一類絕對值不等式問題的再思考

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一類絕對值不等式問題的再思考

浙江省湖州二中(313000)胡志杰

北京師范大學研究生院(100875)呂孫忠

浙江省永嘉中學(325100)吳云浪

綜觀近年數學高考和自主招生考試，不等式試題越來越趨向于對絕對值不等式的考查.解決絕對值問題最常規的方法便是“分類討論”，只要有足夠的時間，“分類討論”總能解決問題，但前提是有足夠的時間.其實絕對值有它得天獨厚的幾何意義，即數軸上兩點之間的距離.因此在解決該類題型時，解題方法的選擇顯得尤為重要，選擇不當，費時、費力，且不得要領，選擇恰當，便可“投機取巧”，秒殺考題.

文[1-2]對一道自主招生中的不等式試題進行了探究，但它們所涉及的絕對值前的系數都是正整數，筆者從一道高考題談起，將前置系數從正整數域推廣至實數域，并得到若干推論.

1巧用數軸，妙解最值

題源(2014年安徽數學高考理科第9題)若函數f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，則實數a的值().

A.5或8B.-1或5C.-1或4D.-4或8

下面給出一種妙解：

2探索最值，追根溯源

首先，需要介紹一個應用比較廣泛的，關于絕對值不等式最值的引理.

引理若f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|(a≤b≤c)，當且僅當x=b時，f(x)min=f(b)=|a-b|+|c-b|=c-a.[3]

同時，推廣引理，可以得到n維形式的結論.

推論2 f(x)=n1|x-a1|+n2|x-a2|(a1≤a2)，n1,n2∈N+.若n1>n2，f(x)min=f(a1);若n1≤n2，f(x)min=f(a2).

推論3 f(x)=m1|x-a1|+m2|x-a2|(a1≤a2)，m1,m2∈Q+.若m1>m2，f(x)min=f(a1);若m1≤m2，f(x)min=f(a2).

推論4f(x)=n1|x-a1|+n2|x-a2|+…+nk|x-ak|(a1≤a2≤…≤ak)，n1,n2,…,nk∈N+.若n1+n2+…+nini+2+ni+3+…+nk，f(x)min=f(ai+1)；若n1+n2+…+ni=ni+1+ni+2+…+nk，則f(x)min=f(x0)，x0取[ai,ai+1]中的任意值.

注：推論4是推論3的推廣形式，同時，可以將推論4的結論推廣到有理數域上，得到推論5.

推論5f(x)=m1|x-a1|+m2|x-a2|+…+mk|x-ak|(a1≤a2≤…≤ak)，m1,m2,…,mk∈Q+.若m1+m2+…+mimi+2+mi+3+…+mk，f(x)min=f(ai+1)；若m1+m2+…+mi=mi+1+mi+2+…+mk，則f(x)min=f(x0)，x0取[ai,ai+1]的任意值.

推論1到推論5都是在前置系數符號為正的前提下得到的，若系數都是負數的話，可以得到一個絕對值函數求最大值的結論.

推論6f(x)=m1|x-a1|+m2|x-a2|+…+mk|x-ak|(a1≤a2≤…≤ak)，m1,m2,…,mk∈Q-.若m1+m2+…+mimi+2+mi+3+…+mk，f(x)max=f(ai+1)；若m1+m2+…+mi=mi+1+mi+2+…+mk，則f(x)max=f(x0)，x0取[ai,ai+1]的任意值.

注：當mj(j=1,2,…,k)都為負有理數時，那么在整個式子前，添加個負號，那么問題就轉化成了求最大值問題.

3例題示范，結論推廣

巧用以上推論，可以秒殺一系列高考不等式考題及競賽題型.

例1(2008年“希望杯”高二試題)如果對任意實數x，都有|x-1|+|x-2|+…+|x-2008|≥m成立，那么m的最大值是().

(A)1003×1004(B)10042

(C)1003×1005(D)1004×1005

分析：例1可用推論1直接秒殺.

例3(2007年全國高中聯賽題)不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2對?x∈R恒成立，則滿足條件的實數a組成的集合為().

分析：本題實質與例2無異，是推論3的直接使用.

例4(2011年“北約”自主招生壓軸題)求f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值.

4推論延續，反思小結

以上涉及的例題和推論，其絕對值前的系數都還是限制于有理數域內，如果我們將命題推廣到實數域上，那么絕對值前的系數是無理數的時候，命題還成立嗎？答案是顯然的，因為我們可以用有理數去無限逼近無理數.

用絕對值的“距離”意義解決相關試題，還有更多的案例，限于篇幅，不再舉例.可是，筆者所提到的方法，并不是追求高難度的解題技巧，而是著意于解題工具的選擇，著意于數學問題的理解，揭示數學本質，看出題目的結果.在實際操作中，讀者需將其與“分類討論”雙管齊下，方可所向披靡.最后，筆者再提出一個思考問題.

思考文中推論里的絕對值前置符號都是一致的，都是正號時可以求函數的最小值，都是負號時可以求函數的最大值，那么，如果函數前置的正負符號混合時，會有怎么樣的結論？

參考文獻

[1]范端喜. 一道“北約”自主招生絕對值不等式問題的探究[J]. 數學通訊,2013,10:56-58.

[2]劉再平. 一道“北約”題的推廣、變式及溯源[J]. 中學生數學,2013,13:40-41.

[3]李勝宏，李名德.高中數學競賽培優教程[M].浙江大學出版社，2012.