解幾中一類題不同的處理視角舉隅

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解幾中一類題不同的處理視角舉隅

江蘇省蘇州市吳縣中學(215151)張文海

向量作為現代數學的重要基礎進入高中數學知識體系后，不僅成為支撐數學學科知識體系的重點知識，也是研究許多重要數學問題強有力的工具之一.而“注重通性通法，淡化特殊技巧”、“在知識網絡交匯點設計試題”是近幾年來新高考命題的重要理念.本文擬從坐標、距離、向量三個角度分析處理解析幾何中的一類向量數量積或線段之積問題的解法，以供復習參考.

一、從“坐標”的角度轉化問題

平面向量具有代數與幾何形式的雙重屬性，它融數形于一體，與解析幾何的本質一脈相承，所以聯系向量和解析幾何的重要橋梁就是坐標，利用坐標解向量與解析幾何的綜合題是通性通法之一.

圖1

(1)求橢圓C的方程；

二、從“距離”的角度轉化問題

(1)若A為橢圓的下頂點，求橢圓的離心率e；

解：(1)略.

圖2

(1)試建立適當的坐標系，求動點P的軌跡E；

圖3

(x+4)2+y2-4=2[(x-4)2+y2]，化簡得(x-12)2+y2=124．

三、從“向量”的角度轉化問題

圓錐曲線中的定值問題一直是高考的熱點問題，由于定值一般沒有給出，這類題不僅考查邏輯思維和綜合運用知識的能力，還要具備較強的目標意識和轉化與化歸的能力．由于向量的模是數量，從而在解決線段長度問題時，可以通過把長度問題轉化為向量問題進行優化處理．

例4設圓C:(x-3)2+(y-4)2=4，直線l1過定點A(1,0).

(1)若直線l1與圓C相切，求直線l1的方程；

(2)若直線l1與圓C相交于直線P,Q兩點，線段PQ的中點為M，又直線l1與直線l2:x+2y+2=0的交點為N，求證：AM·AN為定值．

圖4

解：(1)①若直線l1的斜率不存在，即直線l1的方程為x=1，符合題意．