一個對稱不等式的另證及兩個不等式二次推廣

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一個對稱不等式的另證及兩個不等式二次推廣

四川省南充高級中學(637000)張小丹

數學通訊2008年三月號問題1724：

文[1]和文[2]分別用了高、初等數學的方法對該命題進行了證明，特別地，文[2]的兩位老師還對文[1]給出的兩個推廣命題作了修正，得到推廣1與推廣2，如下：

本文的方法較自然，流暢，但是我接著會發現，此法無法應用于上述兩個推論的證明，于是我又不斷嘗試尋找另法.

二、兩個推廣命題的另證

先證推廣命題1. 觀察分母之和為a+b+c+λ(ab+bc+ac)=1+λ(ab+bc+ac)，而ab+bc+ac與a+b+c之間又存在一個大小關系，于是我們把這里作為一個突破口.

為了后續證明的方便，我們先給出

引理1若a,b,c>0,且a+b+c≤s，則有

下對推廣1進行證明：

對于推廣2，我們采用類似方法.

三、對兩個推廣命題的二次推廣

推廣1、2中恒成立的不等式含有三個數，那么能否將其推廣到含有n個數的情形呢？經過探究，我發現這一猜想是可行的.

為了方便后續證明，我們先給出

以下對推廣3進行證明：

對推廣4的證明可參考推廣2，同時結合引理2、3，有興趣的讀者可以自己感受一下.

參考文獻

[1]趙克,趙臨龍.對稱不等式的證明及命題推廣[J].中學數學研究(江西).2013,7.

[2]馬占山,潘長江.一個對稱不等式的簡證及兩個命題修正[J].中學數學研究(江西).2014,5.