兩道中考試題的“更自然”解法

☉江蘇省鹽城市葛武初級中學(xué)　王云峰

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兩道中考試題的“更自然”解法

☉江蘇省鹽城市葛武初級中學(xué)王云峰

近讀文1、文2，文1對2012年麗水市中考數(shù)學(xué)試卷第16題進行了解答并剖析了命題指向；文2對2012年上海市中考數(shù)學(xué)試卷第24題進行了解答并作了反思.筆者經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)兩文中的解法“還能更自然些”，故撰寫此文，與各位同仁商榷.

一、試題呈現(xiàn)及解法展示

題1：（2012年麗水市中考題）如圖1，在梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6.在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF=120°.

（1）當(dāng)點E是AB的中點時，DF=________；

（2）若射線EF經(jīng)過點C，則AE=________.

圖1

不同意見：我們知道，對于中考試卷中的主觀題——解答題，命題者往往給出詳細的解答過程，但對于客觀題——選擇題與填空題，命題者一般只給出最終答案，并不提供詳細的解答過程，文1認為“第二問命題者給出的答案”似是解題者的“生成”，并不是命題者的“預(yù)設(shè)”.實際上，注意到條件∠B=120°，∠DEF=120°，結(jié)合圖形特點可構(gòu)造“一線三等角”相似模型求解.

解法改進：如圖2，作等腰梯形BCDG，則∠DGE= ∠B=120°，∠AGD=60°，BC=DG.

圖2

則BC=2.

設(shè)AE=x，則GE=AE-AG=x-1，EB=AB-AE=6-x.

在△DEG中，∠DEG+∠GDE=180°-∠DGE=180°-120°=60°.又∠DEG+∠CEB=180°-∠DEF=180°-120°= 60°，則∠GDE=∠CEB.又∠DGE=∠B，則△DEG∽△ECB.則，解得x=2或5，故答案為2或5.

題2：（2012年上海市中考題）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖像經(jīng)過點A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點C，點D在線段OC上，OD=t，點E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥ OD，垂足為F.

圖3

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）求線段EF、OF的長（用含t的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)∠ECA=∠OAC時，求t的值.

不同意見：文2解法中先利用第三問的“自帶條件”∠ECA=∠OAC構(gòu)造出全等三角形，再利用勾股定理用含t的代數(shù)式表示有關(guān)線段長列方程求t的值，這是一種較為常用的方法.但本題運用這種方法，表示線段長的式子復(fù)雜，思維量大，要有較強的符號意識，能力要求高，并且所列方程是無理方程，而無理方程的解法超出了“課標(biāo)”要求，從這個角度看，應(yīng)當(dāng)不是命題者的意圖.實際上，由于∠ECA、∠OAC有公共邊AC，可考慮構(gòu)造等腰三角形求解.

解法改進：（3）如圖4，延長CE交x軸于點G，設(shè)點G的坐標(biāo)為（m，0），則OG=-m.

由A（4，0），得AG=4-m.

在y=-2x2+6x+8中，當(dāng)x=0時，y= 8，則點C（0，8），OC=8.

由OF=t-2，得CF=OC-OF=8-（t-2）=10-t.

在Rt△OCG中，由勾股定理，得OG2+OC2=CG2，則CG2=m2+82.

圖4

由∠ECA=∠OAC，得CG=AG，則CG2=AG2，即m2+82= （4-m）2.

解得m=-6.則OG=6.

由EF⊥y軸，OG⊥y軸，得EF∥OG.

解得t=6.

二、對解題教學(xué)的啟示

（1）學(xué)無止境，教師要有研題的意識，努力提升自身的解題能力，在教學(xué)中才能給學(xué)生更多的啟迪與幫助.中考試題是一種重要的教學(xué)資源，對數(shù)學(xué)教學(xué)起著引領(lǐng)作用.但由于解題者的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不同，有時可能會“誤解”，造成一些好的中考試題被“槍斃”，使試題喪失應(yīng)有的價值.教師應(yīng)變換思考問題的角度，像研讀教材那樣來領(lǐng)會命題者的意圖，讓試題綻放出應(yīng)有的“光彩”，發(fā)揮出最大的效益.

（2）對解法要“優(yōu)化”.鄭毓信教授關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中的“優(yōu)化”進行了闡釋：“一、我們應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生積極地去尋找更為簡單、更為迅速的算法或解題方法，更加方便、更加實用的表征方法，更具有普遍性的結(jié)果等；二、我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生及時糾正各種不恰當(dāng)或錯誤的觀念，包括對知識和認知結(jié)構(gòu)等作出必要的調(diào)整與發(fā)展.”作為教師，更要注意“優(yōu)化”.“解法改進”巧妙之處在于添加了輔助線，使問題“柳暗花明又一村”，在未知與已知之間建立了“直通車”，求解過程更為自然，推理過程大為簡化，思維量變小，有利于學(xué)生牢固掌握.

參考文獻：

1.龐彥福，潘海燕，葛紅兵.從一道檢測題審視數(shù)學(xué)試題的命制［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（2）.

2.沈愛琴.構(gòu)架在拋物線上的相等角［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（5）.

3.鄭毓信.數(shù)學(xué)教育新論：走向?qū)I(yè)［M］.北京：人民教育出版社，2011.

4.王楓.設(shè)計學(xué)生能夠理解的教學(xué)——以一道有理數(shù)加法應(yīng)用題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（12）.