數學史融入高中對數概念教學中的實踐與思考*

?

數學史融入高中對數概念教學中的實踐與思考*

江蘇省常熟市滸浦高級中學(215512)殷偉康

江蘇省常熟市王淦昌中學(215500)唐潔瓊

《普通高中數學課程標準》指出數學課堂教學應“努力揭示數學概念、結論發展過程，體會蘊涵在其中的數學方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化成學生容易接受的教育形態.”章建躍先生提出,教師必須十分重視數學概念教學，尤其是數學核心概念的教學.怎樣合理、有效地設計、組織教學,有利于學生更好地理解數學概念，這是值得每一位教師思考和研究的課題.事實上，數學概念并非憑空而來.我們所學的數學概念,大都有著各自產生的背景和發展演變的過程，其間凝聚了數學家們的心血和智慧.“對數”是函數這一章節中的核心概念之一，但“對數”是一個比較抽象的概念，因而，學生對對數產生的必要性缺乏正確的認識，在對數概念本質的理解上存在障礙.如何揭開對數概念那“冰冷美麗而又神秘”的面紗，值得每位教師思考.

M.克萊因認為：“課本中的字斟句酌的敘述，未能表現出創造過程中的斗爭、挫折，以及在建立一個可觀的結構之前，數學家所經歷的艱苦漫長的道路.而學生一旦認識到這些，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強地追究他所攻問題的勇氣，并且不會因為他自己的工作并非完美無缺而感到頹喪.”因此，筆者從數學文化的角度出發，運用數學史的有效融入方式，結合學情，對教材進行“二次開發”，嘗試“重構式”教學方法進行教學，促進學生理解對數概念.

一、創設情境，引出新知

情境某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過1年，這種物質剩留的質量是原來的84%．寫出這種物質的剩留量關于時間的函數關系式．

設該物質最初的質量是1，則經過x年，該物質的剩留量為y=0.84x．

問題1我們建立這個函數關系式可以實現計算預測的功能，只要知道時間x就可以計算剩留量y．比如，經過了4年，剩留量是多少？

問題2反過來，如果我們知道了該物質的剩留量y，怎么求出所經過的時間x呢？比如經過多少年，剩留量為0.5？

生：0.84x=0.5.(學生感到茫然，不知所措)

師：其實上述問題就是已知底數a和冪值N，求指數b.“已知底數和冪的值求指數”是一個新運算，這是本節課將要研究的問題．

教學意圖：通過具體實例說明研究對數的必要性，從指數函數的實際問題入手，即從學生熟悉的指數形式著手，讓學生發現“已知底數和冪的值求指數”新問題(解方程)，引發學生產生認知沖突，激發學生學習的興趣.

二、以史為鑒，追根索源

師：我們首先來看看數學家們是如何來解決這個問題的.

對數的基本思想可以追溯到遙遠的古希臘時代，那個時候，阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年)就已經研究過幾個10的連乘積和10的個數之間的關系，用現代的表達形式來看，就是研究了這樣兩個數列：

110102103104105106……0123456……

他發現它們之間有某種對應關系，但是阿基米德雖然發現了規律，卻沒有把這項工作繼續下去，失去了對數破土而出的機會．

15、16世紀的歐洲，航海和貿易的迅速發展，極大地推動了天文學和三角學的進步.特別是地理探險需要更為準確的天文知識，為了確定行星的位置或制作天文數表，往往要花上幾天甚至幾個月的時間進行計算.對計算速度和準確性的要求與日俱增，人們希望將乘、除、乘方、開方歸納為簡單的加、減、乘、除來實現.

15世紀，法國數學家許凱(N.Chuquet, 1445～1488)在兩個數列中也發現了類似的對應規律.他在其著作《算學三部》中給出了雙數列之間的對應關系：

12481632640123456128256512102420484096……789101112……

上一列數之間的乘、除運算結果對應于下一列數之間的加、減運算結果，如4×32=128，對應于2+5=7.16世紀，德國數學家斯蒂菲爾(M.Stifel, 1487～1567)針對雙數列更明確地提出了上一列數的乘、除、乘方和開方四種運算法則.還有其他很多數學家也發現了這樣的規律，但是由于種種原因，特別是分數指數還沒有得到認識，所以他們也沒有發明對數.

我們已經學習了分數指數冪，比這些古時候的大數學家們掌握了更豐富的數學知識，我們是不是一起來發明對數呢？

請學生觀察以上的兩組數，研究阿基米德、斯蒂菲爾等數學家發現了怎樣的規律呢？組織學生進行分組討論，教師適當引導，要求結合指數運算法則.

得出結論：下面一列數的加減運算結果與上面一列數的乘除運算結果有一種對應關系.

師：能否用一個指數的運算法則來表述這個關系？

生：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.

如果M=ac,N=ab，那么M·N=ac·ab=ab+c.

上述第二組數據中，第一行表示2的對應冪，第二行表示2的指數，那么，如果我們要計算第一行中兩個數的乘積，就可以通過第二行中對應數字的加和減來實現．比如，計算16×64的值，就可以先查詢第二行的對應數字：16對應4，64對應6，然后再把第二行中的對應數字加起來4+6=10，第二行中的10對應第一行中的1024，所以有16×64=1024．

也就是說如果我們有類似這樣一張表格，就可以通過指數的加減運算來得到冪的積或商.那在具體實施的過程中，我們最好能把指數表示出來.也就是說如果N可以用ab來表示，那么b可以用N表示嗎？

教學意圖：提供對數知識歷史背景和原始問題，增強真實感，引發學生進行探究，追溯數學家發現對數的過程，通過觀察分析表格中雙數列對應關系，使學生深刻認識到對數對簡化運算的重大作用和引進對數的必要性.同時，通過豐富的情景和動人的數學家的歷史故事，激發學生的求知欲和創造欲.

三、以史促思，建構概念

后來，英國數學家納皮爾(J.Napier, 1550～1617)受到上述表格的啟發，發現了可以利用這個規律來簡便運算的有效工具，于1614年出版《奇妙的對數定理說明書》，這標志著對數的誕生.為了這一劃時代意義的發明，納皮爾整整花費了二十多年時間！他把b稱為N的“對數”，今天，我們依然沿用這個稱呼，把b稱為以a為底N的對數.17世紀，笛卡兒(R.Descartes, 1596～1650)發明了冪的記號，指數概念才應運而生．直到17世紀末，才有人認識到對數可以定義為冪指數．之后，歐拉(L.Euler, 1707～1783)深刻揭示了指數與對數之間的密切聯系，并創用了logaN這一記號．這樣就有了對數的定義：若ab=N(a>0,a≠1)，則把數b稱為以a為底N的對數，記作b=logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數，讀作以a為底N的對數.

思考1將下列指數式寫成對數式：

思考2將下列對數式寫成指數式：

(3)log100.01=-2；(4)loge10=2.303.

注意：①指數式與對數式的關系：ab=N?b=logaN (參考指數中底數a的取值范圍，強調其中a>0且a≠1，b∈R,N>0)，簡單的說求以a為底的對數logaN，就是求a的多少次方等于N.

②概念的進一步理解：指數式與對數式的關系及相應各數的名稱排列如下：

式子名稱abN指數式ab=N底數指數冪值對數式logaN=b底數對數真數

③a>0時，N=ab>0，所以，負數和零沒有對數.

注意④有關性質：loga1= ；logaa= .

教學意圖：引導學生在指數式與對數式之間進行互化的過程中，進一步認識對數概念的本質，加深對對數概念的理解，掌握其互化方法.從中讓學生感受轉化與化歸思想方法，學會用聯系的觀點分析問題和處理問題.

四、以史為鏡，深化理解

為了使納皮爾發明的對數可以更方便地被人們使用，對數歷史上的另一位重要人物英國數學家布里格斯(Briggs，Henry,1561～1630)和納皮爾決定把10作為對數的底.納皮爾去世后，布里格斯又對納皮爾的對數進行了改進，他把10進行了54次的開平方后，得到了一個略大于1的數，并取10作為對數的底，造出了常用對數表.比如思考2中的(3)，底數為10，這樣的以10為底的對數就稱為常用對數，簡記作lgN.也就是說(3)可以寫成lg0.01=-2.

師：對常用對數和自然對數感興趣的同學，老師向大家推薦兩本課外讀物《不可思議的e》和《漫話e》，從中你一定會獲得更多的知識.

師：同學們現在能否解決問題2呢？

生：x=log0.840.5≈3.975，即經過大約4年剩留量為0.5.

教學意圖：引導學生了解常用對數和自然對數的來歷及其應用價值，可以促進學生對對數概念的認識，體會數學和生活的聯系.引導學生閱讀有關對數的數學史，感悟對數的發明與發展歷史及其價值是數學文化的體現，提升學生的數學素養.

五、以史啟真，誘發再探

師：拉普拉斯曾經說過：“對數的發現，以其節省勞力而延長了天文學者的生命.”伽利略宣稱“給我時間、空間和對數，我可以創造出一個宇宙來.”由此可見，對數在天文學和自然科學中有重要作用.恩格斯把對數的發明和解析幾何的創造、微積分的建立稱為17世紀數學的三大成就和“最重要的數學方法”.

生：我們了解了對數的誕生過程，學習了對數的概念，以及指數式、對數式之間的互化．

生：指數式、對數式之間的互化中體現了轉化思想.

師：同學們暢所欲言的討論，既梳理了指數、對數等相關知識的內容，又尋味了對數發展史的各個階段所凝聚的思想、智慧與精神.按照研究數與函數的方法，接下來研究什么呢？

生：對數的運算規律(性質)和對數函數概念及其性質.

師：很好！今天我們認識了對數，感受到了數學家們思考問題的奇妙歷程和智慧，也感受到了數學發展推動人類認識世界的巨大力量，并且經歷了數學文化的熏陶.希望大家課后通過練習，進一步鞏固、理解和掌握對數的概念，明天我們將繼續來研究對數的一些運算性質，進一步學習這個新的認識世界的工具！

教學意圖：課堂小結意在畫龍點睛，讓學生對所學的知識作簡單的回顧，了解對數的實際應用價值，體驗其中蘊含的數學思想方法，并引導學生運用類比的方法，猜想對“對數”進一步研究的方向，誘發學生產生再探究欲望.

六、以史定教，凸現重構

要真正實現數學史有效地融入數學概念教學中，不僅需要教師注重挖掘數學知識點背后的歷史，深入理解數學史的知識意義和方法意義，而且需要教師注重結合教學實際和學生的認知水平、數學基本活動經驗，對數學史料進行有效地選擇、加工，運用發生教學法，采用順應式、重構式等有效的融入方式，將數學史中與所學的對數概念相關思想方法融入到新知識引入中，創設以數學史料為背景的問題鏈，引導學生進行自主探究，讓學生經歷“尋找解決問題的方法”，引入新的運算(對數運算、引入新的數學符號表征數學對象的需要)的過程，再現數學歷史原貌，展示對數概念的發生、發展過程，讓學生在獲得知識的過程中，體驗其中蘊含的思想方法，促進學生去感悟和建構對數概念，理解對數概念所蘊含的本質特征，增強學習數學的信心，培養理性思考和執著的探求精神.本節課運用了大量有關對數的數學史料，選取學生能夠理解的且有一定教學價值的部分按歷史順序“去支強干”進行重組，并從歷史發生原理出發，對有關對數知識歷史發展過程中的關鍵步驟與環節，進行了再加工，進而對知識的歷史進行重構，使其適合學生認知和課堂教學，并設計一系列由易至難、環環相扣的問題.通過“重構”歷史上對數概念的發生、發展過程的方式，引導學生自己建構新概念，從而在真正意義上理解對數概念的內涵和本質.

“數學文化的歷史，以其獨特的思想體系，保留并記錄了人類在特定社會的形式和特定歷史階段文化發展的狀態.”因而，在數學概念教學中，教師要對所教數學概念相關的素材進行歷史挖掘，讓學生感受數學文化的淵源.也就是說，教師需要對所教主題的數學歷史知識有深刻的理解，才能對知識的歷史進行重構，以史為鑒，善于把“現成的知識”還原為“現實的問題”，創設富有數學歷史背景的問題鏈，讓學生在問題探究和解決中經歷數學知識的發生、發展過程，并通過追尋大師的足跡、仰望大師的風采，汲取人類文明中的無窮智慧和堅韌不拔的探究精神，經歷數學文化的熏陶.而且要揭示數學概念中所蘊含的數學思想方法，引導學生感悟和領會其實質.如果僅一知半解、只見樹木不見森林，數學概念的重構就難以達到“自然而然”的教學效果，數學史料反而成了累贅．其次，同一個數學家的歷史軼事，不同的講述方式會產生不同的教學效果，教師會講“故事”，也是一種教學實力.再次，教師在運用數學史料時必須要把握尺度，或張或弛，或詳或略，一切均以滿足課堂教學的需求和適合學生的認知水平為準則，一方面，不能將數學課堂異化為“故事課”，另一方面，也不應只是簡單用數學家的歷史軼事點綴一下課堂，匆匆帶過，而應該要舍得花時間，給予學生傾聽、領悟和思考的時空.在體驗對數概念的生成過程中，引導學生積極思考，學會有效思考.進而能提出自己的觀點和思路，逐步養成問題意識、探究意識和創新意識，提升數學文化修養.

參考文獻

[1]鐘萍,汪曉勤. 對數概念：從歷史到課堂[J]．中學數學月刊, 2015(5)：50-53．

[2]金惠萍,王芳.HPM視角下的對數概念教學 [J]．教育研究與評論, 2014(9)：28-34．

*本文系江蘇省教育科學“十二五”重點資助課題：構建數學文化課堂的教學實踐研究(課題批準號B-a/2013/02/069)研究成果之一.