角形是直角三角形.又如圖9，可做兩種變化：在線段DF1上是否存在一點F2，使得△DEF1和△DEF2相似，若存在，求出DF2的長；繼續提出，在過點D作DE的垂線上，存在幾個點F，使得△DEF與△ABC相似.以此結合圖形的全等變換來引導學生去尋找滿足條件的一些圖形，讓學生領悟復雜圖形是由一些基本圖形通過變換得到的，抓住圖形的變換可以避免分類的遺漏.在最后，還可進一步拓展：如果不限定DE是直角邊，則畫出的△DEF與原△ABC相似，又有多少個？該問題讓學生在新情景中加強圖形辨析思考，鞏固相似三角形的性質和判定方法，以及分類討論思想的進一步滲透.

圖7

圖8

圖9

至于第（3）題的處理，應該涉及以下幾個方面.第一，呈現學生只用一種方式來求解，讓學生去辨析分類不全的原因，并由此得到判斷三角形相似的一種分類方法，即可從已知的對應邊或對應角去尋找對應關系，如果不明確，可通過一對相等角的兩邊去尋找對應關系，也就是說要點明尋找的方法，只是相似三角形的三種判定方法的另一種說法.第二，當學生得出三個位置點的結論后，要把這些圖形畫出來，讓學生去感悟這三種圖形的特殊位置特征，抓住時機，前呼后應，不斷滲透對圖6中一些基本圖形的認知，感受到所求位置點的合理性.第三，進一步拓展，把原題條件“在線段AB上尋找點P”拓展到“在直線AB上尋找點P”，通過擴散范圍，增強學生對本題的認知，以此提升學生的審題和解題能力，并探索和呈現“增加了幾個點？這幾個點形成的圖形特征，又是怎么樣”等問題，來體現其中蘊藏的數學思想.

總之，設計這樣的小專題，從最簡單層次的題目開始，兼顧復習學生的基礎知識，鞏固基本技能，再通過一道開放的題目拓展學生思維，讓學生在新背景下進一步熟悉相關知識和應用，最后回到一道中等難度問題的解決與拓展，三道題之間是有聯系的，它們從易到難，從基礎認知到高級思維的不斷發展，呈現一條清晰的數學思想引領下的學習主線，不僅夯實學生基礎，而且拓展學生的解題思維，做到了整體的有聯系的去看待“相似”這一章節的核心內容復習，體現了交替呈現思維的“以退為進”設計，以及串點成線概括的“以小見大”策略.

三、以“簡至”抓住題根本質

數學學什么？筆者認為：除了所謂的數學知識技能，最重要的就是數學智慧，主要是數學抽象力和數學想象力兩個方面，前者是由繁入簡，后者是由簡馭繁！這好比根與枝葉的關系，根為簡，葉為繁，根輸養份經干入葉，是由簡馭繁！而葉的光合作用經干入根，是由繁入簡！大道至簡，基本而重要的東西應該是簡易的，抓根就能挖掘和學習其他知識，抓到的根越深越粗，則越簡，由此生長出來的枝越壯，葉越茂！就能擁有更超能的數學智慧，數學學習就容易了.抓根的過程就是為了做到“熟悉的就容易，簡單的就容易，想通的就容易”.

新課固然如此，復習課亦然.簡化題目，就是以簡至抓根.萬爾遐老師曾說：“抓住了一個題根，就等于抓住了這個題族、這個題群、這個題系.”他說的題根是一個問題，問題規范化后就是一個題目，題根是題目的根基，具有生長性、滲透性、實用性和可接受性.舉一例說明.題組1中，第（1）題是兩條靜態的線，只能判定有無交點或直接求交點坐標，第（2）～（4）題中，由于參數m的作用，有一條線在做平移或旋轉運動，即m的取值范圍可能會影響交點的變化，由此產生一系列的題目變化.進一步講，把直線固定為坐標軸，讓拋物線動起來，由此產生了題組2，從簡單的平移到復雜的運動，涉及分類等問題.

題組1：

（1）求拋物線y=x2+2x-3和直線y=2x+1的交點坐標.

（2）若拋物線y=x2+2x+m與直線y=2x+1有兩個交點，求m的取值范圍.

（3）若拋物線y=x2+2x-3與直線y=2x+m沒有交點，求m的取值范圍.

（4）證明：無論m取何值，拋物線y=x2+2x+3與直線y= mx+2總有交點.

題組2：

（5）已知函數y=x2-3x+m與x軸有兩個交點，求m的取值范圍.（或：試判斷函數y=x2-3x+m與坐標軸的交點個數）

（6）函數y=x2+（m-1）x-m與坐標軸有兩個交點，求m的取值范圍.

（7）函數y=mx2+（m-1）x-1與坐標軸有兩個交點，求m的取值范圍.（m-1）與坐標軸的交點個數.

事實上，以上題目都是涉及拋物線與一條直線或兩條直線的相交問題，皆用一元二次方程根的判別式的知識解決，但學生熟悉卻不能通達思維.筆者曾經對我區層次較好的三所學校的初三學生做過抽測，第（6）題在某一學校74人的測試中，全對的占24.5%，部分對的占38%，全錯或不會做的占36%.第（7）題在一個層次很好的班級測試，竟無一人全對.第（8）題在某校前150人的測試中，僅有10人全對.問題出在哪？學習中注重技巧而不注重概念導致.題根的本質就是反映數學概念，技巧是建立在概念基礎之上，玩好概念才能玩技巧，如“雜技演員先練好基本功，才玩驚心動魄的雜技”一樣.小專題復習，就是要做到“簡至”，抓住題根本質，讓學生在辯證認識中，體會數學知識之間有聯系的內涵與特性.

由此說來，一課講三題和三課講一題，各有各的精彩，均是做到勿因簡單而放棄思考，只要設計與實施能堅持簡化、簡至即可.

（8）試判斷函數y=mx2+（m-2）x+

四、結束語

如何做到簡化、簡至？那就從公理化知識入手，融入數學思想，通過“故中有新，新中有故”的“溫故知新”小專題設計，通過對概念知識的縱向挖掘與橫向拓展，通過學生的思考和體驗，在引申、推廣、演變的問題中去發現新概念新方法，深入問題的本質與核心，并把數學思維外顯出來，由此改變學生的視野.

參考文獻：

1.劉永東.例談數學小專題復習中的策略與應用［J］.教育導刊，2013（1）.

2.劉永東，朱平.再談數學小專題復習的設計與實施——以“規律探究”問題為例［J］.教育導刊，2013（6）.H