透過數學現象　抓住數學本質

☉江蘇省江陰市南閘實驗學校　李　雷

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透過數學現象抓住數學本質

☉江蘇省江陰市南閘實驗學校李雷

在我們學習數學知識和思考數學問題的過程中，不要被表面現象所迷惑.要注意能夠透過數學現象揭示其中的數學規律，抓住問題的本質，并利用揭示的數學規律解決問題，方能以一擋十，以不變應萬變.下面以一道中考題的解決為例進行說明.

一、問題呈現

題目（2013年湖北武漢）已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G.

（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：

（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形.試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得成立？并證明你的結論.

（3）如圖3，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°， DE⊥CF.請直接寫出的值.

圖1

圖2

圖3

二、解法探究

分析：（1）線段DE、AD在Rt△ADE中，CF、CD在Rt△CDF中，結合圖形可證明Rt△ADE和Rt△CDF這兩個直角三角形相似.（2）圖2與圖1相比，四邊形的形狀發生了變化（矩形變成平行四邊形），而兩個圖形中的結論相同，因此在探求∠B與∠EGC滿足的關系式時，可以借助圖1尋找.而圖1中∠B=90°，∠EGC=90°，因此∠B與∠EGC既滿足∠B=∠EGC，又滿足∠B+∠EGC=180°.而“∠B+∠EGC=180°”更具有一般性（∠B=∠EGC包含在∠B+∠EGC=180°這個關系式中），于是我們猜想當∠B與∠EGC滿足“∠B+∠EGC=180°”時成立.在證明時，雖然DE、AD在△ADE中，CF、CD在△CDF中，但從已知條件無法證明這兩個三角形相似，需要另辟蹊徑.而從已知條件我們可以快速得到兩對相似三角形：△ADE∽△GDF，△DCG∽△FCD.這兩對相似三角形中出現了待證比例式中有關的線段和公共線段DG、DF，可以通過公共（線段）比的轉換進行證明.如果再能注意到雖然從已知條件無法證明△ADE與△CDF這兩個三角形相似，但這兩個三角形中的角具有如下關系：∠AED=∠DFC，∠A+∠ADC=180°.因此可采用翻折的方法構造與△ADE或△CDF相似的三角形；（3）四邊形ABCD是不規則的四邊形，需要將其轉化為規則的四邊形.注意到∠BAD=90°，DE⊥CF，將這些條件與圖1發生聯系，可過點C分別作AB、AD的垂線，也可過點C作AB的垂線，過點D作AB的平行線，通過構造矩形求解.

解：（1）由已知條件易證∠ADE=∠DCF.而∠A=∠CDF=90°，所以△ADE∽△DCF，所以

證法1：由∠B+∠EGC=180°，∠B+∠A=180°，∠EGC=∠DGF，得∠A=∠DGF.而∠ADE=∠FDG，所以△ADE∽△GDF，所以.由∠B+∠EGC=180°，∠DGC+∠EGC=180°，∠B=∠CDF，得∠DGC=∠CDF.而∠DCG=∠DCF，所以△DCG∽△FCD，所以.所以

圖4

證法2：在AD的延長線上取點M，使CM=CF，如圖4，則∠CFM= ∠M.由∠B +∠EGC =180°，得∠BCF+∠BEG=180°.又∠AED+∠BEG=180°，∠BCF= ∠CFM，所以∠AED=∠CFM=∠M.而∠A=∠CDM，所以△ADE∽△DCM.所以

證法3：在AB的反向延長線上取點N，使DE=DN，如圖5，證明過程留給讀者完成.

圖5

圖6

（3）連接BD，由BA=BC，DA=DC，易證△BAD≌△BCD，所以∠BCD=90°.

過點C作CM⊥AB交AB的延長線于點M，CN⊥AD于點N，如圖6，則四邊形AMCN是矩形.易證△CMB∽△CND，所以.設CM=3k，則CN=4k，所以BM=AM-AB=CN-AB=4k-6.在Rt△CBM中，由勾股定理，得（4k-6）2+（3k）2=62，解得k=，所以CN=4×由∠BAD+∠EGF=180°，得∠AED+∠AFC=180°.又∠DFC+ ∠AFC=180°，所以∠AED=∠DFC.又∠BAD=∠CNF= 90°，所以△AED∽△NFC.所以

點評：本例是一道變式題，從問題（1）到問題（3），問題設置難度呈梯度上升，解答下一問要充分利用上一問的解答思路或結論.實際上，本題的雛形問題為：如圖7，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的兩點，且AE⊥BF，AE、BF相交于點O.求證：AE=BF.問題（1）實際是將雛形問題中的正方形弱化成矩形，問題（2）將矩形進一步弱化成平行四邊形，問題（3）則是對線段比例關系式的應用.

圖7

三、抽象數學本質（數學規律）

變式題應關注在變化中不變的本質，在變化中發現變化的規律，從而認識數學本質，促進數學理解，提升問題解決能力.

圖8

原中考題揭示這樣一個數學規律：如圖8，在平行四邊形ABCD中，E、F是AB、CD邊上的點，M、N分別是AD、BC邊上的點，EF與MN交于點G.如果∠B與∠EGN滿足關系式∠B+∠EGN=180°，則.結合圖2和線段的平移知識這個規律不難理解.

四、利用數學規律解釋數學現象（或解決問題）

學習數學的目的是為了應用.其中利用數學規律解釋一些數學現象，或者解決一些數學問題，是培養學生應用意識的一種有效途徑.

問題（3）的解法說明這樣一個數學現象：如圖9，在矩形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，M是AD延長線上的點，且EM⊥CF，則.利用線段的平移（如圖10）和上面的數學規律不難解釋.

圖9

圖10

圖11

問題（3）也可以這樣作輔助線：過點C作AB的垂線交AB的延長線于點M，過點D作AB的平行線交MC的延長線于點N，如圖11.利用上面的規律立刻可得

如圖12，在正方形ABCD中，E、F在邊AB、CD上，M、N在邊AD、BC上，則EF=MN.這可作為上面數學規律的一個特例.

圖12

圖13

圖14

如圖13，點P是長方形ABCD對角線上任意一點，PQ⊥PC交直線AB于點Q.求證：

本題若按常規方法，需要連接CQ，證明B、C、P、Q四點共圓.然后利用圓周角定理得∠CQP=∠CBP.而∠CBP=∠ADB，所以∠CQP=∠ADB.而tan∠CQP=tan∠ADB=，所以.由于四點共圓的知識初中教材沒有涉及，學生不易想到.而利用上面的數學規律進行證明非常簡單.

如圖14，延長CP交AD于點E，延長QP交CD于點F，則.所以.利用上面的規律，得