預設追問，讓習題教學走向開放

☉江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學　朱秋芳

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預設追問，讓習題教學走向開放

☉江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學朱秋芳

我們知道，南京大學哲學系鄭毓信教授從2001年首次提出“開放式教學”之后，圍繞“開放題”與“開放式教學”又推出系列文章，特別是2007年鄭教授在《“開放的數學教學”新探》中指出：“開放的數學教學主要包括教學思想、教學方法、教學目標等三個不同的層面.”然而就我們在一線課堂聽課所見，包括在相關專業(yè)刊物上發(fā)表或推介的不少課例來看，我們在“開放的數學教學”方面仍然有很長的路要走.本文擬結合習題教學中精選例題，預設系列追問的視角，探討如何讓習題教學走向開放，提供研討.

一、案例展示與解讀

案例1關于x的一元二次方程kx2-3x+1=0的兩個不相等的實數根都在0和1之間（不包括0和1），則k的取值范圍是（）.

教學預設：先計算根的判別式Δ=9-4k>0，k ＜，且k≠0，再從函數角度思考一元二次方程的兩個實數根，拋物線y=kx2-3x+1的圖像如圖1所示，通過圖1的直觀演示，可以很好地讓學生確認當x=1時，函數值一定為正數，據此可得出k的另一范圍.講評過程中，可以預設如下啟發(fā)問題：

圖1

問題1：初看這道題，你首先想到要從哪些角度思考k的取值范圍呢？（二次項系數不為零、根的判別式為正數）

問題2：條件“兩個不相等的實數根都在0和1之間（不包括0和1）”有什么作用？有人想到從函數圖像“形”的角度來思考，你覺得可行嗎？

變式再練：關于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個不相等的實數根都在-1和0之間（不包括-1和0），則a的取值范圍是__________.

案例2如圖2，矩形OABC的對角線AC、BO交于點D，雙曲線y=過點D且與邊BC、AB相交于點E、F，點E坐標為（2，12），則DF的長為（）.

A.6 B.5 C.4 D.3

圖2

教學預設：這道題的主要難點是依次解讀反比例函數的解析式、點D的坐標、點F的坐標.其中以點D的坐標破譯是關鍵一步，充分利用了矩形的性質.因此我們預設如下問題輔助學生思考：

問題1：根據點E的坐標能求出雙曲線的解析式嗎？（擬安排學有困難的學生回答，暴露他們的思維過程）

問題2：點D作為矩形的中心，它的坐標與點C、點A有沒有關系？你能求出點C或點A的坐標嗎？

問題3：點D的坐標求出之后，你能得出點A、點B的坐標嗎？點F的坐標如何求呢？

變式再練：如圖3，矩形OABC的對角線AC、BO交于點D，雙曲線y=過點D且與邊AB、BC相交于點E、F，點E坐標為（8，3），求DF的長.

圖3

案例3設x1、x2是關于x的一元二次方程x2+x+n-2=mx的兩個實數根，且x1<0，x2-3x1<0，則m、n的取值范圍是（）.

教學預設：這道習題求解的關鍵是解讀兩根都是負數，再利用韋達定理（根與系數關系）處理，根據教學經驗，學生的主要障礙在兩個地方：一是一元二次方程一般式的及時變形整理；二是沒有能根據“且x1<0，x2-3x1<0”破解出兩根都是負數.所以我們在講評時預設了如下兩個啟發(fā)式的問題（利用PPT動畫功能漸次呈現）：

問題1：有同學根據已有條件竟然推定這個方程的兩個實數根都是負數！你覺得他是怎樣思考的？

問題2：有一個同學初看這道題時，非常苦惱：這個方程中的字母太多了，都辯認不清一元二次方程的各項系數了！你們能幫助他理解嗎？

變式再練：設x1、x2是關于x的一元二次方程x2+x+n-2=mx的兩個實數根，且x1<0，2015x2-2016x1<0，則m、n的取值范圍是（）.

二、進一步的解讀與思考

由于受到應試教育的影響，習題教學是當前數學課堂教學最主要的課堂教學形式，如果讓習題教學的品質得到提升，并走向深處，是值得深入研究的話題.我們列舉上述題例的系列設問，也是想基于習題教學可以通過精心預設追問實現從封閉的教師講解思路走向“以學為中心”的開放式習題講評，以下再圍繞從“精選習題、預設追問、變式再練”三個角度給出一些操作性建議.

1.精選習題，深研思路，反思結構

題海茫茫，特別當下網絡信息傳播的便捷，使得海量習題隨手可得，然而如何精選習題進入課堂是非常重要的，我們常常見到很多習題課、復習課，因為選題不當，使得教學主題偏離，特別是“內容效度”極低（比如，在聽一節(jié)二次函數復習課時，某教師因為選用一道中考壓軸題，該題是以二次函數為載體的幾何最值問題，除去解題開始時要解一下二次函數解析式之外，其他的問題都是坐標系下的幾何問題，如相似、最值探究等，這是由于選題不當，造成內容效度不夠），造成訓練的目標落空.所以精選習題是第一位的，接著是深研思路，反思問題的本質和深層結構，唯有這樣才是后續(xù)跟進設問的前提，如果教師本人對問題的思路、結構還沒有明確的認識，就很難引領學生深入其中，也難以有效預設學生的可能受阻點和障礙所在.上面我們提供的三個案例中的教學預設部分都顯示了教師在課前對該題的深入思考和結構揭示.

2.預設追問，搭建鋪墊，促進思考

在選題并貫通思路之后，教師基于自己對習題主要難點及學生可能遇到的障礙等作出初步研判之后，預設系列啟發(fā)式問題，這些啟發(fā)式問題可以通過PPT的動畫功能漸次呈現出來，其目的是搭建鋪墊，把學生的思維盡可能“卷入”到課堂思考中來.比如，在案例3中，我們預設了“有同學根據已有條件竟然推定這個方程的兩個實數根都是負數！”這樣的虛擬學生思考的問題，也是為了親近學生，站在學生的立場，引起他們的興趣和共鳴，為的是他們能更快地進入這個數學問題的思考；再如，在案例2中，我們預設的第一個問題是整個問題的起點，且比較簡單，所以預設該問題時還應設計好擬安排哪些類型的學生來作答，這也是預設階段教師“心中有學生”的體現，也是章建躍博士提出的“三個理解”中的“理解學生”.

3.變式再練，跟進檢測，拓展講評

通過上面的解說，我們知道習題的系列設問主要是為了讓學生參與進來，且這些問題的解答并不唯一，促進了學生對話與課堂生成，這當然也就追求了鄭毓信教授所倡導的開放的數學教學.出于教學實踐的經驗，在一線教學的教師都知道，有時學生聽懂了，但并不意味著他們都掌握了，特別是能否獨立解答這類問題還要通過跟進檢測來加強教學效果的反饋，于是作為開放式教學的必要跟進，我們認為還應該重視“變式再練”環(huán)節(jié)，即把講評的問題通過簡單改編，比如，在不破壞問題結構的基礎下改變數據、改換字母等方式，設計出變式問題，讓學生跟進檢測，在此基礎上再拓展講評.比如，在案例2中，不僅安排一個同類簡單改編字母和數據的練習，還設計出體現數形結合的拓展變式，為這類問題的拓展講評提供素材，追求“做一題，會一類，通一片”的教學和訓練效果.

三、寫在最后

開放的數學教學是一個很廣泛的研究課題，我們從“小處著眼”、基于習題教學設問的視角踐行開放的數學教學才剛起步，還不成熟，希望有更多同行“一起上路”，為我們提供研討和幫助.

參考文獻：

1.鄭毓信.開放題與開放式教學［J］.中學數學教學參考，2001（3）.

2.鄭毓信.再論開放題與開放式教學［J］.中學數學教學參考，2002（6）.

3.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.

4.劉東升.開放需要放開，對話促進生成——“二次函數復習”展評課的設計、對話與思考［J］.中學數學月刊，2012（11）.

5.張奠宙，于波.數學教育的“中國道路”［M］.上海：上海教育出版社，2013.

6.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數學教學，2003（1，2，3）.